Continuitatea la tehnologic: viteza telegondolei

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Viteza unei telegondole nu poate sări de la 5 la 2 metri pe secundă dintr-o clipă într-alta, dar un model simplificat o face, iar graficul lui se rupe. La tehnologic, continuitatea vine în clasa a XI-a: afli când o funcție este continuă, adică graficul ei nu se rupe, și cum verifici asta cu limite. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), continuitatea a contat în 5 dintre probele din 2013–2026, mereu la Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

La o stațiune montană din Bucegi, telegondola duce turiștii de la hotel la stația de sus, pentru excursiile de pe creastă. Operatorul urmărește pe un monitor viteza cabinei, în metri pe secundă, la $t$ secunde după plecare. Cabina accelerează la început, apoi merge cu viteză constantă, iar înainte de turnul de sprijin numărul 3 programul reduce viteza, ca cabina să nu se legene pe rolele turnului. În realitate reducerea durează câteva secunde, dar modelul din program o consideră instantanee. Tabelul dă citirile din primele 240 de secunde; la secunda 180 monitorul arată ultima viteză dinaintea reducerii.

Timpul, t (s)	Viteza, v (m/s)
0	0
16	2
32	4
40	5
41	5
100	5
179	5
180	5
181	2
240	2

Întrebare: în ce momente se rupe graficul vitezei și în ce momente nu, și cum arăți asta cu limite, nu doar cu citirile din tabel?

De la situație la model

Viteza are trei ramuri: crește până la secunda 40, rămâne constantă până la secunda 180, apoi coboară brusc la o valoare mai mică. Cu funcția $v$ definită pe $[0; 240]$ :

$v (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{t}{8}, 5, 2, 0 \leq t \leq 40 40 < t \leq 180 180 < t \leq 240$

Contează dacă ramurile se leagă în punctele $t = 40$ și $t = 180$ , adică dacă graficul trece dintr-o ramură în cealaltă fără ruptură.

În situație	În matematică
secundele de la plecare	variabila $t$ , cu $t \in [0; 240]$
viteza cabinei	valoarea funcției, $v (t)$
viteza dinaintea unui moment	limita la stânga, $l_{s}$
viteza de după acel moment	limita la dreapta, $l_{d}$
graficul nu se rupe	funcția este continuă în acel punct
reducerea bruscă de viteză	funcția nu este continuă; saltul este $l_{d} - l_{s}$

Ce înseamnă că o funcție este continuă într-un punct?

Continuitatea în punctul $a$ al domeniului este egalitatea $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ pentru funcția $f$ . Ea cere trei lucruri deodată: $f (a)$ există, limita există și cele două sunt egale, adică $l_{s} = l_{d} = f (a)$ , cu limitele laterale din lecția despre limite laterale. Pe un interval, funcția este continuă când este continuă în fiecare punct al lui; atunci graficul nu are nicio ruptură pe acel interval.

Cum se rupe un grafic?

Dacă $l_{s}$ și $l_{d}$ sunt numere diferite, graficul are un salt, de mărime $l_{d} - l_{s}$ . Dacă $l_{s} = l_{d}$ , dar $f (a)$ lipsește sau are altă valoare, graficul are un gol: curba nu are punctul $(a; l_{s})$ , iar punctul $(a; f (a))$ , dacă există, stă izolat. Dacă una dintre limitele laterale este $+ \infty$ sau $- \infty$ , dreapta $x = a$ este asimptotă verticală, iar funcția nu poate fi continuă acolo. Continuitatea se cercetează numai în puncte ale domeniului.

Care funcții sunt sigur continue?

Polinoamele, funcția exponențială, $ln x$ pe $(0; + \infty)$ și $x$ pe $[0; + \infty)$ sunt continue în fiecare punct al domeniului lor. Suma, diferența și produsul a două funcții continue sunt continue, iar câtul este continuu în punctele în care numitorul este nenul; la fel este compunerea. De aceea un cât de polinoame este continuu pe domeniul lui, iar pentru o formulă pe ramuri rămân de verificat doar punctele de legătură.

Cum verifici punctul de legătură al ramurilor?

La o funcție dată pe ramuri, în punctul $a$ în care se schimbă formula calculezi trei numere: $f (a)$ , din ramura care conține punctul, $l_{s}$ , din ramura lui $x < a$ , și $l_{d}$ , din ramura lui $x > a$ . Dacă ramura are sens în $a$ , limita laterală este valoarea ramurii acolo. Când o ramură conține un parametru, scrii egalitatea $l_{s} = l_{d} = f (a)$ și o rezolvi.

Metoda pas cu pas

Găsește punctele de verificat: punctele de legătură ale ramurilor și capetele domeniului; acolo unde se anulează un numitor nu e domeniu, dar poate apărea o asimptotă verticală. În rest, funcțiile uzuale și combinațiile lor sunt continue, pe domeniul lor, și nu mai ai nimic de calculat acolo.
Calculează $f (a)$ , din ramura care conține punctul. Dacă $f (a)$ nu există, funcția nu este continuă în $a$ , chiar dacă limita există.
Calculează limita la stânga, cu ramura lui $x < a$ , și apoi limita la dreapta, cu ramura lui $x > a$ . Când formula e aceeași pe ambele părți, calculezi direct limita.
Compară cele trei numere. Dacă $l_{s} = l_{d} = f (a)$ , funcția este continuă în $a$ ; altfel scrie felul ruperii (salt, gol sau asimptotă verticală) și, la salt, mărimea lui $l_{d} - l_{s}$ , cu unitatea de măsură.
Rezumă pe intervale: funcția este continuă pe reuniunea intervalelor de formulă uzuală și a punctelor de legătură verificate. Când ai un parametru, egalezi $l_{s}$ , $l_{d}$ și $f (a)$ și rezolvi ecuația.
Verifică pe tabel sau pe grafic: două valori foarte apropiate de $a$ , câte una pe fiecare parte, sunt aproape de $f (a)$ dacă funcția este continuă și sar spre alt număr dacă funcția are salt. Notează concluzia în cuvinte, cu unitatea de măsură a funcției.

Ordinea contează, fiindcă fiecare pas hotărăște ce poți scrie la următorul: cine sare peste pasul 2 poate declara continuă o funcție cu gol, cine face doar un calcul din pasul 3 nu vede saltul, iar cine sare peste pasul 6 nu prinde o limită calculată cu ramura greșită. Continuitatea nu înseamnă graficul „neted”: o funcție continuă poate avea un colț, ca punctul de la secunda 40.

Fișa de buzunar

$f continu \overset{a}{˘} \overset{ı}{ˆ} n a ⟺ x \to a lim f (x) = f (a) ⟺ l_{s} = l_{d} = f (a)$

$salt: l_{s} \neq = l_{d} gol: l_{s} = l_{d} \neq = f (a) asimptot \overset{a}{˘} vertical \overset{a}{˘} : l_{s} sau l_{d} = \pm \infty$

Condiții: punctul $a$ este în domeniul funcției, iar cele trei numere se calculează fiecare cu ramura ei. Suma, produsul și câtul (cu numitorul nenul) a două funcții continue sunt continue. La un parametru, egalezi $l_{s}$ , $l_{d}$ și $f (a)$ și rezolvi. Verificare rapidă: ia două valori foarte apropiate de $a$ , una pe fiecare parte, și compară-le cu $f (a)$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Telegondola: cele două puncte de legătură

Domeniu: turism.

Enunț. Reia modelul vitezei din situație. a) Calculează limitele laterale și valoarea lui $v$ în $t = 40$ și spune dacă $v$ este continuă acolo. b) Fă la fel în $t = 180$ . c) Cât este saltul, în m/s, și ce înseamnă pentru cabină? d) Pe ce mulțime este continuă $v$ ?

Rezolvare. a) $l_{s} = \frac{40}{8} = 5$ , din ramura lui $t < 40$ , iar $l_{d} = 5$ , din ramura constantă. Valoarea este $v (40) = \frac{40}{8} = 5$ . Cum $l_{s} = l_{d} = v (40) = 5$ , funcția este continuă în 40; graficul are doar un colț, unde panta se schimbă. b) În $t = 180$ avem $l_{s} = 5$ , $l_{d} = 2$ și $v (180) = 5$ . Cum $5 \neq = 2$ , limita nu există, deci $v$ nu este continuă în 180: graficul are un salt. c) Saltul este $l_{d} - l_{s} = 2 - 5 = - 3$ m/s: modelul coboară viteza cu 3 m/s într-o clipă, ceea ce cabina reală nu poate face, de aceea în realitate reducerea durează câteva secunde. d) $v$ este continuă în toate punctele lui $[0; 240]$ , în afară de $t = 180$ , adică pe $[0; 180) \cup (180; 240]$ .

Capcană. Cine verifică în secunda 180 doar citirile 179 și 180 din tabel găsește 5 și 5 și conchide, greșit, că nu este salt; citirea 181, de 2 m/s, se află de cealaltă parte a punctului.

Verificare. În $t = 39$ , $v = \frac{39}{8} = 4, 875$ , aproape de 5; în $t = 41$ , $v = 5$ ; în $t = 181$ , $v = 2$ , departe de 5.

Exemplul 2 — Recuperarea investiției într-un cuptor

Domeniu: economic.

Enunț. O cofetărie cumpără un cuptor cu vatră de 61 200 lei. Contabila socotește 1 700 de tăvi coapte pe an în cuptorul nou și 5 100 lei pe an pentru service și energia în plus. Dacă fiecare tavă aduce o marjă de $m$ lei, investiția se recuperează în $T (m) = \frac{61200}{1700 m - 5100}$ ani, pentru $m > 3$ . a) Calculează $T (15)$ și $T (9)$ . b) Pe ce interval este $T$ continuă și de ce? c) Ce se întâmplă când $m \to 3$ prin valori mai mari? d) De la ce marjă se recuperează investiția în cel mult 2 ani?

Rezolvare. a) $T (15) = \frac{61200}{25500 - 5100} = \frac{61200}{20400} = 3$ ani și $T (9) = \frac{61200}{15300 - 5100} = 6$ ani. b) Numărătorul și numitorul sunt funcții continue, iar numitorul $1700 m - 5100$ este pozitiv pentru $m > 3$ ; câtul a două funcții continue, cu numitorul nenul, este continuu, deci $T$ este continuă pe $(3; + \infty)$ : o marjă puțin schimbată schimbă puțin durata. c) Numărătorul este 61 200, iar numitorul tinde la $0^{+}$ , deci $lim_{m \to 3^{+}} T (m) = + \infty$ : lângă $m = 3$ graficul are o asimptotă verticală, al treilea fel de ruptură. La 3 lei pe tavă marja abia acoperă service-ul și energia, iar investiția nu se mai recuperează. d) Din $\frac{61200}{1700 m - 5100} \leq 2$ rezultă $1700 m - 5100 \geq 30600$ , adică $m \geq 21$ de lei.

Capcană. Cine pune $m = 3$ în formulă și citește „împărțire la zero” ca „durata e 0” crede că investiția se recuperează imediat, exact invers: lângă 3 lei pe tavă durata crește fără limită.

Verificare. Pe datele problemei: la 21 de lei pe tavă, cofetăria câștigă $1700 \cdot 21 - 5100 = 30600$ lei pe an, iar în 2 ani, 61 200 lei, exact prețul cuptorului.

Exemplul 3 — Viteza medie la demaraj: golul din 0

Domeniu: auto.

Enunț. Un autoturism de probă parcurge, în primele $t$ secunde după demaraj, distanța $d (t) = 0, 8 t^{2} + 3 t$ metri. Calculatorul de bord afișează viteza medie $v_{m} (t) = \frac{d ( t )}{t}$ , în m/s, pentru $t > 0$ . a) Calculează $v_{m} (2)$ și $v_{m} (10)$ . b) Ce arată formula $\frac{d ( t )}{t}$ pentru $t = 0$ ? c) Ce valoare ar trebui afișată în $t = 0$ ca graficul să nu aibă gol? d) Dacă în $t = 0$ calculatorul afișează 0, ce fel de ruptură apare?

Rezolvare. a) $v_{m} (2) = \frac{0 , 8 \cdot 4 + 6}{2} = 4, 6$ m/s și $v_{m} (10) = \frac{80 + 30}{10} = 11$ m/s. b) În $t = 0$ numărătorul și numitorul sunt 0: cazul $\frac{0}{0}$ din lecția despre nedeterminări, deci formula nu dă valoare. c) Pentru $t > 0$ , $v_{m} (t) = \frac{t ( 0 , 8 t + 3 )}{t} = 0, 8 t + 3$ , iar $lim_{t \to 0^{+}} v_{m} (t) = 3$ . Pentru continuitate în 0, afișajul trebuie să dea $v_{m} (0) = 3$ m/s, viteza cu care pornește autoturismul. d) Cu afișajul 0 avem $l_{d} = 3 \neq = 0 = v_{m} (0)$ : graficul are un gol, adică punctul $(0; 3)$ lipsește, iar punctul $(0; 0)$ stă izolat. Domeniul fiind $[0; + \infty)$ , în capătul 0 contează doar limita la dreapta.

Capcană. Cine scrie „ $\frac{0}{0} = 0$ ” afișează 0 m/s la demaraj, deși graficul se apropie de 3 m/s; $\frac{0}{0}$ nu are valoare, iar limita arată ce lipsește.

Verificare. La $t = 0, 01$ , $v_{m} = 0, 8 \cdot 0, 01 + 3 = 3, 008$ m/s, iar la $t = 0, 001$ , $v_{m} = 3, 0008$ m/s: valorile se apropie de 3.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: mulțimea valorilor

Domeniu: lemn.

Enunț. Tiparul cerinței este cel din probe, dar cu alte numere: „Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 36}$ . a) Arătați că funcția $f$ este continuă pe $R$ . b) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$ .”

Rezolvare. a) Numărătorul $x$ și numitorul $x^{2} + 36$ sunt polinoame, deci funcții continue pe $R$ , iar $x^{2} + 36 \geq 36 > 0$ : numitorul nu se anulează, deci câtul $f$ este continuu pe $R$ . b) Un număr real $y$ este valoare a lui $f$ când ecuația $\frac{x}{x ^{2} + 36} = y$ are soluție reală, adică $y x^{2} - x + 36 y = 0$ . Pentru $y = 0$ ea are soluția $x = 0$ . Pentru $y \neq = 0$ este de gradul al doilea, cu $Δ = 1 - 144 y^{2}$ , și are soluții când $Δ \geq 0$ , adică $y^{2} \leq \frac{1}{144}$ , deci $- \frac{1}{12} \leq y \leq \frac{1}{12}$ . Mulțimea valorilor este $[- \frac{1}{12}; \frac{1}{12}]$ . Rezolvarea oficială ajunge la același interval pe alt drum: $f$ este continuă, ia valoarea $- \frac{1}{12}$ în $- 6$ și $\frac{1}{12}$ în $6$ , iar graficul, fără rupturi pe $[- 6; 6]$ , trece prin toate valorile dintre ele.

Capcană. Cine rezolvă $Δ \geq 0$ ca $y \leq \frac{1}{12}$ pierde valorile negative: din $y^{2} \leq \frac{1}{144}$ rezultă $∣ y ∣ \leq \frac{1}{12}$ , deci și $y \geq - \frac{1}{12}$ .

Verificare. $f (6) = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$ și $f (- 6) = - \frac{1}{12}$ , capetele mulțimii; $f (1000) \approx 0, 001$ , aproape de 0, între ele.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Spune dacă funcția este continuă în punctul indicat: a) $f (x) = 2 x + 1$ pentru $x < 3$ și $f (x) = 7$ pentru $x \geq 3$ , în $x = 3$ ; b) $g (x) = x^{2} - 1$ pentru $x < 2$ și $g (x) = 1, 5 x^{2} - 1$ pentru $x \geq 2$ , în $x = 2$ ; c) $h (x) = x + 2$ pentru $x \neq = 1$ și $h (1) = 5$ , în $x = 1$ .

2. Pe ce mulțime este continuă fiecare funcție? a) $f (x) = x^{3} - 4 x + 2$ ; b) $g (x) = \frac{x + 3}{x ^{2} - 4}$ ; c) $h (x) = ln (x - 1) + e^{x}$ ; d) $k (x) = x - 2 + x^{2}$ .

3. Fie $f (x) = \frac{x ^{2} + x - 20}{x - 4}$ pentru $x \neq = 4$ . Ce valoare trebuie să aibă $f (4)$ ca $f$ să fie continuă în 4?

4. Fie $f (x) = a x^{2} + 1$ pentru $x < 2$ și $f (x) = x^{2} + 2, 5 x + 4$ pentru $x \geq 2$ . Pentru ce $a$ este $f$ continuă în 2?

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Calculatorul de bord al unui camion notează câți litri de motorină sunt în rezervor. Camionul consumă 24 de litri pe oră de mers, iar după 11 ore de mers șoferul alimentează 260 de litri. Tabelul dă, pentru $t = 0; 4; 8; 11$ ore, nivelurile $380; 284; 188; 116$ litri înainte de alimentare și, pentru $t = 11; 13; 15$ ore, nivelurile $376; 328; 280$ litri după alimentare. a) Scrie nivelul $V (t)$ pe ramuri, pentru $0 \leq t \leq 16$ , cu $V (11) = 116$ . b) Calculează limitele laterale ale lui $V$ în $t = 11$ și saltul. c) Pe ce mulțime este $V$ continuă? d) Este continuă cantitatea consumată de la plecare, $C (t) = 24 t$ litri?

6. (Problemă aplicată.) Profilul unui acoperiș asimetric are înălțimea $h (x) = 0, 7 x + 2$ metri pentru $0 \leq x \leq 5$ și $h (x) = a - 0, 3 x$ metri pentru $5 < x \leq 10$ , cu $x$ în metri de la perete. Graficul urcă până la coamă, la $x = 5$ , apoi coboară. a) Calculează $h (0)$ și limita la stânga în $x = 5$ . b) Află $a$ astfel încât graficul să nu aibă treaptă în coamă. c) Cât este $h (10)$ ?

7. (Problemă aplicată.) Într-o seră de legume, termostatul pornește aeroterma la 16 °C și o oprește la 22 °C. Cu aeroterma pornită, de 9 kW, temperatura urcă 0,6 °C pe minut; oprită, coboară 0,25 °C pe minut. Un ciclu pornește la $t = 0$ , de la 16 °C. Tabelul dă, pentru $t = 0; 5; 10; 22; 34$ minute, temperaturile $16; 19; 22; 19; 16$ °C. a) Scrie temperatura $T (t)$ pe ramuri, pentru $0 \leq t \leq 34$ , și arată că este continuă în $t = 10$ . b) Puterea aerotermei este $P (t) = 9$ kW pentru $0 \leq t \leq 10$ și $P (t) = 0$ pentru $10 < t \leq 34$ . Calculează limitele ei laterale în 10 și saltul. c) De ce poate sări puterea, dar nu și temperatura?

8. (Problemă aplicată.) Un utilaj de arat își schimbă adâncimea de lucru $p$ , în centimetri, după poziția $x$ , în metri, pe parcelă: $p (x) = 0, 5 x + a$ pentru $0 \leq x < 10$ , $p (x) = 25$ pentru $10 \leq x \leq 30$ și $p (x) = c - 0, 4 x$ pentru $30 < x \leq 40$ . Tabelul senzorului dă, pentru $x = 0; 6; 20; 36; 40$ m, adâncimile $20; 23; 25; 18, 6; 17$ cm. a) Află $a$ și $c$ din tabel. b) Este $p$ continuă în $x = 10$ ? Dar în $x = 30$ ? c) Ce înseamnă rezultatul pentru brazdă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{4 x}{x ^{2} + 16}$ . Determinați mulțimea valorilor funcției $f$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 6 x + 15}{x ^{2} + 6 x + 12}$ . Determinați imaginea funcției $f$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {9 x^{2} - 5 x, 4 x + ln x, x \leq 1 x > 1$ . Arătați că funcția $f$ admite primitive pe $R$ . (Se admite, din clasa a XII-a: o funcție continuă pe $R$ admite primitive pe $R$ .)

12. (Sinteză.) Funcția $f : R \to R$ este definită prin $f (x) = {e^{x} + a, x^{2} + 3 x + 17, x \leq 0 x > 0$ . Pentru ce valoare reală a lui $a$ este $f$ continuă pe $R$ ?

Răspunsuri și verificări

1. a) $l_{s} = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ , $l_{d} = 7$ și $f (3) = 7$ : continuă. b) $l_{s} = 2^{2} - 1 = 3$ , $l_{d} = 1, 5 \cdot 2^{2} - 1 = 5$ și $g (2) = 5$ : nu e continuă, salt de 2. c) $l_{s} = l_{d} = 3$ , dar $h (1) = 5$ : nu e continuă, gol. Verificare: $g (1, 99) \approx 2, 96$ și $g (2, 01) \approx 5, 06$ .

2. a) Pe $R$ . b) Pe $R ∖ {- 2; 2}$ , unde numitorul este nenul. c) Pe $(1; + \infty)$ , domeniul lui $ln (x - 1)$ . d) Pe $[2; + \infty)$ , domeniul radicalului. Verificare: în $x = 2$ , numitorul lui $g$ este $0$ , iar $k (2) = 0 + 4 = 4$ .

3. Pentru $x \neq = 4$ , $f (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 5 )}{x - 4} = x + 5$ , iar $lim_{x \to 4} f (x) = 9$ , deci $f (4) = 9$ . Verificare: $f (4, 001) = 9, 001$ .

4. $l_{s} = 4 a + 1$ , $l_{d} = 2^{2} + 2, 5 \cdot 2 + 4 = 13$ și $f (2) = 13$ , deci $4 a + 1 = 13$ , adică $a = 3$ . Verificare: pentru $a = 3$ , $f (1, 99) = 12, 8803$ și $f (2, 01) \approx 13, 0651$ .

5. a) $V (t) = 380 - 24 t$ pentru $0 \leq t \leq 11$ și $V (t) = 376 - 24 (t - 11)$ pentru $11 < t \leq 16$ . b) $l_{s} = 380 - 264 = 116$ litri și $l_{d} = 376$ litri: saltul este $376 - 116 = 260$ litri, exact alimentarea. c) Pe $[0; 11) \cup (11; 16]$ . d) Da: $C$ e de gradul I; consumul nu sare, sare doar nivelul din rezervor. Verificare: $V (13) = 376 - 48 = 328$ și $V (15) = 376 - 96 = 280$ litri, ca în tabel.

6. a) $h (0) = 2$ m, iar $l_{s} = 0, 7 \cdot 5 + 2 = 5, 5$ . b) $l_{d} = a - 0, 3 \cdot 5 = a - 1, 5$ , iar $a - 1, 5 = 5, 5$ dă $a = 7$ . c) $h (10) = 7 - 3 = 4$ m. Verificare: $h (4, 99) = 5, 493$ și $h (5, 01) = 5, 497$ .

7. a) $T (t) = 16 + 0, 6 t$ pentru $0 \leq t \leq 10$ și $T (t) = 22 - 0, 25 (t - 10)$ pentru $10 < t \leq 34$ . În 10: $l_{s} = 16 + 6 = 22$ , $l_{d} = 22$ și $T (10) = 22$ , deci $T$ este continuă. b) $l_{s} = 9$ kW și $l_{d} = 0$ kW: un salt de $- 9$ kW. c) Aeroterma se oprește dintr-odată, dar aerul și pământul din seră pierd treptat căldura acumulată, deci temperatura nu poate sări. Verificare: $T (22) = 22 - 3 = 19$ și $T (34) = 22 - 6 = 16$ °C, ca în tabel.

8. a) $p (0) = a = 20$ și $p (40) = c - 16 = 17$ , deci $a = 20$ și $c = 33$ . b) În 10: $l_{s} = 5 + 20 = 25 = p (10)$ , deci $p$ este continuă. În 30: $l_{s} = 25 = p (30)$ , dar $l_{d} = 33 - 12 = 21$ : un salt de $- 4$ cm, deci $p$ nu este continuă în 30. c) După 30 m plugul lucrează brusc cu 4 cm mai puțin adânc: fundul brazdei are o denivelare. Verificare: $p (9, 99) = 24, 995$ și $p (30, 01) = 20, 996$ .

9. Numitorul $x^{2} + 16 \geq 16 > 0$ , deci $f$ este continuă pe $R$ . Ecuația $f (x) = y$ este $y x^{2} - 4 x + 16 y = 0$ . Pentru $y = 0$ are soluția $x = 0$ ; pentru $y \neq = 0$ cere $Δ = 16 - 64 y^{2} \geq 0$ , adică $∣ y ∣ \leq \frac{1}{2}$ . Mulțimea valorilor este $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ . Verificare: $f (4) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ și $f (- 4) = - \frac{1}{2}$ .

10. Numitorul $u = x^{2} + 6 x + 12 = (x + 3)^{2} + 3 \geq 3$ nu se anulează, deci $f$ este continuă pe $R$ . Atunci $f (x) = \frac{u + 3}{u} = 1 + \frac{3}{u}$ și, din $u \geq 3$ , avem $0 < \frac{3}{u} \leq 1$ . Așadar $1 < f (x) \leq 2$ , iar 2 se atinge în $x = - 3$ : imaginea este $(1; 2]$ . Verificare: $f (- 3) = \frac{6}{3} = 2$ , iar $f (1000) \approx 1, 000003$ .

11. Pe $(- \infty; 1)$ și pe $(1; + \infty)$ funcția este continuă, ca polinom, respectiv ca sumă de funcții continue. În $x = 1$ : $f (1) = 9 - 5 = 4$ , $l_{s} = 9 - 5 = 4$ și $l_{d} = lim_{x \to 1^{+}} (4 x + ln x) = 4 + 0 = 4$ . Cum $l_{s} = l_{d} = f (1) = 4$ , $f$ e continuă pe $R$ și, prin urmare, are primitive pe $R$ . Verificare: $f (0, 99) \approx 3, 87$ și $f (1, 01) \approx 4, 05$ .

12. Pe $(- \infty; 0)$ și pe $(0; + \infty)$ funcția este continuă; rămâne $x = 0$ . $f (0) = e^{0} + a = 1 + a$ și $l_{s} = 1 + a$ , iar $l_{d} = 0^{2} + 3 \cdot 0 + 17 = 17$ . Din $1 + a = 17$ rezultă $a = 16$ . Verificare: $f (- 0, 01) \approx 16, 99$ și $f (0, 01) \approx 17, 03$ .

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, continuitatea apare în 5 din cele 83 de probe, ca pas al unei cerințe mai mari: în trei, la Subiectul al III-lea, problema 1, subpunctul c), se cere mulțimea valorilor sau imaginea funcției, iar în două, la problema 2, subpunctul b), trebuie arătat că o funcție definită pe ramuri admite primitive pe $R$ , cerințe tratate și în lecția despre limite laterale. Derivata vine în lecțiile următoare, iar primitivele sunt din clasa a XII-a; lecția de față exersează doar pasul de continuitate. Trei cerințe reale, din probe diferite:

August 2019, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția are la numărător $x$ și la numitor un binom de gradul al doilea, iar cerința este mulțimea valorilor; baremul probei dă 2 puncte pentru semnul derivatei și 3 puncte pentru continuitatea pe $R$ , limitele la $\pm \infty$ și valorile extreme, de unde mulțimea valorilor (pasul 5 din Metodă).
August 2020, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este un cât de două trinoame de gradul al doilea, iar cerința este imaginea funcției; baremul probei dă 3 puncte pentru intervalele de monotonie, din derivată, și 2 puncte pentru limitele la $\pm \infty$ , valoarea maximă și continuitatea (pasul 5 din Metodă).
August 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția este definită pe ramuri, polinomială pentru $x \leq 1$ și cu un termen $ln x$ pentru $x > 1$ , iar cerința este să arăți că admite primitive pe $R$ ; baremul probei dă 3 puncte pentru limitele laterale în 1 și valoarea din 1, toate egale (pașii 2, 3 și 4 din Metodă), și 2 puncte pentru continuitatea pe $R$ (pasul 5 din Metodă).

Exercițiile 9–11 exersează aceste forme, iar exercițiul 12 caută un parametru. Mai departe, Darboux și semnul funcției folosesc continuitatea, iar ordinea tuturor lecțiilor din an o arată traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Verifici doar valoarea din punct și scrii „deci este continuă” → cum o prinzi: la telegondolă $v (180) = 5$ e egală cu $l_{s}$ , dar $l_{d} = 2$ ; cele trei numere trebuie să coincidă.
Iei colțul drept ruptură → cum o prinzi: în secunda 40 graficul vitezei își schimbă panta, dar $l_{s} = l_{d} = v (40) = 5$ ; un colț nu rupe graficul.
Declari continuă o funcție cu gol → cum o prinzi: la viteza medie de la demaraj, cu afișajul pus pe 0 în $t = 0$ , limita la dreapta este 3 m/s, iar valoarea este 0; golul se vede din valoare, nu din limită.
Calculezi limita laterală cu ramura greșită → cum o prinzi: la telegondolă, limita la dreapta în 180 se ia din ramura lui $t > 180$ , cea de 2 m/s, iar valoarea din punct din ramura care conține punctul, cea de 5 m/s.
Cauți continuitatea într-un punct din afara domeniului → cum o prinzi: verifici întâi domeniul; la cuptorul cofetăriei, marja de 3 lei pe tavă nu e în domeniul lui $T$ ; acolo nu se pune întrebarea continuității, iar graficul are asimptotă verticală.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Continuitatea unei funcții într-un punct și pe un interval se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 5 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Dacă programul ar trece pe 2 m/s chiar în secunda 180, ar deveni viteza continuă?

Nu. Atunci $v (180) = 2$ și $l_{d} = 2$ , dar $l_{s} = 5$ : limitele laterale tot diferă, deci limita în 180 nu există, iar saltul rămâne de 3 m/s. Un salt nu se repară mutând punctul pe una dintre ramuri; așa se repară doar un gol.

Cum ar arăta în model o reducere de viteză fără salt?

Cu o rampă: de la secunda 180, viteza scade în ritm constant, $v (t) = 5 - k (t - 180)$ , până ajunge la 2 m/s. Dacă reducerea durează 12 secunde, $5 - 12 k = 2$ dă $k = 0, 25$ m/s pe secundă. Atunci în 180 și în 192 limitele laterale și valorile sunt egale, iar viteza este continuă.

Se rupe și graficul distanței parcurse de cabină în secunda 180?

Nu. Până la secunda 40 viteza crește uniform de la 0 la 5 m/s, deci cabina parcurge $2, 5 \cdot 40 = 100$ m, apoi 5 m pe secundă: $d (180) = 100 + 5 \cdot 140 = 800$ m, iar după 180 distanța crește cu 2 m pe secundă: $d (181) = 802$ m. Limitele laterale ale distanței în 180 sunt amândouă 800 m; sare doar viteza, adică ritmul în care crește distanța.

Ce marjă pe tavă scurtează recuperarea cuptorului la 4 ani?

Din $\frac{61200}{1700 m - 5100} = 4$ rezultă $1700 m - 5100 = 15300$ , adică $m = 12$ lei. Cum $T$ este continuă pe $(3; + \infty)$ , o marjă puțin peste 12 lei dă o durată puțin sub 4 ani, fără salturi, așa că prețul tăvii se poate negocia în pași mici.

Unde apare continuitatea la Bacalaureatul M3 și de ce?

În 5 probe: în trei, la problema 1, subpunctul c), se cere mulțimea valorilor sau imaginea funcției, iar în două, la problema 2, subpunctul b), existența primitivelor pentru o funcție pe ramuri. Rezolvarea oficială scrie că funcția este continuă, apoi limitele și valorile extreme: continuitatea garantează că graficul nu are goluri între aceste valori.