Pentru o funcție $$f$$ care dă lungimea unui arc comprimat se știe că, într-un punct $$a$$ al domeniului, limita la stânga este $$5{,}2$$ mm, limita la dreapta este $$5{,}2$$ mm, iar valoarea din punct este $$f(a) = 3{,}8$$ mm. Cum este graficul în $$a$$?

are un gol: punctul $$(a;\,5{,}2)$$ lipsește, iar punctul $$(a;\,3{,}8)$$ stă izolat

are o asimptotă verticală în $$a$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Continuitate: salt, gol, colț

Un colț al graficului rupe continuitatea?

Nu. Continuitatea în $a$ cere $l_{s} = l_{d} = f (a)$ , iar panta poate să se schimbe fără ruptură. Exemplu: un tarif $T (x) = 9 x$ lei pentru $x \leq 4$ și $T (x) = 5 x + 16$ lei pentru $x > 4$ . Avem $l_{s} = 9 \cdot 4 = 36$ , $l_{d} = 5 \cdot 4 + 16 = 36$ și $T (4) = 36$ : graficul are un colț în $4$ , dar nu se rupe. Un salt apare numai când $l_{s} \neq = l_{d}$ , iar un gol când $l_{s} = l_{d} \neq = T (4)$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Continuitatea înseamnă că graficul nu se rupe: într-un punct $a$ din domeniu cer trei lucruri deodată, anume $f (a)$ există, limita există și $l_{s} = l_{d} = f (a)$ . Un colț, unde se schimbă panta, nu este ruptură; ruptura este saltul sau golul.

Polinoamele, $e^{x}$ , $ln x$ pe $(0; + \infty)$ și $x$ pe $[0; + \infty)$ sunt continue pe domeniul lor, la fel sumele, produsele și câturile cu numitor nenul. Pentru o funcție pe ramuri verifici numai punctele în care se leagă ramurile. Acolo calculezi $f (a)$ din ramura care conține punctul, apoi $l_{s}$ din ramura lui $x < a$ și $l_{d}$ din ramura lui $x > a$ , și le compari.

Dacă $l_{s} \neq = l_{d}$ , există salt, de mărime $l_{d} - l_{s}$ , în unitatea funcției. Dacă $l_{s} = l_{d} \neq = f (a)$ , există gol. Dacă o limită laterală este infinită, apare o asimptotă verticală, iar în punctele din afara domeniului întrebarea continuității nu se pune. Când o ramură are un parametru, egalezi $l_{s}$ , $l_{d}$ și $f (a)$ și rezolvi ecuația.

Verifici luând, de o parte și de alta a lui $a$ , două valori foarte apropiate de el: la o funcție continuă rezultatele rămân lângă $f (a)$ , iar la una cu salt ele sar spre alt număr.

De reținut

continuă în $a$ : $l_{s} = l_{d} = f (a)$
colț: $l_{s} = l_{d} = f (a)$ , iar panta se schimbă
salt: $l_{s} \neq = l_{d}$ ; gol: $l_{s} = l_{d} \neq = f (a)$

Greșeala tipică

Se declară ruptură în punctul unde se schimbă formula. La $T (x) = 9 x$ și $T (x) = 5 x + 16$ nu există ruptură în $4$ , fiindcă ambele ramuri dau $36$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru o funcție $f$ care dă lungimea unui arc comprimat se știe că, într-un punct $a$ al domeniului, limita la stânga este $5, 2$ mm, limita la dreapta este $5, 2$ mm, iar valoarea din punct este $f (a) = 3, 8$ mm. Cum este graficul în $a$ ?
- a) este continuu în $a$
- b) are un salt de $1, 4$ mm
- c) are un gol: punctul $(a; 5, 2)$ lipsește, iar punctul $(a; 3, 8)$ stă izolat
- d) are o asimptotă verticală în $a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) are un gol: punctul $(a; 5, 2)$ lipsește, iar punctul $(a; 3, 8)$ stă izolat

Limitele laterale sunt egale, deci limita există și este $5, 2$ mm, dar valoarea din punct este alta, $3, 8$ mm: graficul are un gol. Ar fi fost continuu numai dacă și $f (a)$ ar fi fost $5, 2$ . Saltul de $1, 4$ mm confundă diferența dintre limită și valoare cu o diferență între limite, iar asimptota cere o limită infinită.
Funcția $h (x) = ln (x + 4) + 10 - x$ este definită pe domeniul ei maxim. Pe ce interval este continuă?
- a) $(- 4; 10)$
- b) $(- 4; 10]$
- c) $[- 4; 10]$
- d) $(- 4; + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 4; 10]$

Logaritmul cere $x + 4 > 0$ , deci $x > - 4$ , iar radicalul cere $10 - x \geq 0$ , deci $x \leq 10$ . Domeniul, pe care funcția este continuă, este $(- 4; 10]$ . Varianta cu $10$ exclus tratează radicalul ca pe un logaritm, cea cu $- 4$ inclus o face invers, iar ultima uită condiția radicalului.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {5 x - a, a x - 6, x < 3 x \geq 3$ . Pentru ce valoare a lui $a$ este $f$ continuă în $3$ ?
- a) $\frac{21}{4}$
- b) $\frac{21}{2}$
- c) $\frac{9}{4}$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{21}{4}$

Continuitatea cere $l_{s} = l_{d} = f (3)$ : $5 \cdot 3 - a = a \cdot 3 - 6$ , adică $15 - a = 3 a - 6$ , deci $4 a = 21$ și $a = \frac{21}{4}$ . Varianta $\frac{21}{2}$ mută $a$ cu semn greșit în partea stângă, $\frac{9}{4}$ greșește semnul lui $6$ , iar $7$ uită termenul $- a$ din prima ramură.

Întrebări conexe

Cum arată un salt față de un colț pe un tarif?

La salt, tariful se schimbă dintr-odată cu o sumă. Pentru $T (x) = 9 x$ pe $x \leq 4$ și $T (x) = 5 x + 30$ pe $x > 4$ avem $l_{s} = 36$ și $l_{d} = 5 \cdot 4 + 30 = 50$ : saltul este $14$ lei. La colț, cele două limite sunt egale.

Poate fi continuă o funcție cu formule diferite pe ramuri?

Da: contează numerele, nu formulele. Pentru $g (x) = x^{2}$ pe $x \leq 3$ și $g (x) = 6 x - 9$ pe $x > 3$ avem $l_{s} = 9$ , $l_{d} = 18 - 9 = 9$ și $g (3) = 9$ , deci $g$ este continuă în $3$ , deși formulele sunt diferite.

La ce durată se pot lega două tarife fără salt?

Cauți durata la care cele două formule dau același preț. Pentru $8 x$ lei și $5 x + 15$ lei, egalitatea $8 x = 5 x + 15$ dă $x = 5$ ore, unde ambele ramuri dau $40$ lei. Dacă schimbarea de tarif se face la altă durată, de pildă la $4$ ore, apare un salt de $35 - 32 = 3$ lei.

Ce arată un colț în graficul vitezei despre accelerație?

Viteza rămâne continuă, dar accelerația, adică panta graficului vitezei, se schimbă dintr-odată. Pentru un lift cu $v (t) = 0, 3 t$ m/s pe $[0; 20]$ și $v (t) = 6$ m/s după, avem $l_{s} = l_{d} = v (20) = 6$ m/s, deci niciun salt de viteză. Panta trece însă de la $0, 3$ m/s² la $0$ : colțul marchează oprirea accelerării.

Contează pe ce ramură stă chiar punctul de legătură?

Contează doar când ramurile nu se întâlnesc. Pentru $7 x$ pe $x < 3$ și $4 x + 9$ pe $x \geq 3$ ambele dau $21$ în $3$ , deci funcția e continuă oriunde ai pune egalul. Pentru $7 x$ și $4 x + 12$ apare un salt de $3$ , iar $f (3)$ este $24$ dacă punctul stă pe a doua ramură sau $21$ dacă stă pe prima.

Oamenii mai întreabă și: colț și continuitate · diferența dintre colț și salt la un grafic · funcție continuă cu colț · când se rupe graficul unei funcții · panta se schimbă, dar graficul nu se rupe