Comutativitatea și tabla operației, la pedagogic

La jocul „Jetonul nou” nu contează cine pune primul jetonul: două culori diferite dau mereu a treia culoare. O lege la care ordinea celor două elemente nu schimbă rezultatul se numește comutativă, iar tabla ei e simetrică față de diagonală. În clasa a XI-a, la profilul pedagogic, înveți să arăți comutativitatea din formulă și din tablă și să o respingi cu un contraexemplu. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), ea a fost cerută în 20 dintre cele 60 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

La grădiniță, copiii joacă în perechi „Jetonul nou”. Fiecare copil pune pe masă un jeton roșu (R), galben (G) sau verde (V). Două jetoane de aceeași culoare dau un jeton nou de aceeași culoare, iar două jetoane de culori diferite dau un jeton de a treia culoare. Educatoarea notează culoarea jetonului nou și, ca să verifice regula, pune unele perechi să joace din nou cu ordinea schimbată.

Perechea	jetonul primului copil	jetonul celui de-al doilea	jetonul nou
Ana și Mihai	roșu	galben	verde
Mihai și Ana	galben	roșu	verde
Ioana și Dan	verde	roșu	galben
Dan și Ioana	roșu	verde	galben
Sara și Luca	galben	galben	galben

Întrebare: contează vreodată cine pune primul jetonul? Cum arată tabelul tuturor rezultatelor posibile și ce se vede în el?

De la situație la model

Pe mulțimea $M = {R, G, V}$ a celor trei culori, regula jocului este o lege de compoziție: $x \circ y$ este culoarea jetonului nou.

În situație	În matematică
jetonul primului copil și al celui de-al doilea	perechea ordonată $(x, y)$
jetonul nou	$x \circ y$
perechea jucată cu ordinea schimbată	$y \circ x$
„nu contează cine pune primul”	$x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y \in M$
tabelul tuturor rezultatelor	tabla operației, simetrică față de diagonală

O lege comutativă este o lege de compoziție $\circ$ pe $M$ pentru care $x \circ y = y \circ x$ , oricare ar fi $x, y \in M$ . Proprietatea privește ordinea celor două elemente, nu gruparea lor; asta e asociativitatea.

Cum arăți comutativitatea dintr-o formulă?

Scrii $y \circ x$ , adică formula cu $x$ și $y$ schimbate între ele, și o aduci la forma lui $x \circ y$ . La $x \circ y = 3 x y - 4 x - 4 y + 9$ : $y \circ x = 3 y x - 4 y - 4 x + 9 = 3 x y - 4 x - 4 y + 9$ , fiindcă înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative. Uneori simetria e ascunsă: la $(x - 2 y) (y - 2 x) + 5$ , schimbarea literelor inversează doar ordinea celor doi factori.

Cum se vede comutativitatea în tablă?

Căsuța $(x, y)$ și căsuța $(y, x)$ stau de o parte și de alta a diagonalei care pleacă din colțul de sus-stânga. Legea e comutativă exact când fiecare căsuță e egală cu „oglinda” ei față de această diagonală.

$\circ$	R	G	V
R	R	V	G
G	V	G	R
V	G	R	V

Tabla jocului e simetrică, deci legea e comutativă. Diagonala însăși nu contează: pe ea stau perechile $(x, x)$ .

Cum arăți că o lege nu e comutativă?

Dai o pereche pentru care $x \circ y \neq = y \circ x$ , cu ambele calcule. La $x \circ y = 2 x + 5 y$ : $1 \circ 0 = 2$ , dar $0 \circ 1 = 5$ . În tablă, ajunge o singură căsuță diferită de oglinda ei.

Metoda pas cu pas

Scrie ce trebuie arătat: $x \circ y = y \circ x$ , pentru orice $x, y \in M$ .
La o formulă, scrie $y \circ x$ : înlocuiește $x$ cu $y$ și $y$ cu $x$ în același timp.
Folosește comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor ca să aduci $y \circ x$ la forma lui $x \circ y$ ; la factori, schimbă doar ordinea lor.
La o tablă, compară fiecare căsuță de deasupra diagonalei cu oglinda ei de sub diagonală.
Verifică pe o pereche de numere diferite: $a \circ b$ și $b \circ a$ trebuie să dea același număr; dacă nu, perechea e chiar contraexemplul.

Tabla se completează ca în tabla operației pe o mulțime finită, iar gruparea a trei elemente e tema din asociativitatea pas cu pas. Lecția M3 Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru are alte situații. Toată materia clasei e pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$x \circ y = y \circ x, \forall x, y \in M$

$tabla comutativ \overset{a}{˘} : c \overset{a}{˘} su ț a (x, y) = c \overset{a}{˘} su ț a (y, x)$

O lege poate fi comutativă fără să fie asociativă, ca jocul de aici, și invers. Verificare rapidă pe tabla jocului: căsuța $(R, V)$ și căsuța $(V, R)$ conțin amândouă G.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Jetonul nou

Domeniu: joc la grădiniță.

Enunț. Folosește tabla jocului. a) Arată, citind tabla, că legea e comutativă. b) Câte perechi de căsuțe trebuie comparate? c) Calculează $(R \circ V) \circ G$ și $R \circ (V \circ G)$ . Este legea asociativă?

Rezolvare. a) Deasupra diagonalei stau V, G și R, în căsuțele $(R, G)$ , $(R, V)$ și $(G, V)$ ; oglinzile lor de sub diagonală conțin aceleași culori. b) Trei perechi: o tablă cu 3 elemente are $3 \cdot 3 = 9$ căsuțe, din care 3 pe diagonală, iar celelalte 6 formează 3 perechi. c) $R \circ V = G$ , apoi $G \circ G = G$ . Pe cealaltă grupare, $V \circ G = R$ , apoi $R \circ R = R$ . Rezultatele diferă, deci legea nu e asociativă. Legea nu are nici element neutru: linia niciunei culori nu repetă capul tabelului.

Capcană. Cine crede că o lege comutativă e automat și asociativă ratează punctul c). Cele două proprietăți se verifică separat.

Verificare. În situație, perechile Ana–Mihai și Mihai–Ana, Ioana–Dan și Dan–Ioana au dat același jeton nou, cum spune simetria tablei.

Exemplul 2 — Biletele de la muzeu

Domeniu: excursie școlară.

Enunț. La un muzeu, biletul de copil costă 5 lei, iar cel de adult 12 lei. Un grup cu $x$ copii și $y$ adulți plătește $x \circ y = 5 x + 12 y$ lei. a) Calculează $3 \circ 2$ și $2 \circ 3$ . b) Este legea comutativă? c) Ce greșeală descrie $2 \circ 3$ pentru un grup cu 3 copii și 2 adulți?

Rezolvare. a) $3 \circ 2 = 15 + 24 = 39$ și $2 \circ 3 = 10 + 36 = 46$ . b) Nu: perechea $(3, 2)$ e contraexemplul. c) Inversarea numerelor: plătești ca pentru 2 copii și 3 adulți, cu 7 lei mai mult.

Capcană. Cine scrie „ $y \circ x = 5 y + 12 x = 12 x + 5 y$ , deci e comutativă” confundă ordinea termenilor cu ordinea elementelor. Comparația corectă e cu $x \circ y = 5 x + 12 y$ , iar coeficienții lui $x$ diferă.

Verificare. Diferența $y \circ x - x \circ y = 7 x - 7 y$ pentru $x = 3$ , $y = 2$ dă $7$ , iar $46 - 39 = 7$ .

Exemplul 3 — Simetrie ascunsă

Domeniu: calcul algebric.

Enunț. Pe $R$ se definesc $x \circ y = (x - 2 y) (y - 2 x) + 5$ și $x * y = x^{2} + 2 y$ . a) Arată că $\circ$ este comutativă. b) Arată că $*$ nu este comutativă.

Rezolvare. a) $y \circ x = (y - 2 x) (x - 2 y) + 5$ . Factorii sunt aceiași, în altă ordine, iar înmulțirea numerelor e comutativă, deci $y \circ x = (x - 2 y) (y - 2 x) + 5 = x \circ y$ . b) $2 * 3 = 4 + 6 = 10$ , dar $3 * 2 = 9 + 4 = 13$ .

Capcană. La a), cine desface parantezele grăbit scrie $(x - 2 y) (y - 2 x) = x y - 2 x^{2} - 2 y^{2} - 4 x y$ și pierde semnul ultimului termen. Corect, $(- 2 y) \cdot (- 2 x) = + 4 x y$ , deci produsul este $5 x y - 2 x^{2} - 2 y^{2}$ , simetric în $x$ și $y$ .

Verificare. $1 \circ 3 = (1 - 6) (3 - 2) + 5 = 0$ și $3 \circ 1 = (3 - 2) (1 - 6) + 5 = 0$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: comutativitate și tablă

Domeniu: fără context.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 7 x - 7 y + 50$ . a) Arătați că $3 * 9 = - 7$ . b) Arătați că legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă. c) Completați tabla legii pe ${6, 7, 8}$ și verificați simetria ei.

Rezolvare. a) $3 * 9 = 27 - 21 - 63 + 50 = - 7$ . b) $y * x = y x - 7 y - 7 x + 50 = x y - 7 x - 7 y + 50 = x * y$ , pentru orice $x, y$ reali. c) Linia lui 6: $6 * 6 = 36 - 84 + 50 = 2$ , $6 * 7 = 1$ , $6 * 8 = 0$ . Linia lui 7: 1, 1, 1. Linia lui 8: 0, 1, 2. Căsuțele $(6, 7)$ și $(7, 6)$ conțin 1, $(6, 8)$ și $(8, 6)$ conțin 0, $(7, 8)$ și $(8, 7)$ conțin 1.

Capcană. La c), simetria tablei pe trei numere nu înlocuiește b): ea arată comutativitatea doar pe ${6, 7, 8}$ , iar cerința b) privește toate numerele reale.

Verificare. $9 * 3 = 27 - 63 - 21 + 50 = - 7$ , cât $3 * 9$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Arată că legea $x \circ y = 6 x + 6 y - 11$ , definită pe $R$ , este comutativă și calculează $2 \circ 5$ .

2. Arată că legea $x \circ y = 2 x + 5 y$ , definită pe $R$ , nu este comutativă.

3. O lege pe ${1, 2, 3}$ are tabla: linia lui 1: 2, 3, 1; linia lui 2: 3, 1, 2; linia lui 3: 1, 3, 3. Este legea comutativă?

4. Arată că legea $x \circ y = x^{2} + 3 x y + y^{2}$ , definită pe $R$ , este comutativă.

Nivelul 2 — situații

5. La fotografia de grup, copiii stau pe $x$ rânduri a câte $y$ copii, deci în fotografie sunt $x \circ y = x y$ copii. a) Compară 4 rânduri a câte 6 copii cu 6 rânduri a câte 4. b) Este legea comutativă? c) Arată fotografia la fel în cele două cazuri?

6. Strada spre școală urcă un deal. Casele și școala au poziții măsurate în sute de metri de la baza dealului: Matei stă la 3, școala e la 8. Urcarea durează 2 minute la fiecare 100 m, coborârea 1 minut. Timpul de mers de la poziția $x$ la poziția $y$ este $x \circ y$ . a) Calculează $3 \circ 8$ și $8 \circ 3$ . b) Este legea comutativă? c) Ce lege ar fi comutativă pe o stradă dreaptă, fără pantă?

7. O lege comutativă pe ${1, 2, 3, 4}$ are, deasupra diagonalei și pe ea: $1 \circ 1 = 2$ , $1 \circ 2 = 5$ , $1 \circ 3 = 4$ , $1 \circ 4 = 3$ , $2 \circ 2 = 1$ , $2 \circ 3 = 4$ , $2 \circ 4 = 6$ , $3 \circ 3 = 3$ , $3 \circ 4 = 1$ , $4 \circ 4 = 5$ . a) Completează căsuțele de sub diagonală. b) Câte căsuțe au fost date și de ce ajung?

8. La turneul de minifotbal al claselor a IV-a, $x \circ y$ este numărul de goluri marcate de clasa $x$ în meciul cu clasa $y$ , iar o clasă nu joacă cu ea însăși, deci se scrie $x \circ x = 0$ . Rezultatele: A–B 3–1, A–C 0–2, B–C 2–2. a) Completează tabelul valorilor pe ${A, B, C}$ . b) Arată că $x \circ y$ nu este lege de compoziție pe ${A, B, C}$ . c) Este tabelul simetric? Ce arată suma $x \circ y + y \circ x$ ?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y + 8 (x + y) + 70$ . Arătați că legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = (x - 3 y) (y - 3 x) + 7$ . a) Arătați că $1 \circ 2 = 12$ . b) Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 2 x + y - 6$ . Verificați dacă legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă.

12. (Sinteză.) a) Câte legi de compoziție pe ${0, 1, 2}$ au elementul neutru 0? b) Câte dintre ele sunt comutative? c) Pe o mulțime cu 4 elemente, câte căsuțe ale tablei poți alege liber la o lege comutativă?

Răspunsuri și verificări

1. $y \circ x = 6 y + 6 x - 11 = 6 x + 6 y - 11 = x \circ y$ . $2 \circ 5 = 12 + 30 - 11 = 31$ . Verificare: $5 \circ 2 = 30 + 12 - 11 = 31$ .

2. $1 \circ 0 = 2$ , dar $0 \circ 1 = 5$ . Verificare: $y \circ x - x \circ y = 3 x - 3 y$ , iar pentru $x = 1$ , $y = 0$ dă $3 = 5 - 2$ .

3. Nu: căsuța $(2, 3)$ conține 2, iar oglinda ei, $(3, 2)$ , conține 3. Verificare: celelalte perechi, $(1, 2)$ cu $(2, 1)$ și $(1, 3)$ cu $(3, 1)$ , sunt egale, dar o singură pereche diferită ajunge.

4. $y \circ x = y^{2} + 3 y x + x^{2} = x^{2} + 3 x y + y^{2} = x \circ y$ . Verificare: $1 \circ 2 = 1 + 6 + 4 = 11$ și $2 \circ 1 = 4 + 6 + 1 = 11$ .

5. a) $4 \circ 6 = 24 = 6 \circ 4$ . b) Da: $x y = y x$ . c) Nu: numărul de copii e același, dar așezarea diferă, 4 rânduri lungi sau 6 rânduri scurte. Verificare: $4 \cdot 6 = 6 \cdot 4 = 24$ .

6. a) $3 \circ 8 = 2 \cdot 5 = 10$ minute la urcare, $8 \circ 3 = 1 \cdot 5 = 5$ minute la coborâre. b) Nu: $10 \neq = 5$ . c) Timpul proporțional cu distanța, de pildă $x \circ y = ∣ x - y ∣$ minute, care e comutativă. Verificare: drumul are $8 - 3 = 5$ sute de metri în ambele sensuri.

7. a) $2 \circ 1 = 5$ , $3 \circ 1 = 4$ , $4 \circ 1 = 3$ , $3 \circ 2 = 4$ , $4 \circ 2 = 6$ , $4 \circ 3 = 1$ . b) 10 căsuțe: 4 pe diagonală și 6 deasupra ei; celelalte 6 sunt oglinzile lor. Verificare: $10 + 6 = 16 = 4 \cdot 4$ .

8. a) Linia lui A: 0, 3, 0; linia lui B: 1, 0, 2; linia lui C: 2, 2, 0. b) Rezultatele sunt numere de goluri, nu clase din ${A, B, C}$ , deci regula nu este lege de compoziție pe ${A, B, C}$ . c) Nu e simetric: $A \circ B = 3$ , dar $B \circ A = 1$ . Suma $x \circ y + y \circ x$ este numărul total de goluri din meciul celor două clase, care nu depinde de ordine. Verificare: A–B are $3 + 1 = 4$ goluri.

9. $y * x = y x + 8 (y + x) + 70$ . Cum $y x = x y$ și $y + x = x + y$ , rezultă $y * x = x y + 8 (x + y) + 70 = x * y$ . Legea este comutativă. Verificare: $1 * 2 = 2 + 24 + 70 = 96 = 2 * 1$ .

10. a) $1 \circ 2 = (1 - 6) (2 - 3) + 7 = 5 + 7 = 12$ . b) $y \circ x = (y - 3 x) (x - 3 y) + 7$ , iar factorii sunt aceiași, în altă ordine: $y \circ x = (x - 3 y) (y - 3 x) + 7 = x \circ y$ . Legea este comutativă. Verificare: $2 \circ 1 = (2 - 3) (1 - 6) + 7 = 12$ .

11. $1 * 2 = 2 + 2 - 6 = - 2$ , dar $2 * 1 = 4 + 1 - 6 = - 1$ . Legea nu e comutativă. Verificare: $x * y - y * x = x - y$ , iar $- 2 - (- 1) = - 1 = 1 - 2$ .

12. a) Linia și coloana lui 0 sunt fixate de neutru, adică 5 căsuțe, iar celelalte 4 căsuțe primesc câte una dintre 3 valori: $3^{4} = 81$ de legi. b) La cele comutative rămân libere $(1, 1)$ , $(2, 2)$ și perechea $(1, 2) = (2, 1)$ : $3^{3} = 27$ . c) $4 + 6 = 10$ căsuțe. Verificare: din cele 9 căsuțe, 5 sunt fixate și 4 libere, iar $5 + 4 = 9$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), comutativitatea a fost cerută în 20 dintre cele 60 de probe din 2013–2026, câte o dată pe probă. În 19 dintre ele cerința a fost „arătați”, „demonstrați” sau „verificați dacă legea este comutativă”, iar legea s-a dovedit comutativă de fiecare dată; în a 20-a, comutativitatea a fost condiția pentru un parametru.

Iunie 2025, cerința 2: legea $x y - 6 (x + y) + 14$ , ca la Exemplul 4 b). Pagina probei dă 3 puncte pentru scrierea lui $y * x$ și 2 puncte pentru concluzie.
Simularea din 2026, cerința 2: legea are doi factori, iar schimbarea literelor le inversează doar ordinea, ca în Exemplul 3 a). Pagina probei dă 3 puncte pentru $y * x$ și 2 puncte pentru concluzie.
Iunie 2020, cerința 2: o lege cu pătrate și produsul $x y$ , ca la exercițiul 4. Pagina probei dă 3 puncte pentru rescrierea formulei și 2 puncte pentru concluzie.

Greșeli care costă puncte

Arăți comutativitatea pe o singură pereche → la Exemplul 4, $3 * 9 = 9 * 3$ nu demonstrează nimic pentru toți $x, y$ ; cum o prinzi: scrii $y * x$ cu litere.
Schimbi ordinea termenilor în loc de ordinea elementelor → la muzeu ai „demonstra” o comutativitate falsă; cum o prinzi: compari coeficientul lui $x$ din $y \circ x$ cu cel din $x \circ y$ .
Citești tabla după diagonala greșită → oglinda căsuței $(x, y)$ e $(y, x)$ , față de diagonala care pleacă din colțul de sus-stânga.
Tragi concluzii despre ℝ dintr-o tablă mică → simetria tablei pe ${6, 7, 8}$ e doar o verificare.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006), la conținutul „Legi de compoziție, proprietăți”. Comutativitatea deosebește, mai târziu, grupurile comutative de celelalte. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

Contează la „Jetonul nou” cine pune primul jetonul? Nu. Jetonul nou depinde doar de cele două culori, nu de ordinea în care apar, așa că $R \circ V$ și $V \circ R$ dau amândouă G. Tabla jocului e simetrică față de diagonală, deci legea e comutativă. Gruparea contează însă când compui trei jetoane la rând, fiindcă legea nu e asociativă.

Ce se schimbă dacă adăugăm o a patra culoare? Tabla crește la $4 \cdot 4 = 16$ căsuțe, iar pentru comutativitate trebuie comparate 6 perechi de căsuțe, nu 3. Regula însă trebuie schimbată: pentru două culori diferite nu mai există o singură „a treia culoare”, ci rămân două. Dacă regula nouă nu ține seama de ordinea copiilor, tabla rămâne simetrică și legea rămâne comutativă.

De ce drumul spre școală nu e o lege comutativă? Pentru că timpul depinde de sens: urcarea de la 3 la 8 durează 10 minute, coborârea de la 8 la 3 doar 5 minute. Distanța e aceeași, dar timpul nu, așa că $3 \circ 8 \neq = 8 \circ 3$ . Pe o stradă fără pantă, timpul ar depinde doar de distanță și legea ar fi comutativă.

Ce arată diagonala tablei despre comutativitate? Nimic: pe diagonală stau perechile $(x, x)$ , iar acolo ordinea nu are ce schimba. Comutativitatea se citește comparând căsuțele aflate de o parte și de alta a diagonalei. De aceea, la o lege comutativă pe 3 elemente, se compară doar 3 perechi de căsuțe din cele 9.

Cum se cere comutativitatea la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele din 2013–2026 a fost cerută în 20 de probe din 60: în 19, ca „arătați”, „demonstrați” sau „verificați dacă legea este comutativă”, iar într-una, ca o condiție pentru un parametru. Rezolvarea are două rânduri: scrierea lui $y \circ x$ și concluzia, ca la exercițiul 9.