Contează ordinea? Alegerea metodei: pe scurt

Trei întrebări, puse mereu în aceeași ordine, decid formula: (1) un element poate fi ales de mai multe ori? Dacă da, e regula produsului, $n^k$. (2) Contează ordinea? Testul e simplu: schimbă între ele două elemente ale unei soluții — dacă obții altceva, ordinea contează; dacă nu, ai numărat de mai multe ori aceeași situație. Dacă ordinea nu contează, metoda e combinări, $C_n^k$. (3) Se folosesc toate elementele sau doar o parte? Toate, în ordine: permutări, $P_n=n!$. O parte, în ordine: aranjamente, $A_n^k$.

Legătura dintre ele: $A_n^k=C_n^k\cdot k!$ — întâi alegi cele $k$ elemente ($C_n^k$ moduri), apoi le ordonezi ($k!$ moduri). De aceea aranjamentele sunt întotdeauna de $k!$ ori mai multe decât combinările corespunzătoare.

Cuvinte-semnal: echipă, comisie, delegație, juriu → combinări; clasament, podium, funcții distincte, cod cu simboluri distincte → aranjamente; cod cu repetiție, parolă unde simbolurile pot reveni → regula produsului. Când o singură formulă nu ajunge, împarți în cazuri disjuncte și aduni, sau numeri contrariul și scazi din total.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dintr-un grup de $8$ elevi se alege o comisie de $3$, fără roluri diferite. Câte comisii există?

   • a) $56$
   • b) $336$
   • c) $24$
   • d) $512$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $56$

   Testul schimbului: schimbând doi membri ai comisiei, comisia rămâne aceeași — ordinea nu contează, deci combinări: $C_8^3=56$.

2. Aceiași $8$ elevi. Câte moduri există de a alege un președinte, un secretar și un casier (funcții diferite)?

   • a) $56$
   • b) $336$
   • c) $512$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $336$

   Schimbând doi elevi între funcții, obții altă conducere — ordinea contează, deci aranjamente: $A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336=56\cdot 3!$.

3. Câte coduri de $3$ cifre se pot forma cu cifrele mulțimii $\{1,2,\dots ,6\}$, dacă o cifră se poate repeta?

   • a) $20$
   • b) $120$
   • c) $216$
   • d) $729$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $216$

   Repetiția e permisă, deci se aplică regula produsului: $6^3=216$.