Contează ordinea? Alegerea metodei de numărare (M2, științe ale naturii)

Un agronom are o parcelă experimentală și câteva culturi posibile: grâu, porumb, soia, orz, rapiță, floarea-soarelui, lucernă. Ce culturi intră în planul de rotație? În ce ordine se succedă? Poate reveni aceeași cultură? Datele sunt aceleași, dar fiecare întrebare cere alt fel de numărare. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, și adună schemele învățate într-un singur loc: îți arată cum decizi, înainte de orice calcul, ce anume numeri. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: permutările, aranjamentele și combinările sunt trecute la capitolul de metode de numărare, iar în modelul oficial publicat pentru 2026 numărarea apare la Subiectul I, într-o cerință de probabilitate.

Lecția vine după triunghiul lui Pascal și pregătește binomul lui Newton, unde aceleași combinări vor număra altceva: termenii unei puteri.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii un singur rezultat al problemei, ca șir sau ca mulțime, și să citești din el metoda.
• Vei ști să folosești tabelul complet al schemelor, cu și fără ordine, cu și fără repetiție.
• Vei ști să rezolvi pe două drumuri enunțurile în care apar împreună un grup și niște roluri.
• Vei ști să prevezi efectul unei singure condiții schimbate (repetiția, ordinea, câte elemente folosești).
• Vei ști să numeri în același fel cazurile favorabile și cele posibile, ca în cerința de probabilitate din modelul de bacalaureat M2.
• Vei ști să recunoști când ordinea e impusă de natură, nu aleasă, și nu se numără.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să alegi metoda de numărare?

A alege metoda de numărare înseamnă a stabili, înainte de orice calcul, ce fel de obiect este un rezultat al problemei: un șir, în care fiecare element are un loc al lui și schimbarea locurilor dă alt rezultat, sau o mulțime, în care contează numai ce elemente conține; apoi a stabili dacă un element poate apărea de mai multe ori. Abia după aceste două hotărâri alegi formula.

La parcela agronomului, un plan de rotație pe patru ani este un șir: (porumb, soia, grâu, orz) și (soia, porumb, grâu, orz) sunt planuri diferite, fiindcă primul an primește altă cultură. Lista culturilor cumpărate pentru rotație, $\{\text{porumb},\text{soia},\text{graˆu},\text{orz}\}$, este o mulțime: ordinea de pe comandă nu schimbă nimic.

2. Cum scrii un rezultat ca să vezi metoda?

Scrie pe ciornă un rezultat concret, între paranteze rotunde, și schimbă două elemente între ele. Dacă ai obținut altceva, rezultatul e un șir; dacă nu s-a schimbat nimic, trebuia scris între acolade, ca mulțime. E testul schimbului de la aranjamente și combinări, făcut acum pe hârtie.

A doua întrebare, pe același rezultat: poți scrie de două ori același element? Planul (grâu, soia, grâu, orz) are sens agronomic — grâul revine după o pauză —, deci repetiția e permisă.

3. Care este tabelul complet al schemelor?

Cele două hotărâri — șir sau mulțime, cu sau fără repetiție — împart problemele în patru căsuțe. Pentru șirurile fără repetiție mai contează o întrebare: le folosești pe toate cele $n$ elemente sau doar $k$ dintre ele?

Rândul întâi vine din regula produsului. Rândul al doilea e un caz al celui de-al treilea, fiindcă $A_n^n=P_n$, iar între al treilea și al patrulea stă $A_n^k=k!\cdot C_n^k$, obținută la combinări prin numărare dublă. Ultimul rând apare când alegi, de exemplu, trei lingurițe de condimente din patru feluri, cu voie să repeți un fel. Programa clasei a X-a nu are formulă pentru acest caz; dacă îl întâlnești, listezi rezultatele grupate după un criteriu.

4. De ce întrebi întâi de repetiție?

Pentru că repetiția scoate problema din familia formulelor cu factoriale. Permutările, aranjamentele și combinările lucrează cu elemente distincte: odată folosit, un element dispare din rezervă. Cu repetiție, rezerva rămâne plină la fiecare pas și rezultatul devine o putere. Cine întreabă întâi de ordine riscă să scrie $A_n^k$ într-o problemă cu repetiție, unde formula nici nu are sens când $k>n$: un cod de șase simboluri scris cu doar trei simboluri există, deși nu poți alege șase elemente distincte dintre trei.

5. Cum recunoști o mulțime într-un enunț de laborator?

Cuvintele ajută, dar nu decid singure. O mulțime se ascunde de obicei în expresii ca „se adaugă simultan”, „în același vas”, „un amestec de”, „un panel de”, „se trimit împreună la analiză”. Un șir se ascunde în „pe rând”, „în ordinea în care”, „pe poziții numerotate”, „în zile diferite”, „primul, al doilea”, „un cod”.

„Echipă” e o capcană: o echipă fără roluri e o mulțime, dar o echipă în care fiecare are altă sarcină e un șir de roluri. Iar „distincte” spune doar că nu se repetă nimic, nu că ar conta ordinea. Decizia o ia rezultatul scris pe ciornă, nu un cuvânt.

Mai există ordinea care există în realitate, dar nu e aleasă de tine. Într-o pilă galvanică din două metale, metalul mai reactiv devine anod; nu poți construi aceeași pilă „invers”. Singura alegere e perechea de metale, deci se numără perechi neordonate.

6. Ce faci când enunțul amestecă un grup și roluri?

Multe probleme au două etaje: se alege un grup, iar o parte din el primește roluri distincte. Împarți construcția în pași, fiecare cu schema lui, și înmulțești. Ordinea pașilor o alegi tu, iar două ordini diferite trebuie să dea același număr.

Să zicem că din $n$ elevi se aleg $m$ pentru o expediție, iar dintre ei $j$ primesc roluri diferite. Primul drum: alegi rolurile întâi, $A_n^j$ variante, apoi completezi grupul cu încă $m-j$ elevi fără rol, $C_{n-j}^{m-j}$ variante. Al doilea drum: alegi grupul întâi, $C_n^m$ variante, apoi dai rolurile în interiorul lui, $A_m^j$ variante. Cele două produse sunt egale pentru orice valori admisibile; dacă pe un exemplu concret nu îți ies egale, ai greșit o schemă.

7. Cum verifici că ai ales bine?

Trei controale rapide. Primul: pentru aceleași $n$ și $k$, $C_n^k\le A_n^k\le n^k$ — mulțimile sunt cele mai puține, șirurile cu repetiție cele mai multe. Al doilea: între aranjamente și combinări factorul e exact $k!$. Al treilea: un caz mic, cu două sau trei elemente, pe care îl poți lista complet.

În problemele de probabilitate, cazurile favorabile și cele posibile se numără cu aceeași schemă: ambele ca mulțimi sau ambele ca șiruri. Amestecul dă un raport greșit, chiar dacă fiecare număr, luat separat, e corect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește lista unui coleg

Pentru un test de analiză senzorială, un laborator alimentar are cinci soiuri de mere: Ionatan (I), Golden (G), Starkrimson (S), Florina (F) și Renet (R). Un coleg a scris toate variantele de a alege două soiuri: IG, GI, IS, SI, IF, FI, IR, RI, GS, SG, GF, FG, GR, RG, SF, FS, SR, RS, FR, RF. a) Dacă cele două soiuri se gustă împreună, în același test, e corectă lista? b) Dacă primul soi ales merge la juriul de dimineață, iar al doilea la cel de după-amiază, e corectă lista?

Rezolvare. Colegul a scris șiruri: IG și GI apar separat. a) Două soiuri gustate împreună formează o mulțime, $\{\text{I},\text{G}\}=\{\text{G},\text{I}\}$, deci fiecare pereche a fost scrisă de două ori. Numărul corect este $\frac{20}{2}=10$, adică $C_5^2=10$. b) Acum juriile sunt diferite: IG înseamnă Ionatan dimineața și Golden după-amiaza, iar GI înseamnă invers. Lista are sens exact așa cum e, cu $A_5^2=20$ de variante.

Aceeași listă e greșită la o întrebare și corectă la cealaltă.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un entomolog instalează cinci capcane-gropi pentru gândaci de sol, numerotate 1, 2, 3, 4, 5, într-o poiană în care trăiesc $6$ specii de gândaci. Pentru fiecare capcană notează specia primului gândac prins. Un elev calculează numărul fișelor posibile astfel: „$A_6^5=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=720$”. Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Fișa e un șir (capcana 1, capcana 2, …, capcana 5), deci ordinea contează, aici elevul are dreptate. Greșeala e la repetiție: nimic nu împiedică aceeași specie să fie prima în două capcane sau în toate cinci. Aranjamentele presupun că specia de la capcana 1 nu mai poate apărea la celelalte, ceea ce e fals. Fiecare capcană are $6$ variante, oricare ar fi celelalte:

$$6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^5=7776.$$

Controlul ordinii: numărul șirurilor fără repetiție, $720$, trebuie să fie mai mic decât al șirurilor cu repetiție, iar $720<7776$. Diferența, $7056$, numără exact fișele în care o specie apare de cel puțin două ori.

Exemplul 3 — Un grup cu roluri, pe două drumuri

Un laborator are $9$ probe de apă. Trei dintre ele se analizează pe un aparat cu trei canale diferite (pH, oxigen dizolvat, nitrați), câte o probă pe canal, iar alte $3$ se păstrează ca probe-martor, fără rol diferit între ele. În câte moduri se poate organiza ziua de lucru?

Rezolvare. Drumul 1 — rolurile întâi. Probele pentru cele trei canale formează un șir: $A_9^3=9\cdot 8\cdot 7=504$. Din cele $6$ rămase se aleg cele trei probe-martor, o mulțime: $C_6^3=20$. Total, după regula produsului: $504\cdot 20=10080$.

Drumul 2 — grupul întâi. Se aleg cele șase probe care vor fi folosite: $C_9^6=84$. Dintre ele, trei se pun pe canale, ca șir: $A_6^3=120$; celelalte trei devin automat martor. Total: $84\cdot 120=10080$.

Cele două drumuri dau același număr, deci schemele au fost alese corect.

Exemplul 4 — Schimbă o singură condiție

O practică de teren durează $3$ zile, iar în fiecare zi grupa vizitează un ecosistem dintr-o listă de $8$: pădure, pajiște, lac, mlaștină, dună, peșteră, livadă, turbărie. Înainte de calcul, spuneți dacă rezultatul crește sau scade la fiecare schimbare, apoi calculați: a) un ecosistem poate fi vizitat în mai multe zile; b) același ecosistem nu poate fi vizitat în două zile consecutive; c) niciun ecosistem nu se repetă, iar în prima zi grupa merge obligatoriu în pădure.

Rezolvare. a) Șir cu repetiție: $8^3=512$ programe. b) Condiția privește doar zilele vecine: prima zi are $8$ variante, iar fiecare zi următoare are $7$, orice ecosistem în afară de cel din ziua precedentă. Numărul scade: $8\cdot 7\cdot 7=392$. c) Prima zi are o singură variantă, a doua $7$, a treia $6$, deci numărul scade din nou: $1\cdot 7\cdot 6=42$.

De la a) la b) au dispărut exact programele în care două zile vecine repetă ecosistemul, $512-392=120$. De la b) la c) s-au adăugat două condiții deodată, iar numărul a scăzut de peste nouă ori. Niciuna dintre aceste treceri nu are un factor fix, cum are trecerea de la aranjamente la combinări.

Exemplul 5 — Aceeași schemă sus și jos

Dintre $10$ frunze culese de pe un trandafir, $3$ au pete de făinare. Se aleg la întâmplare trei frunze pentru microscop. Calculați probabilitatea ca niciuna dintre ele să nu aibă pete, numărând întâi cu mulțimi, apoi cu șiruri.

Rezolvare. Cu mulțimi. Grupurile posibile de trei frunze: $C_{10}^3=120$; grupurile favorabile, trei frunze dintre cele $7$ sănătoase: $C_7^3=35$. Probabilitatea este $\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$.

Cu șiruri (prima, a doua și a treia frunză aleasă): posibile $A_{10}^3=720$, favorabile $A_7^3=210$, iar $\frac{210}{720}=\frac{7}{24}$. Aceeași probabilitate: fiecare grup de trei frunze apare de $3!=6$ ori în numărul de jos, iar fiecare grup favorabil de tot atâtea ori în numărul de sus, deci factorul $6$ se simplifică.

Ce nu e voie: să iei favorabilele ca mulțimi și posibilele ca șiruri. Raportul $\frac{35}{720}=\frac{7}{144}$ e de șase ori mai mic decât cel corect, deși ambele numere, separat, sunt calculate bine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,10\}$. a) Arătați că mulțimea $M$ are $45$ de submulțimi cu două elemente. b) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale lui $M$ care au suma elementelor număr par. c) Se alege, la întâmplare, o pereche ordonată $(x,y)$ de elemente distincte ale lui $M$. Determinați probabilitatea ca $x+y$ să fie număr par.

Rezolvare. a) O submulțime nu are ordine: $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$.

b) Suma a două numere e pară exact când ambele sunt pare sau ambele sunt impare. În $M$ sunt $5$ numere pare și $5$ impare, iar cele două cazuri nu au submulțimi comune, deci se adună: $C_5^2+C_5^2=10+10=20$.

c) Enunțul cere perechi ordonate, deci numărăm șiruri, și sus, și jos. Posibile: $A_{10}^2=90$. Favorabile: $A_5^2+A_5^2=20+20=40$. Probabilitatea este $\frac{40}{90}=\frac{4}{9}$. Control: cu mulțimi, raportul ar fi fost $\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$, același număr.

Exemplul urmează forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare a modelului publicat este o probabilitate; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, scrie pe ciornă un rezultat concret, între paranteze rotunde sau între acolade, și spune dacă un element se poate repeta. Abia apoi alege formula.

1. Scrie câte un rezultat posibil și numește schema, fără să calculezi: a) ordinea în care cei $5$ membri ai unei echipe de teren își prezintă observațiile, fiecare o dată; b) $3$ elevi din cei $14$ ai cercului de biologie, trimiși la o expoziție; c) un cod de $4$ cifre pentru dulapul cu reactivi; d) locurile I, II și III la un concurs cu $14$ fotografii științifice.

2. Un acvariu de cercetare are $24$ de specii de alge disponibile. a) În câte moduri se pot alege $4$ specii cultivate împreună, în același bazin? b) În câte moduri se pot repartiza câte o specie în $4$ bazine numerotate, fiecare specie cel mult o dată? c) Ce legătură există între cele două rezultate?

3. Un senzor de calitate a aerului trimite zilnic $5$ măsurători, la ore fixe, fiecare încadrată într-una dintre $5$ clase (bună, acceptabilă, moderată, slabă, foarte slabă). Câte rapoarte zilnice diferite sunt posibile?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un codon este un șir de $3$ nucleotide, fiecare aleasă dintre $4$ (A, C, G, U), cu repetiție permisă. Codonii în care o nucleotidă apare de cel puțin două ori sunt mai numeroși decât codonii cu trei nucleotide diferite.”

5. Cele $9$ probe ale unei zile se analizează pe rând, la un singur aparat. a) În câte ordini se pot face analizele? b) Aparatul se defectează după a șaptea analiză. Câte succesiuni diferite de șapte analize ar fi fost posibile până la defectare? c) De ce rezultatul de la b) este exact jumătate din cel de la a)?

6. Într-un terariu se introduc împreună $2$ specii de reptile, alese din $6$, iar pe cele $3$ poziții marcate ale terariului se plantează câte o plantă diferită, aleasă din $10$ specii. În câte moduri se poate amenaja terariul?

7. a) Câte numere naturale de două cifre se pot forma folosind numai cifre impare? b) Câte dintre ele au cifrele distincte? c) Câte submulțimi cu două elemente are mulțimea cifrelor impare? d) Explică de ce rezultatul de la b) este dublul celui de la c).

8. Un laborator de biologie moleculară are un kit cu $32$ de enzime de restricție și testează $3$ dintre ele, fiecare pe alt substrat: ADN plasmidic, ADN viral și ADN genomic. Un elev scrie: „numărul testelor posibile este $C_{32}^3=4960$, fiindcă se aleg trei enzime”. Găsește greșeala și scrie rezultatul corect.

9. (Problemă aplicată.) Un profesor de chimie discută legăturile dintre doi atomi diferiți, aleși dintre elementele: hidrogen, carbon, azot, oxigen, fluor și clor. Într-o astfel de legătură, atomul mai electronegativ poartă sarcina parțială negativă, iar celălalt pe cea pozitivă. a) Câte legături diferite, ca perechi de elemente, se pot discuta? b) În câte dintre aceste legături apare atomul de hidrogen?

10. Într-un stativ sunt $6$ eprubete, dintre care $4$ conțin soluție de glucoză. Se iau la întâmplare două eprubete. Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre ele să conțină glucoză, o dată numărând perechi neordonate, o dată perechi ordonate, și verifică faptul că rezultatele coincid.

11. Determină numărul natural $n\ge 2$ pentru care $A_n^2-C_n^2=3081$.

12. Un difuzor de alarmă emite un semnal format din $5$ impulsuri consecutive, fiecare impuls fiind de unul dintre $2$ tonuri, grav sau ascuțit. a) Câte semnale diferite există? b) Câte semnale au toate impulsurile de tonuri diferite? Explică rezultatul.

13. La un concurs de proiecte, un „grup de lucru” de $3$ elevi se formează din cei $21$ de voluntari, iar fiecare membru primește altă sarcină: coordonator, analist de date, prezentator. Câte grupuri de lucru se pot forma?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Determinați câte numere naturale de trei cifre se pot scrie folosind numai cifrele $1$ și $2$. b) Determinați câte numere naturale de patru cifre se pot scrie folosind numai cifrele $1$ și $2$. c) Se alege la întâmplare unul dintre numerele de la punctul b). Determinați probabilitatea ca el să conțină exact două cifre egale cu $2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,8\}$. a) Arătați că $A$ are $56$ de submulțimi cu trei elemente. b) Determinați câte submulțimi cu trei elemente ale lui $A$ au toate elementele numere prime. c) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare o submulțime cu trei elemente a lui $A$, toate elementele ei să fie numere prime.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $B=\{1,2,3,\dots ,28\}$. a) Arătați că există $19656$ de tripleți ordonați $(x,y,z)$ de elemente distincte ale lui $B$. b) Determinați câți dintre acești tripleți au $x>y>z$. c) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un triplet de la punctul a), elementele lui să fie în ordine descrescătoare.

17. Pentru o mulțime cu $n$ elemente, diferența dintre numărul șirurilor de lungime $2$ cu repetiție permisă și numărul șirurilor de lungime $2$ fără repetiție este $68$. Determină $n$ și explică de ce diferența are exact această formă.

18. (Provocare.) Fie o mulțime cu $n$ elemente, $n\ge 2$. Șirurile de lungime $3$ cu elemente din această mulțime (cu repetiție permisă) se împart după câte elemente distincte conțin. Arată că $n^3=A_n^3+3n(n-1)+n$ și explică de unde vine fiecare termen. Verifică egalitatea pentru $n=5$.

Răspunsuri și explicații

1. a) Un rezultat: (Ana, Radu, Ioana, Mihai, Dana) — șir cu toți cei cinci, fiecare o dată: permutări. b) Un rezultat: $\{\text{Ana},\text{Radu},\text{Ioana}\}$ — mulțime, grupul nu are roluri: combinări. c) Un rezultat: (3, 0, 3, 7) — șir cu repetiție permisă: regula produsului. d) Un rezultat: (lucrarea 5, lucrarea 12, lucrarea 1) — șir fără repetiție, doar trei din paisprezece: aranjamente.

2. a) Speciile din același bazin formează o mulțime: $C_{24}^4=\frac{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}{24}=10626$. b) Bazinele numerotate fac din alegere un șir: $A_{24}^4=24\cdot 23\cdot 22\cdot 21=255024$. c) Fiecare grup de patru specii se poate repartiza în $4!=24$ de feluri pe bazine: $255024=24\cdot 10626$.

3. Raportul e un șir de $5$ clase, cu repetiție permisă (două măsurători pot fi în aceeași clasă): $5^5=3125$ de rapoarte.

4. Adevărat. Toți codonii formează șiruri cu repetiție: $4^3=64$. Cei cu trei nucleotide diferite sunt aranjamente: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$. Rămân $64-24=40$ de codoni cu cel puțin o nucleotidă repetată, mai mulți decât cei $24$ fără repetiție.

5. a) Toate cele nouă probe, într-un șir: $P_9=9!=362880$. b) Șiruri de șapte probe distincte dintre nouă: $A_9^7=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=181440$. c) Orice succesiune de șapte analize se completează în exact $2!=2$ feluri cu ultimele două probe, deci $362880=2\cdot 181440$.

6. Reptilele stau împreună, fără roluri: $C_6^2=15$. Plantele ocupă poziții diferite: $A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$. Cele două alegeri sunt independente: $15\cdot 720=10800$ amenajări.

7. Cifrele impare sunt $1,3,5,7,9$. a) Șiruri de două cifre, cu repetiție: $5^2=25$. b) Fără repetiție: $A_5^2=20$. c) Mulțimi: $C_5^2=10$. d) Fiecare mulțime de două cifre, de exemplu $\{3,7\}$, dă două numere, $37$ și $73$; de aceea $20=2\cdot 10$.

8. Fiecare enzimă primește alt substrat, deci un rezultat e un șir (enzima pe plasmid, enzima pe ADN viral, enzima pe ADN genomic): schimbând două enzime între substraturi, obții alt test. Elevul a numărat doar grupurile de trei enzime, fără să le repartizeze. Corect: $A_{32}^3=32\cdot 31\cdot 30=29760$, adică $3!=6$ repartizări pentru fiecare dintre cele $4960$ de grupuri.

9. a) Singura alegere e perechea de elemente; care atom poartă sarcina negativă stabilește electronegativitatea, nu cel care numără. Numărul legăturilor este $C_6^2=15$. b) Hidrogenul formează câte o legătură cu fiecare dintre celelalte $5$ elemente, deci apare în $5$ legături. Legătura H–O este aceeași cu O–H, așa că nu se numără de două ori.

10. Contrariul este „niciuna cu glucoză”, adică ambele eprubete alese dintre cele $2$ fără glucoză. Cu perechi neordonate: $1-\frac{C_2^2}{C_6^2}=1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$. Cu perechi ordonate: $1-\frac{A_2^2}{A_6^2}=1-\frac{2}{30}=\frac{14}{15}$. Rezultatele coincid, pentru că factorul $2!=2$ apare și sus, și jos. Prin listare: dintre cele cincisprezece perechi de eprubete, doar una nu conține glucoză.

11. $A_n^2-C_n^2=n(n-1)-\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$, deci ecuația devine $n(n-1)=6162$. Două numere consecutive cu produsul $6162$: $79\cdot 78=6162$, deci $n=79$. Verificare: $A_{79}^2=6162$, $C_{79}^2=3081$, iar $6162-3081=3081$.

12. a) Șir de $5$ impulsuri, cu repetiție: $2^5=32$ de semnale. b) Niciunul: cinci impulsuri de tonuri diferite ar cere cinci tonuri, dar există doar două. Formula aranjamentelor nici nu are sens aici, fiindcă $5>2$. De aceea întrebarea despre repetiție se pune prima.

13. Fiecare dintre cei trei are altă sarcină, deci un rezultat e un șir (coordonator, analist, prezentator): $A_{21}^3=21\cdot 20\cdot 19=7980$.

14. a) Fiecare dintre cele trei cifre are două variante: $2^3=8$ numere. b) La fel, pentru patru cifre: $2^4=16$ numere. c) Un număr cu exact două cifre de $2$ e determinat de mulțimea celor două poziții pe care stau acestea: $C_4^2=6$ numere, deci probabilitatea este $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.

15. a) $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$. b) Numerele prime din $A$ sunt $2,3,5,7$, deci $C_4^3=4$ submulțimi. c) Numărând mulțimi și sus, și jos: $\frac{4}{56}=\frac{1}{14}$.

16. a) Tripleții ordonați de elemente distincte: $A_{28}^3=28\cdot 27\cdot 26=19656$. b) Fiecare mulțime $\{x,y,z\}$ dă exact un triplet cu elementele în ordine descrescătoare, deci numărul lor este $C_{28}^3=\frac{19656}{6}=3276$. c) $\frac{3276}{19656}=\frac{1}{6}$: tripleții se grupează câte $3!=6$, după mulțimea lor, iar în fiecare grup exact unul e descrescător.

17. Șirurile cu repetiție sunt $n^2$, cele fără repetiție $A_n^2=n(n-1)$, iar diferența este $n^2-n(n-1)=n$. Deci $n=68$. Explicația: diferența numără exact șirurile de forma $(e,e)$, cu același element de două ori, iar acestea sunt câte unul pentru fiecare element. Verificare: $68^2-68\cdot 67=4624-4556=68$.

18. Un șir de lungime $3$ are fie trei elemente distincte, fie exact două distincte, fie un singur element repetat. Trei distincte: $A_n^3$. Un singur element: $n$ șiruri. Exact două distincte: alegi elementul care apare de două ori ($n$ variante), pe celălalt ($n-1$ variante) și poziția elementului singur ($3$ variante), adică $3n(n-1)$. Cazurile nu se suprapun, deci $n^3=A_n^3+3n(n-1)+n$. Pentru $n=5$: $A_5^3=60$, $3\cdot 5\cdot 4=60$, iar $60+60+5=125=5^3$.

De reținut

• Înainte de formulă, scrie un rezultat concret: între paranteze rotunde dacă e șir (schimbarea a două elemente dă alt rezultat), între acolade dacă e mulțime.
• Întreabă întâi dacă elementele se pot repeta: cu repetiție, un șir de $k$ poziții din $n$ variante dă $n^k$, iar permutările, aranjamentele și combinările nu se mai aplică.
• Fără repetiție: șir cu toate elementele, $P_n=n!$; șir cu $k$ dintre ele, $A_n^k$; mulțime, $C_n^k$; pentru aceleași $n$ și $k$, $C_n^k\le A_n^k\le n^k$.
• Un enunț cu grup și roluri se construiește în pași, fiecare cu schema lui; două ordini ale pașilor trebuie să dea același număr.
• La probabilități, cazurile favorabile și cele posibile se numără cu aceeași schemă, ambele ca mulțimi sau ambele ca șiruri.

Greșeli frecvente

• Roluri identice numărate ca distincte. Doi „asistenți” care nu au sarcini diferite formează o mulțime în interiorul grupului: dacă îi pui în ordine, numeri fiecare alegere de două ori. Doar rolurile care se deosebesc prin sarcină fac din alegere un șir.
• „Distincte” citit ca „ordonate”. Faptul că elementele nu se repetă nu spune nimic despre ordine: și elementele unei mulțimi sunt distincte. Trei săruri distincte dizolvate în același pahar formează tot o mulțime.
• Ordinea impusă de natură numărată ca ordine aleasă. La o pilă galvanică, anodul e fixat de reactivitatea metalelor; cine numără perechi ordonate dublează numărul pilelor.
• O singură schemă pentru o problemă cu două etaje. Când o parte a grupului are roluri și cealaltă nu, calculul „totul cu aranjamente” sau „totul cu combinări” e greșit; se lucrează pe pași și se înmulțește.
• Scheme amestecate într-o probabilitate. Favorabile numărate ca mulțimi și posibile numărate ca șiruri dau un raport de $k!$ ori prea mic, chiar dacă fiecare număr e corect.

Aplică acasă

1. Tabelul celor trei scheme. Pe o pagină de caiet, fă un tabel cu valorile $n$ de la $5$ la $9$ pe rânduri și, pentru $k=3$, trei coloane: puterea $n^3$, aranjamentele și combinările, calculate de mână. Verifică pe fiecare rând ordinea celor trei numere și faptul că raportul dintre aranjamente și combinări rămâne mereu $6$.
2. O problemă, cinci variante. Alege o situație din manualul de biologie sau de chimie și scrie cinci enunțuri care diferă printr-o singură condiție. Rezolvă-le și notează lângă fiecare dacă rezultatul a crescut sau a scăzut față de varianta anterioară.
3. Probabilitatea verificată prin tragere. Pe $10$ cartonașe scrie numere de la $1$ la $10$ și colorează $3$ dintre ele. Extrage de $50$ de ori câte două cartonașe (pune-le la loc după fiecare extragere) și notează de câte ori exact unul dintre ele a fost colorat. Compară frecvența obținută cu $\frac{C_3^1\cdot C_7^1}{C_{10}^2}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$ și explică de ce, cu perechi ordonate, ai fi obținut aceeași valoare.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu aduce formule noi: strânge schemele unității — regula produsului, permutările, aranjamentele și combinările — într-un tabel de decizie și îl pune la lucru în situații de laborator. Programa de științe cere recunoașterea tipului de structură combinatorică și analiza unor enunțuri similare cu restricții diferite (X.CS.1.1, X.CS.5.1), precum și simularea unor scenarii în care se schimbă o condiție (X.CS.6.1). Exercițiul 7 reia exemplul dat de programă.

De urmărit în caiet: dacă elevul scrie un rezultat concret înainte de formulă, dacă întreabă de repetiție înaintea ordinii, dacă verifică pe un al doilea drum problemele cu roluri și dacă numără sus și jos cu aceeași schemă la probabilități. Întrebări de control: „Scrie-mi un rezultat. Ce se întâmplă dacă schimbi două elemente?”, „Ai numărat favorabilele și posibilele la fel?”. Un elev care stăpânește lecția prevede, înainte de calcul, dacă o condiție nouă mărește sau micșorează numărul și de câte ori.

Căsuța „mulțime cu repetiție” (combinările cu repetiție) nu face parte din programa clasei a X-a; lecția o numește, dar nu o exersează. Restricțiile de poziție au lecția lor, problemele de permutări cu restricții, iar noțiunea de submulțime vine din clasa a IX-a, de la mulțimi și intervale. La finalul unității, testul de includere–excludere și binomul lui Newton verifică și alegerea metodei. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: alegerea metodei de numărare, cu ordine sau fără.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține la „Metode de numărare” permutările, aranjamentele și combinările, cu interpretarea lor ca mulțimi ordonate, respectiv submulțimi. În modelul oficial publicat pentru 2026, numărarea apare la Subiectul I într-o cerință de probabilitate, rezolvată prin numărarea cazurilor; o cerință formulată direct cu permutări, aranjamente sau combinări nu există în acel model. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între această lecție de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Scopul e același: alegerea corectă a schemei de numărare. La științe ale naturii decizia pornește de la un rezultat scris pe ciornă, ca șir sau ca mulțime, iar exemplele vin din laborator și din teren: capcane, probe, enzime, pile galvanice. Lecția M2 adaugă căsuța mulțimilor cu repetiție, numită fără formulă, situațiile în care ordinea e impusă de natură și regula numărării cu aceeași schemă în probabilități.

La ce subiect apare alegerea metodei la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 are permutările, aranjamentele și combinările la „Metode de numărare”, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, cerința de numărare a Subiectului I e o probabilitate: alegerea schemei decide cum numeri cazurile. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Ce fac dacă elementele se pot repeta, dar ordinea nu contează? E căsuța a cincea din tabel, a combinărilor cu repetiție, care nu intră în programa clasei a X-a. Dacă o întâlnești, listezi rezultatele grupate după un criteriu, de exemplu după de câte ori apare fiecare element. Nu folosi $C_n^k$, care presupune elemente distincte, și nici $n^k$, care numără șiruri, nu mulțimi.

Ce fac când enunțul nu spune dacă se poate repeta? Te uiți la situația fizică: poate același obiect să apară de două ori? Aceeași specie poate fi prima în două capcane, dar același elev nu poate ține două sarcini deodată. Dacă nici situația nu decide, scrie ce ai presupus și rezolvă ambele variante: cu repetiție obții o putere, fără repetiție aranjamente sau combinări.

Cum aleg metoda într-o problemă de probabilitate? Alegi o singură schemă și o folosești și pentru cazurile favorabile, și pentru cele posibile. Dacă extragerea e simultană, e natural să numeri mulțimi; dacă e pe rând, șiruri. Ambele variante dau aceeași probabilitate, cât timp numărul de sus și cel de jos sunt calculate la fel.

Există probleme care cer două scheme deodată? Da, foarte des: un grup din care o parte primește roluri, sau o alegere pe categorii, cu o categorie ordonată și alta nu. Le rezolvi în pași, fiecare cu schema lui, și înmulțești rezultatele. Verificarea cea mai sigură este să schimbi ordinea pașilor: rezultatul final trebuie să rămână același.