Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Comutativitatea: formulă și tablă

Cum se vede din tablă că o lege e comutativă?

Tabla unei legi comutative e simetrică față de diagonala principală, cea care unește colțul stânga-sus cu colțul dreapta-jos: căsuța de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ conține același element ca oglinda ei, căsuța de pe linia lui $y$ și coloana lui $x$ . Pe ${0, 1, 2}$ , tabla lui $x \circ y = ∣ x - y ∣$ are $1$ în ambele căsuțe $(0, 1)$ și $(1, 0)$ .

O lege $\circ$ pe $M$ este comutativă dacă $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y \in M$ : ordinea celor două elemente nu schimbă rezultatul.

Dintr-o formulă, scrii $y \circ x$ , cu literele schimbate între ele, și o aduci la forma lui $x \circ y$ , folosind că adunarea și înmulțirea numerelor sunt comutative. La un produs de doi factori, schimbarea literelor poate inversa doar ordinea factorilor, ca la $(x - 2 y) (y - 2 x) + 5$ . Dintr-o tablă, compari fiecare căsuță $(x, y)$ cu oglinda ei $(y, x)$ față de diagonala care pleacă din colțul de sus-stânga; diagonala însăși nu contează.

Ca să respingi, ajunge o pereche cu $x \circ y \neq = y \circ x$ : la $2 x + 5 y$ , $1 \circ 0 = 2$ , dar $0 \circ 1 = 5$ . Comutativitatea și asociativitatea sunt independente: jocul „Jetonul nou”, cu trei culori, e comutativ, dar nu asociativ.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), comutativitatea s-a cerut în 20 de probe din 60 (2013–2026).

De reținut

comutativă: $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y$
tabla comutativă e simetrică față de diagonală
o pereche cu $x \circ y \neq = y \circ x$ ajunge ca să respingi

Greșeala tipică

Se compară căsuțe față de cealaltă diagonală, cea care pleacă din colțul de sus-dreapta. Oglinda căsuței $(x, y)$ este căsuța $(y, x)$ , adică față de diagonala principală.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre legile definite pe $R$ este comutativă?
- a) $x \circ y = 4 x - 3 y$
- b) $x \circ y = x - y$
- c) $x \circ y = x y - 5 x - 5 y$
- d) $x \circ y = x^{2} + 2 y$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x \circ y = x y - 5 x - 5 y$

La $x y - 5 x - 5 y$ , schimbarea literelor dă $y x - 5 y - 5 x$ , aceeași expresie. Primele două cad la perechea $(1, 0)$ : $4 \neq = - 3$ și $1 \neq = - 1$ ; legea $x^{2} + 2 y$ cade la perechea $(2, 3)$ : $10 \neq = 13$ .
Într-o lege comutativă, căsuța de pe linia lui $2$ și coloana lui $5$ conține $9$ . Ce conține căsuța de pe linia lui $5$ și coloana lui $2$ ?
- a) $9$
- b) $5$
- c) $2$
- d) nu se poate ști
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$

Comutativitatea înseamnă $5 \circ 2 = 2 \circ 5 = 9$ : căsuța e oglinda celei date față de diagonală. Variantele $5$ și $2$ copiază capul de linie sau de coloană, iar „nu se poate ști” ar fi adevărat doar pentru o lege necomutativă.
Pentru legea $x \circ y = 4 x - 3 y$ , cât este $2 \circ 5 - 5 \circ 2$ ?
- a) $- 21$
- b) $21$
- c) $0$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 21$

$2 \circ 5 = 8 - 15 = - 7$ și $5 \circ 2 = 20 - 6 = 14$ , deci diferența este $- 21$ . Varianta $21$ scade invers, $0$ presupune o lege comutativă, iar $7$ vine din $- 7 + 14$ .

Întrebări conexe

Ce căsuțe compar ca să verific comutativitatea într-o tablă?

Pui față în față fiecare căsuță aflată deasupra diagonalei și perechea ei, aflată dedesubt. Pe o mulțime cu $n$ elemente sunt $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ astfel de perechi: $3$ pentru $3$ elemente, $6$ pentru $4$ elemente. Căsuțele de pe diagonală nu se compară cu nimic.

Cum arăt comutativitatea unei legi date prin formulă?

Pornești de la $y \circ x$ : în formulă, peste tot unde era $x$ pui $y$ și invers. Apoi rearanjezi termenii până regăsești expresia lui $x \circ y$ . Pentru $x \circ y = 2 x y + 5 x + 5 y$ obții $2 y x + 5 y + 5 x$ , adică exact formula inițială, deoarece $y x = x y$ .

Poate o lege să fie comutativă, dar neasociativă?

Da. La jocul „Jetonul nou”, două jetoane de culori diferite dau a treia culoare, oricine le-ar pune primul, deci legea e comutativă. Trei jetoane compuse în grupări diferite dau însă culori diferite: cu roșu R, galben G și verde V, $(R \circ V) \circ G = G$ , iar $R \circ (V \circ G) = R$ . Comutativitatea privește ordinea a două elemente, asociativitatea gruparea a trei.

Ce greșeală se face des când arăt comutativitatea?

Se schimbă ordinea termenilor în loc de locul literelor. La $x \circ y = 3 x + 7 y$ , scrierea $7 y + 3 x$ e tot $x \circ y$ , nu $y \circ x$ . Corect, $y \circ x = 3 y + 7 x$ , iar coeficienții diferiți arată că legea nu e comutativă.

La ce folosește comutativitatea într-un calcul cu legea?

Îți dă voie să schimbi ordinea elementelor fără să schimbi rezultatul. Împreună cu asociativitatea, permite regruparea unui șir lung de compuneri în ordinea cea mai comodă, de pildă perechi care se simplifică. Fără ea, ordinea scrisă în enunț trebuie păstrată.

Cum s-a cerut comutativitatea la Bacalaureatul M4?

În probele M_pedagogic din 2013–2026 a venit în 20 de probe. De 19 ori s-a cerut să arăți sau să verifici că legea e comutativă, iar răspunsul a fost „da” de fiecare dată; o dată, comutativitatea a fost condiția din care se afla un parametru.

Oamenii mai întreabă și: tabla simetrică lege comutativă · comutativitatea citită din tabla operației · diagonala tablei și comutativitatea · cum verific comutativitatea într-un tabel