Se consideră funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{3} - 15x^{2} + 7x + 9$$. Pe care dintre intervalele de mai jos este $$f$$ concavă?

$$\left(-\infty;\,\dfrac{5}{2}\right]$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Forma curbei și inflexiunea

Cum arăt că nu există puncte de inflexiune?

Arăți că derivata a doua păstrează același semn pe tot domeniul: atunci nu își schimbă semnul niciodată, deci nu există inflexiune. Exemplu: $f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x + 11}{x - 1}$ pe $(1, + \infty)$ . Împărțirea dă $f (x) = x + 4 + \frac{15}{x - 1}$ , iar $f^{''} (x) = \frac{30}{( x - 1 ) ^{3}}$ este pozitivă pe domeniu. Funcția este convexă și graficul nu are inflexiune.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Convexitatea descrie felul în care se îndoaie curba unei funcții. Funcția este convexă pe un interval dacă derivata a doua este pozitivă sau nulă pe el: panta tangentei crește, iar curba se îndoaie în sus. Dacă $f^{''} \leq 0$ , funcția este concavă și curba se îndoaie în jos. Inflexiunea este locul din grafic unde $f^{''}$ trece de la un semn la celălalt.

Metoda: fixezi domeniul, derivezi de două ori și scoți factorul comun, găsești rădăcinile lui $f^{''}$ din domeniu, alegi numere de probă, citești intervalele și calculezi ordonata punctului de inflexiune. Verifici cu mijlocul unei coarde: valoarea funcției în mijloc se compară cu media valorilor de la capete.

Capcana principală este să deduci forma curbei din semnul lui $f^{'}$ . O funcție poate crește peste tot și totuși să fie convexă numai pe o parte. Mai apar inflexiunea declarată doar fiindcă $f^{''} = 0$ , schimbarea de semn aflată în afara domeniului și unitățile amestecate.

Unitatea lui $f^{''}$ este unitatea lui $f$ împărțită la pătratul unității lui $x$ . În tabel scrii valorile funcției în rădăcini și în capete, iar intervalele se închid la capetele care aparțin domeniului.

De reținut

$f^{''} \geq 0$ pe un interval: $f$ este convexă pe el
$f^{''}$ cu același semn pe tot domeniul: fără inflexiune
$f^{''}$ se măsoară în unități ale lui $f$ pe pătratul unității lui $x$

Greșeala tipică

Se deduce forma curbei din semnul lui $f^{'}$ . La exemplul de mai sus, $f^{'}$ este negativă lângă $x = 1$ și pozitivă mai departe, dar $f^{''}$ este pozitivă peste tot.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 7 x + 9$ . Pe care dintre intervalele de mai jos este $f$ concavă?
- a) $[5; + \infty)$
- b) $(- \infty; \frac{5}{2}]$
- c) $(- \infty; 15]$
- d) $(- \infty; 5]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(- \infty; 5]$

Avem $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 30 x + 7$ și $f^{''} (x) = 6 x - 30 = 6 (x - 5)$ , negativă pentru $x < 5$ , deci $f$ este concavă pe $(- \infty; 5]$ . Varianta a) întoarce semnul și descrie intervalul de convexitate. Varianta b) pornește de la $f^{''} (x) = 6 x - 15$ , adică derivează $- 15 x^{2}$ ca $- 15 x$ , iar c) confundă coeficientul $- 15$ cu o abscisă.
Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} - 18 x^{2} + 7 x + 11$ are un punct de inflexiune. Care sunt coordonatele lui?
- a) $(3; - 47)$
- b) $(3; - 76)$
- c) $(- 3; - 226)$
- d) $(1, 5; - 12, 25)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(3; - 76)$

Din $f^{''} (x) = 12 x - 36$ rezultă $x = 3$ , iar semnul lui $f^{''}$ se schimbă acolo; ordonata este $f (3) = 54 - 162 + 21 + 11 = - 76$ . Varianta a) pune $f^{'} (3) = - 47$ drept ordonată. Varianta c) pornește de la rădăcina cu semn schimbat, $x = - 3$ , iar d) derivează $- 18 x^{2}$ ca $- 18 x$ , de unde $f^{''} (x) = 12 x - 18$ și $x = 1, 5$ .
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 7) e^{x}$ . Care sunt coordonatele punctului de inflexiune al graficului?
- a) $(5; - 2)$
- b) $(6; - e^{6})$
- c) $(5; - 2 e^{5})$
- d) $(5; 2 e^{5})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(5; - 2 e^{5})$

Derivând, $f^{'} (x) = (x - 6) e^{x}$ și $f^{''} (x) = (x - 5) e^{x}$ , deci inflexiunea este în $x = 5$ , cu $f (5) = - 2 e^{5}$ . Varianta a) uită factorul $e^{5}$ , b) pornește de la rădăcina lui $f^{'}$ , adică $x = 6$ , iar d) schimbă semnul ordonatei.

Întrebări conexe

Cum derivez de două ori un cât cu numărător de gradul 2?

Faci mai întâi împărțirea cu rest, ca funcția să devină o sumă ușor de derivat, apoi derivezi de două ori. Pentru $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5}{x - 3}$ rezultă $f (x) = 2 x + 6 + \frac{23}{x - 3}$ , apoi $f^{'} (x) = 2 - \frac{23}{( x - 3 ) ^{2}}$ și $f^{''} (x) = \frac{46}{( x - 3 ) ^{3}}$ .

Cum arăt convexitatea pe un interval care începe într-un punct?

Lucrezi doar pe acel interval: ajunge să arăți că $f^{''} \geq 0$ pe el. Pentru $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 4 x$ , $f^{''} (x) = 6 (x - 4)$ este nenegativă pe $[4; + \infty)$ , deci $f$ este convexă acolo, deși pe $R$ nu este.

Ce înseamnă un f'' constant și pozitiv?

Panta $f^{'}$ crește cu aceeași cantitate la fiecare pas, iar curba este convexă peste tot, fără inflexiune. Pentru $f (x) = 0, 35 x^{2} + 4 x$ avem $f^{'} (x) = 0, 7 x + 4$ și $f^{''} (x) = 0, 7$ , deci panta urcă cu $0, 7$ la fiecare unitate a lui $x$ .

Cum scriu concluzia pe interval închis sau deschis?

Dacă $f^{''} \geq 0$ pe $[a; b]$ , funcția este convexă pe intervalul închis; capetele din domeniu se includ. Pentru $f (x) = 5 x^{3} - 30 x^{2}$ , $f^{''} (x) = 30 (x - 2)$ este nenegativă pe $[2; + \infty)$ , deci $f$ este convexă pe $[2; + \infty)$ , nu doar pe $(2; + \infty)$ .

Cum arăt lipsa inflexiunii când f'' este o sumă?

Dacă $f^{''}$ este o sumă de termeni pozitivi, ea este pozitivă pe tot domeniul și nu își poate schimba semnul. Pentru $f (x) = 3 x^{2} - 7 ln x$ pe $(0, + \infty)$ avem $f^{''} (x) = 6 + \frac{7}{x ^{2}} > 0$ , deci nu există inflexiune.

Ce arată convexitatea unui cost de producție?

Că fiecare piesă în plus costă mai mult decât precedenta: costul marginal $C^{'}$ crește. Pentru $C (q) = 0, 02 q^{2} + 5 q + 300$ lei avem $C^{'} (q) = 0, 04 q + 5$ și $C^{''} (q) = 0, 04 > 0$ , deci $C$ este convexă. La $q = 100$ piesa următoare costă aproximativ $9$ lei, iar la $q = 200$ aproximativ $13$ lei.

Oamenii mai întreabă și: demonstrează că funcția nu are puncte de inflexiune · derivata a doua păstrează semnul pe domeniu · funcție fără inflexiune cu derivata a doua pozitivă · cum arăt că un cât nu are inflexiune