Care situație se numără cu regula produsului, cu repetiție permisă?

grupul de elevi trimiși la o olimpiadă

ordinea tuturor cărților de pe un raft

primii doi clasați la un concurs

De ce Cₙ^(k)≤ Aₙ^(k)≤ n^(k) pentru aceleași n și k?

Fiecare grupă fără ordine produce k! șiruri distincte, deci Aₙ^(k)=k!· Cₙ^(k). Fiecare șir fără repetiție este și un șir în care repetiția e permisă, deci Aₙ^(k)≤ n^(k). Pentru n=8 și k=3: 56≤ 336≤ 512.

Cum scriu un rezultat ca să aleg formula?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Alegerea metodei de numărare

Scrii un singur rezultat concret și faci testul schimbului: dacă inversând două elemente obții alt rezultat, e un șir; altfel e o mulțime. Apoi verifici repetiția. Exemplu cu $8$ probe: $3$ probe trimise la trei analize diferite formează un șir, $A_{8}^{3} = 336$ ; $3$ probe puse în același vas formează o mulțime, $C_{8}^{3} = 56$ ; trei măsurători, fiecare putând fi oricare probă, dau $8^{3} = 512$ .

Înainte de orice formulă, scrie un singur rezultat al problemei. Dacă îl notezi între paranteze rotunde și, schimbând două elemente, obții alt rezultat, ai un șir; dacă nu se schimbă nimic, rezultatul este o mulțime și se scrie între acolade.

A doua întrebare este repetiția. Un șir de $k$ poziții în care fiecare poziție poate primi oricare dintre cele $n$ variante dă $n^{k}$ rezultate, prin regula produsului. Fără repetiție, un șir care folosește toate elementele este o permutare, $P_{n} = n!$ , iar un șir care folosește doar $k$ dintre ele este un aranjament, $A_{n}^{k}$ . O mulțime fără repetiție este o combinare, $C_{n}^{k}$ . Mulțimile cu elemente repetate nu fac parte din programa clasei a X-a.

Pentru aceleași $n$ și $k$ ai mereu $C_{n}^{k} \leq A_{n}^{k} \leq n^{k}$ , iar între aranjamente și combinări factorul este $k!$ . Când un enunț combină un grup cu roluri, construiești rezultatul în pași, fiecare cu schema lui, și verifici pe un al doilea drum. Într-o probabilitate, numărătorul și numitorul trebuie obținute la fel: ambele ca mulțimi sau ambele ca șiruri.

De reținut

șir (ordinea contează): $A_{n}^{k}$ sau $P_{n}$ ; mulțime: $C_{n}^{k}$ ; cu repetiție: $n^{k}$
testul: schimbi două elemente și vezi dacă rezultatul se schimbă
ordinea impusă de o regulă, ca „crescător”, nu se mai numără

Greșeala tipică

Se citește „probe distincte” ca semn că ordinea contează; și elementele unei mulțimi sunt distincte, deci doar testul schimbului decide între $A_{8}^{3}$ și $C_{8}^{3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un rezultat al problemei este o mulțime de $k$ elemente distincte, alese dintre $n$ . Ce număr dă toate rezultatele?
- a) $n^{k}$
- b) $A_{n}^{k}$
- c) $C_{n}^{k}$
- d) $P_{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $C_{n}^{k}$

O mulțime nu are ordine și nu repetă elemente, deci se numără cu combinări.
Care situație se numără cu regula produsului, cu repetiție permisă?
- a) grupul de elevi trimiși la o olimpiadă
- b) codul unui lacăt cu cifre
- c) ordinea tuturor cărților de pe un raft
- d) primii doi clasați la un concurs
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) codul unui lacăt cu cifre

La un cod aceeași cifră poate apărea de mai multe ori, iar poziția contează: fiecare poziție are toate variantele.
Din $5$ plante se aleg $3$ , puse împreună pe aceeași tavă de germinare. În câte moduri se poate face alegerea?
- a) $10$
- b) $60$
- c) $125$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$

Plantele de pe aceeași tavă formează o mulțime: $C_{5}^{3} = 10$ . Valoarea $60$ ar corespunde unor tăvi diferite.

Întrebări conexe

De ce $C_{n}^{k} \leq A_{n}^{k} \leq n^{k}$ pentru aceleași $n$ și $k$ ?

Fiecare grupă fără ordine produce $k!$ șiruri distincte, deci $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ . Fiecare șir fără repetiție este și un șir în care repetiția e permisă, deci $A_{n}^{k} \leq n^{k}$ . Pentru $n = 8$ și $k = 3$ : $56 \leq 336 \leq 512$ .

Ce se schimbă dacă cele trei săruri merg în trei pahare numerotate?

Într-un singur pahar, sărurile formează o mulțime: din $6$ săruri, $C_{6}^{3} = 20$ de amestecuri. În trei pahare numerotate, contează ce sare ajunge în fiecare pahar, deci rezultatul devine șir: $A_{6}^{3} = 120$ , de $3! = 6$ ori mai multe.

Câte numere de trei cifre au cifrele strict crescătoare?

Ordinea e impusă, deci nu se mai numără: odată alese trei cifre, există un singur fel de a le scrie crescător. Cifra $0$ nu poate apărea, fiindcă ar trebui să stea prima. Rezultă $C_{9}^{3} = 84$ de numere, de exemplu $147$ sau $259$ .

În câte feluri se trimit $5$ probe la două laboratoare?

Fiecare probă merge la unul dintre cele $2$ laboratoare, iar un laborator poate primi mai multe probe, deci laboratoarele se repetă. Rezultatul este un șir cu repetiție: $2^{5} = 32$ de repartizări, inclusiv cele $2$ în care un laborator primește toate probele.

Cum verific pe două drumuri alegerea unui grup cu un conducător?

Pentru $5$ elevi din $9$ , dintre care unul conduce: alegi întâi conducătorul, $9$ variante, apoi ceilalți $4$ din $8$ , $C_{8}^{4} = 70$ , deci $630$ . Sau alegi grupul, $C_{9}^{5} = 126$ , apoi conducătorul din el, $5$ variante: $630$ . Rezultatele egale confirmă numărătoarea.

Oamenii mai întreabă și: cum aleg între permutări aranjamente și combinări · șir sau mulțime la numărare · cum știu ce formulă de numărare folosesc · testul schimbului a două elemente