Convexitate și inflexiune: liceu tehnologic

Un zootehnist dă vițeilor rația cea mai bogată în proteine în luna în care se îngrașă cel mai repede. Cântarul arată greutatea, nu și luna aceea: ea se vede din felul în care se îndoaie curba greutății, iar derivata a doua o găsește exact. Convexitatea și punctul de inflexiune, studiate la tehnologic în clasa a XI-a, sunt o temă care a apărut în 18 probe ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

O fermă de bovine pentru carne crește în fiecare toamnă un lot de vițeli, de la naștere până la 8 luni, pe aceeași rație de bază. Zootehnistul cântărește un vițel reprezentativ și trece greutatea în fișa de creștere. Rația cea mai bogată în proteine o comandă pentru luna în care sporul de greutate pe lună este cel mai mare, iar furajul se cumpără cu o lună înainte. Pe datele din fișă a ajustat un model de gradul al treilea, în care vârsta 0 este nașterea.

Între cântăriri, sporul mediu a fost de 28,5 kg pe lună, apoi de 31,5 și de 26,7, deci pare să urce și să coboare. Tabelul nu spune însă în ce lună este maxim.

Întrebare: în ce lună crește greutatea cel mai repede și în ce lună își schimbă curba greutății felul în care se îndoaie?

De la situație la model

Greutatea depinde de vârstă, iar sporul pe lună este ritmul ei. Registrul se potrivește cu modelul la fiecare vârstă întreagă, de la 0 la 8 luni.

Ce înseamnă convexă și concavă?

Coarda este segmentul dintre două puncte ale graficului. O funcție este convexă pe un interval dacă orice coardă stă deasupra graficului sau pe el: curba se îndoaie în sus, ca o albie. Este concavă dacă orice coardă stă sub grafic sau pe el: curba se îndoaie în jos, ca o boltă. Forma se poate citi și pe un grafic, ca în lecția despre convexitatea citită din grafic; aici o aflăm cu derivata.

Ce spune derivata a doua?

Sporul pe lună al greutății este $W^{\prime }$. Dacă $W^{\prime }$ crește, panta tangentei crește și curba se îndoaie în sus. Derivata lui $W^{\prime }$ este derivata a doua $W^{\prime \prime }$, ritmul ritmului: câte kg pe lună se adaugă sporului, de la o lună la alta. Regula, folosită fără demonstrație: dacă $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el; dacă $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, este concavă. Regulile de derivare le găsești în lecția despre derivata sumei, produsului și câtului, de pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Ce este un punct de inflexiune?

Punctul de inflexiune este punctul graficului în care curba trece de la convexă la concavă sau invers. Funcția este continuă acolo, iar $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul. Egalitatea $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ nu ajunge: dacă semnul rămâne același de o parte și de alta, nu există inflexiune (exercițiul 2).

Cum se citește forma curbei dintr-un tabel?

Tabelul are trei rânduri: valorile lui $x$ (capetele și punctele unde $f^{\prime \prime }=0$), semnul lui $f^{\prime \prime }$ între ele și forma curbei, cu valoarea lui $f$ în fiecare punct.

Metoda pas cu pas

1. Fixează domeniul. Notează intervalul funcției, de exemplu $0\le t\le 8$ la greutate. La un cât, scoate din domeniu punctele în care numitorul se anulează. Dacă datele sunt în alte unități, de exemplu în centimetri în loc de metri, le transformi înainte de a scrie formula.
2. Derivează de două ori. Calculează $f^{\prime }$, apoi $f^{\prime \prime }$, și scoate factorul comun. La un cât, aplică regula câtului sau împarte întâi numărătorul la numitor, ca să obții o sumă. La vițel, $W^{\prime \prime }(t)=-1,8(t-4)$.
3. Află unde $f^{\prime \prime }=0$. Rezolvă $f^{\prime \prime }(x)=0$ și păstrează doar soluțiile din domeniu; la vițel, $t=4$. Dacă $f^{\prime \prime }$ nu se anulează niciodată, curba are aceeași formă pe fiecare interval al domeniului și nu are inflexiune.
4. Stabilește semnul lui $f^{\prime \prime }$. Pe fiecare interval dintre aceste puncte alege un număr de probă, de exemplu 0 și 8 la vițel, și calculează $f^{\prime \prime }$ în el. Semnul rămâne același pe tot intervalul. Dacă $f^{\prime \prime }$ este o fracție, semnul ei îl dau numărătorul și puterea numitorului: la o putere pară numitorul nu schimbă semnul, la una impară îl poate schimba.
5. Citește forma curbei. Unde $f^{\prime \prime }\ge 0$, curba este convexă; unde $f^{\prime \prime }\le 0$, este concavă. Acolo unde semnul se schimbă este un punct de inflexiune; calculează și $f(x_0)$. Scrie intervalele închise la capetele în care funcția este definită.
6. Verifică. Ia două puncte $a<b$ dintr-un interval și compară $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ cu media $\frac{f(a)+f(b)}{2}$. La o curbă convexă valoarea din mijloc este mai mică sau egală cu media, la una concavă este mai mare sau egală. Verifică și unitățile.

La o cerință ca „demonstrați că $f$ este convexă pe $[2,+\infty )$” lucrezi numai pe acel interval; ajunge să arăți că $f^{\prime \prime }$ nu este negativă pe el.

Fișa de buzunar

$$f^{\prime \prime }\ge 0\text{ pe }I\Rightarrow f\text{ convexa˘ pe }I,f^{\prime \prime }\le 0\text{ pe }I\Rightarrow f\text{ concava˘ pe }I$$

$$f^{\prime \prime }\text{ schimba˘ semnul ıˆn }{x}_0\Rightarrow \text{punct de inflexiune }(x_0;f(x_0))$$

Condiții: $f$ de două ori derivabilă pe interval; punctele cu $f^{\prime \prime }=0$ se caută numai în domeniu. Dacă $f^{\prime \prime }$ are același semn pe tot domeniul, nu există inflexiune. Unitatea lui $f^{\prime \prime }$ este unitatea lui $f$ pe unitatea lui $x$ la pătrat. Verificare rapidă: media valorilor de la capetele unei coarde se compară cu valoarea din mijlocul ei.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Greutatea unui vițel

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Revenim la fermă, cu $W(t)=-0,3t^3+3,6t^2+18t+40$ kg, pentru $0\le t\le 8$ luni. a) Calculează $W^{\prime }(t)$ și $W^{\prime \prime }(t)$. b) Află intervalele de convexitate și de concavitate și punctul de inflexiune. c) Spune în ce lună este sporul pe lună cel mai mare și cât este.

Rezolvare. a) $W^{\prime }(t)=-0,9t^2+7,2t+18$ și $W^{\prime \prime }(t)=-1,8t+7,2=-1,8(t-4)$. b) $W^{\prime \prime }(t)=0$ pentru $t=4$, în intervalul $[0;8]$. Numerele de probă dau $W^{\prime \prime }(0)=7,2>0$ și $W^{\prime \prime }(8)=-7,2<0$. Valorile sunt $W(0)=40$, $W(4)=150,4$ și $W(8)=260,8$.

Curba este convexă pe $[0;4]$ și concavă pe $[4;8]$. Punctul de inflexiune este $(4;150,4)$. c) Sporul este $W^{\prime }$, iar $W^{\prime }$ crește cât timp $W^{\prime \prime }>0$, adică până în $t=4$, și scade după aceea. Maximul sporului este $W^{\prime }(4)=32,4$ kg pe lună, adică aproximativ 1,08 kg pe zi. Rația bogată în proteine se comandă pentru luna 4, iar furajul, cu o lună înainte.

Capcană. Cine ia semnul lui $W^{\prime }$ în loc de cel al lui $W^{\prime \prime }$ vede $W^{\prime }(t)>0$ pe tot intervalul și scrie „convexă pe $[0;8]$”. Greutatea crește peste tot, dar asta nu o face convexă: pe $[4;8]$, mijlocul coardei dă $\frac{150,4+260,8}{2}=205,6$, iar $W(6)=212,8$ este mai mare, deci curba stă deasupra coardei.

Verificare. În registru, sporurile lunare de la naștere la 8 luni sunt 21,3; 26,7; 30,3; 32,1; 32,1; 30,3; 26,7 și 21,3 kg. Ele cresc până la luna 4 și scad după aceea, simetric, cum cere un punct de inflexiune în $t=4$. Pe $[0;4]$, $W(2)=88$ este sub media $\frac{40+150,4}{2}=95,2$, deci curba este convexă.

Exemplul 2 — Momentul într-o grindă de planșeu

Domeniu: constructii.

Enunț. Un planșeu de lemn se sprijină pe grinzi simplu rezemate, încărcate uniform cu 3,2 kN pe metru de grindă. Momentul încovoietor maxim din grindă, în kN·m, depinde de deschidere, adică de distanța dintre reazeme: $M(L)=\frac{3,2L^2}{8}$, cu $L$ în metri, pentru $2\le L\le 8$. Pe șantier se măsoară deschiderea 480 cm. a) Transformă deschiderea în metri și calculează momentul. b) Calculează $M^{\prime }$ și $M^{\prime \prime }$ și spune dacă $M$ este convexă sau concavă. c) Cu cât crește momentul când deschiderea crește cu 1 m, de la 3 m și de la 6 m?

Rezolvare. a) 1 m are 100 cm, deci 480 cm = 4,8 m, iar $M(4,8)=0,4\cdot 23,04\approx 9,22$ kN·m. b) $M(L)=0,4L^2$, deci $M^{\prime }(L)=0,8L$ kN și $M^{\prime \prime }(L)=0,8$. Cum $M^{\prime \prime }(L)>0$ pentru orice $L$, funcția este convexă pe $[2;8]$ și nu are puncte de inflexiune. c) $M^{\prime }(3)=2,4$ kN și $M^{\prime }(6)=4,8$ kN. Direct: $M(4)-M(3)=6,4-3,6=2,8$ kN·m și $M(7)-M(6)=19,6-14,4=5,2$ kN·m. Același metru în plus încarcă grinda de aproape două ori mai mult la 6 m decât la 3 m: curba urcă tot mai abrupt.

Capcană. Cine crede că la o deschidere dublă și momentul se dublează scrie $M(6)=2\cdot M(3)=7,2$ kN·m. Formula dă însă $M(6)=14,4$ kN·m, de patru ori $M(3)=3,6$: momentul crește cu pătratul deschiderii, iar curba convexă urcă tot mai abrupt.

Verificare. Mijlocul coardei dintre 3 m și 7 m: media $\frac{3,6+19,6}{2}=11,6$ kN·m este mai mare decât $M(5)=10$ kN·m, deci curba stă sub coardă, cum cere convexitatea.

Exemplul 3 — Golirea unui rezervor de suc

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o fabrică de conserve, sucul de fructe dintr-un rezervor se evacuează printr-o vană de fund. Debitul vanei depinde de nivelul sucului: $Q(h)=6\sqrt{h}$ litri pe secundă, cu $h$ în metri, pentru $0<h\le 4$. Operatorul citește pe riglă nivelul 225 cm. a) Transformă nivelul în metri și calculează debitul în L/s și în m³/h. b) Calculează $Q^{\prime }$ și $Q^{\prime \prime }$ și spune dacă $Q$ este convexă sau concavă. c) Compară creșterea debitului când nivelul urcă de la 0,81 m la 1 m cu cea de la 2,25 m la 2,56 m.

Rezolvare. a) 225 cm = 2,25 m, iar $Q(2,25)=6\cdot 1,5=9$ L/s. Un litru pe secundă este 3,6 m³/h, deci 9 L/s = 32,4 m³/h. b) $Q^{\prime }(h)=\frac{3}{\sqrt{h}}$ L/s pe metru. Cu regula câtului, $u=3$, $v=\sqrt{h}$, $u^{\prime }=0$ și $v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{h}}$: $Q^{\prime \prime }(h)=\frac{0\cdot \sqrt{h}-3\cdot \frac{1}{2\sqrt{h}}}{h}=-\frac{3}{2h\sqrt{h}}$. Pentru $h>0$ avem $Q^{\prime \prime }(h)<0$, deci $Q$ este concavă pe $(0;4]$. La $h=2,25$, $Q^{\prime }(2,25)=2$ L/s pe metru. c) $Q(1)-Q(0,81)=6-5,4=0,6$ L/s pentru 0,19 m, adică aproximativ 3,16 L/s pe metru. $Q(2,56)-Q(2,25)=9,6-9=0,6$ L/s pentru 0,31 m, adică aproximativ 1,94 L/s pe metru. Concavitatea se vede: un metru în plus aduce mai mult debit la nivel mic decât la nivel mare.

Capcană. Dacă pui 225 în formulă, fără să treci centimetrii în metri, obții $Q(225)=6\cdot 15=90$ L/s, ca la un rezervor de 225 m adâncime. Variabila $h$ se măsoară în metri.

Verificare. Mijlocul coardei dintre 1 m și 4 m: media $\frac{6+12}{2}=9$ L/s este mai mică decât $Q(2,5)=6\sqrt{2,5}\approx 9,49$ L/s, deci curba stă deasupra coardei, cum cere concavitatea.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: ușa cu amortizor

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un închizător cu amortizor aduce o ușă batantă în poziția închis, fără să oscileze. Abaterea ușii față de poziția închis, în centimetri, la $x$ secunde de la eliberare, este dată pentru $x\ge 0$ de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{30(x+1)}{e^x}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{30x}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[1,+\infty )$.

Rezolvare. a) Cu regula câtului, $u=30x+30$, $v=e^x$, $u^{\prime }=30$ și $v^{\prime }=e^x$: $f^{\prime }(x)=\frac{30e^x-(30x+30)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{-30x}{e^x}$, după simplificarea cu $e^x$. b) Cu $u=-30x$ și $u^{\prime }=-30$: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-30e^x+30x{e}^x}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{30(x-1)}{e^x}$. Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime \prime }$ este al lui $x-1$, deci $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in [1,+\infty )$ și $f$ este convexă pe acest interval. În $x=1$ semnul se schimbă, iar $(1;f(1))$ este punct de inflexiune: ușa se închide cel mai repede la o secundă după eliberare, cu viteza $|f^{\prime }(1)|=\frac{30}{e}\approx 11,04$ cm/s.

Capcană. Cine vede că $f^{\prime }(x)<0$ pentru $x>0$ și scrie „descrește, deci este concavă” confundă sensul de variație cu forma curbei. Funcția descrește, dar pe $[1,+\infty )$ este convexă.

Verificare. Pe $[1;3]$, $f(2)\approx 12,18$ este sub media $\frac{f(1)+f(3)}{2}\approx \frac{22,07+5,97}{2}\approx 14,02$, deci curba stă sub coardă, cum cere convexitatea.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $g(x)=2x^3-24x^2+9x+14$, $x\in \mathbb{R}$, calculează $g^{\prime \prime }(x)$ și scrie-l factorizat, alcătuiește tabelul și precizează intervalele de convexitate și de concavitate și punctul de inflexiune.

2. Pentru $h(x)=x^4-16x^3+96x^2-150x+40$, $x\in \mathbb{R}$, arată că $h$ este convexă pe $\mathbb{R}$ și că $h^{\prime \prime }$ se anulează în $x=4$ fără ca acesta să fie punct de inflexiune.

3. Pentru $p:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $p(x)=2x+1+\frac{27}{x}$, calculează $p^{\prime \prime }(x)$, scrie intervalele de convexitate și de concavitate și spune dacă graficul are puncte de inflexiune.

4. Pentru $r(x)=e^x-4x^2$, $x\in \mathbb{R}$, calculează $r^{\prime \prime }(x)$, scrie intervalele de convexitate și de concavitate și punctul de inflexiune.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Pe un teren irigat prin aspersiune, umiditatea solului, în procente, la $t$ ore după pornire este $U(t)=35-\frac{20}{e^t}$, pentru $t\ge 0$. Arată că $U$ este concavă, calculează umiditatea după 3 ore și compară creșterea din prima oră, de la $t=0$ la $t=1$, cu cea din a treia oră, de la $t=2$ la $t=3$.

6. (Problemă aplicată.) Barca cu motor a unei baze de agrement de pe un lac are nevoie, la viteza $v$, de puterea $P(v)=0,005v^3$ kilowați, cu $v$ în km/h, pentru $6\le v\le 16$. Arată că $P$ este convexă și calculează cu cât crește puterea când viteza urcă cu 1 km/h, de la 8 la 9 km/h și de la 14 la 15 km/h.

7. (Problemă aplicată.) Producția zilnică de lapte a unei vaci, în litri, la $w$ săptămâni după vârf, este $y(w)=20+\frac{90}{w+5}$, pentru $0\le w\le 30$. Arată că $y$ este convexă și compară scăderea din primele 5 săptămâni cu cea din următoarele 10.

8. (Problemă aplicată.) Bolta unui pasaj pietonal are, la distanța $x$ metri de axă, înălțimea $h(x)=5,2-0,04x^2$ metri, pentru $-6\le x\le 6$. Arată că $h$ este concavă și verifică cu mijlocul coardei dintre $x=-4$ și $x=4$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^3-27x^2+5x-11$. Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[3,+\infty )$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{8x-1}{2x+3}$. Arătați că funcția $f$ este concavă.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+4x+7}{x-2}$. Demonstrați că funcția $f$ nu are puncte de inflexiune.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-5\ln x$. Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

Răspunsuri și verificări

1. $g^{\prime \prime }(x)=12x-48=12(x-4)$. Curba este concavă pe $(-\infty ;4]$ și convexă pe $[4;+\infty )$, cu punctul de inflexiune $(4;-206)$. Verificare: $g(1)-2g(2)+g(3)=-24<0$ și $g(4)-2g(5)+g(6)=12>0$, adică diferențele a doua au semnele cerute.

2. $h^{\prime \prime }(x)=12x^2-96x+192=12(x-4{)}^2\ge 0$, deci $h$ este convexă pe $\mathbb{R}$. Derivata a doua se anulează în $x=4$, dar semnul nu se schimbă, deci nu există inflexiune. Verificare: $h^{\prime \prime }(3)=12$ și $h^{\prime \prime }(5)=12$ sunt pozitive.

3. $p^{\prime }(x)=2-\frac{27}{x^2}$ și $p^{\prime \prime }(x)=\frac{54}{x^3}$: pe $(-\infty ;0)$ avem $p^{\prime \prime }<0$, deci $p$ este concavă, iar pe $(0;+\infty )$ avem $p^{\prime \prime }>0$, deci convexă. Semnul se schimbă în 0, dar 0 nu aparține domeniului: graficul nu are puncte de inflexiune. Verificare: $p(2)=18,5$ este sub media $\frac{p(1)+p(3)}{2}=23$, iar $p(-2)=-16,5$ este peste media $\frac{p(-1)+p(-3)}{2}=-21$.

4. $r^{\prime }(x)=e^x-8x$ și $r^{\prime \prime }(x)=e^x-8$. Cum $e^x$ crește, $r^{\prime \prime }(x)<0$ pentru $x<\ln 8$ și $r^{\prime \prime }(x)>0$ pentru $x>\ln 8$: curba este concavă pe $(-\infty ;\ln 8]$ și convexă pe $[\ln 8;+\infty )$, cu inflexiunea în $(\ln 8;8-4{\ln }^{2}8)$, adică aproximativ $(2,08;-9,30)$. Verificare: $r(1)\approx -1,28$ este peste media $\frac{r(0)+r(2)}{2}\approx -3,81$, iar $r(4)\approx -9,40$ este sub media $\frac{r(3)+r(5)}{2}\approx 16,25$.

5. $U^{\prime }(t)=\frac{20}{e^t}$ și $U^{\prime \prime }(t)=-\frac{20}{e^t}<0$, deci $U$ este concavă. După 3 ore umiditatea este $U(3)\approx 34,00\%$. În prima oră crește cu $U(1)-U(0)\approx 12,64$ puncte procentuale, iar în a treia cu $U(3)-U(2)\approx 1,71$. Verificare: $U^{\prime }(1)\approx 7,36$ și $U^{\prime }(3)\approx 1,00$ au aceeași ordine.

6. $P^{\prime }(v)=0,015v^2$ și $P^{\prime \prime }(v)=0,03v>0$ pe $[6;16]$, deci $P$ este convexă. Puterea crește cu $P(9)-P(8)=1,085$ kW de la 8 la 9 km/h și cu $P(15)-P(14)=3,155$ kW de la 14 la 15 km/h. Verificare: fiindcă $P^{\prime }$ crește, fiecare creștere stă între ritmurile de la capete: $P^{\prime }(8)=0,96<1,085<P^{\prime }(9)=1,215$ și $P^{\prime }(14)=2,94<3,155<P^{\prime }(15)=3,375$.

7. $y^{\prime }(w)=-\frac{90}{(w+5{)}^2}$ și $y^{\prime \prime }(w)=\frac{180}{(w+5{)}^3}>0$, deci $y$ este convexă. În primele 5 săptămâni producția scade cu $y(0)-y(5)=9$ litri, iar în următoarele 10 cu $y(5)-y(15)=4,5$ litri: scăderea încetinește. Verificare: $y^{\prime }(0)=-3,6$ și $y^{\prime }(5)=-0,9$ litri pe săptămână, iar scăderea medie din primele 5 săptămâni, de 1,8 litri pe săptămână, stă între ele.

8. $h^{\prime }(x)=-0,08x$ și $h^{\prime \prime }(x)=-0,08<0$, deci $h$ este concavă. Mijlocul coardei: $\frac{h(-4)+h(4)}{2}=4,56$ m, iar $h(0)=5,2$ m este mai mare, deci curba stă deasupra coardei. Verificare: pe coarda dintre 0 și 4, $h(2)=5,04$ m stă peste media $\frac{h(0)+h(4)}{2}=4,88$ m.

9. Derivând: $f^{\prime }(x)=9x^2-54x+5$ și $f^{\prime \prime }(x)=18x-54=18(x-3)$. Pe $[3,+\infty )$ avem $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este convexă. Verificare: $f(4)=-231$ este sub media $\frac{f(3)+f(5)}{2}=\frac{-158-286}{2}=-222$.

10. Cu $u=8x-1$ și $v=2x+3$: $f^{\prime }(x)=\frac{8(2x+3)-2(8x-1)}{(2x+3{)}^2}=\frac{26}{(2x+3{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{104}{(2x+3{)}^3}$. Pe $\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)$ numitorul este pozitiv, deci $f^{\prime \prime }(x)<0$ și $f$ este concavă. Verificare: $f(0)=-\frac{1}{3}$ este peste media $\frac{f(-1)+f(1)}{2}=\frac{-9+1,4}{2}=-3,8$.

11. Cu $f(x)=x+6+\frac{19}{x-2}$: $f^{\prime }(x)=1-\frac{19}{(x-2{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{38}{(x-2{)}^3}$. Pe $(2,+\infty )$ avem $f^{\prime \prime }(x)>0$, deci semnul nu se schimbă și $f$ nu are puncte de inflexiune. Verificare: $f(x)=\frac{x^2+4x+7}{x-2}$ dă $f(4)=19,5$, sub media $\frac{f(3)+f(5)}{2}\approx 22,67$.

12. Derivând termen cu termen: $f^{\prime }(x)=4x-\frac{5}{x}$ și $f^{\prime \prime }(x)=4+\frac{5}{x^2}$. Pe $(0,+\infty )$ avem $f^{\prime \prime }(x)>0$, deci $f$ este convexă. Verificare: $f(2)\approx 4,53$ este sub media $\frac{f(1)+f(3)}{2}\approx 7,25$.

Așa vine la Bac M3

Forma curbei unei funcții date prin formulă se cere în 13 din cele 18 probe oficiale 2013–2026 în care apare tema, la subpunctul b) sau c) al problemei 1 din Subiectul al III-lea. În celelalte cinci, forma curbei intervine la problema 2, în cadrul primitivelor, care se învață în clasa a XII-a. Dintre cele 13 cerințe de la problema 1, 12 cer să arăți că funcția este convexă sau concavă, pe un interval sau pe tot domeniul, iar una cere să arăți că funcția nu are puncte de inflexiune. Programa de examen enumeră, la rolul derivatei de ordin I și al doilea, monotonia, punctele de extrem, concavitatea și convexitatea; punctul de inflexiune nu este numit acolo, dar apare în cerința din 2018. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele ei:

• Iunie 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: este dată o funcție polinomială de gradul al treilea și se cere să arăți că este convexă pe $[0,+\infty )$; baremul probei dă 2 puncte pentru derivata a doua (pasul 2 din Metodă) și 3 puncte pentru semnul ei pe interval și concluzie (pașii 4 și 5).
• August 2021, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este câtul $\frac{2x}{3x+1}$ pe $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$ și se cere să arăți că este concavă; baremul probei dă 3 puncte pentru derivata a doua (pasul 2) și 2 puncte pentru semnul ei negativ și concluzie (pașii 4 și 5).
• Modelul din 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este câtul $\frac{x^2+6x}{x-2}$ pe $(2,+\infty )$ și se cere să arăți că nu are puncte de inflexiune; baremul probei dă 3 puncte pentru derivata a doua (pasul 2) și 2 puncte pentru semnul ei pozitiv pe tot domeniul, de unde lipsa inflexiunii (pașii 4 și 5).
• Modelul din 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este câtul $\frac{5x-2}{x-1}$ pe $(1,+\infty )$ și se cere să arăți că este convexă; baremul probei dă 3 puncte pentru derivata a doua (pasul 2) și 2 puncte pentru semnul ei pozitiv și concluzie (pașii 4 și 5).

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri de cerințe. Dacă vrei și graficul întreg al unei funcții, vezi lecția reprezentarea grafică pas cu pas.

Greșeli care costă puncte

• Forma curbei dedusă din semnul lui $f^{\prime }$. La Exemplul 4 vezi $f^{\prime }<0$ și scrii „concavă” → derivata întâi spune doar dacă funcția crește sau scade; cum o prinzi: compari valoarea din mijlocul unei coarde cu media capetelor.
• Inflexiune cu $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ și atât. La exercițiul 2 spui că $x=4$ este inflexiune → derivata a doua nu își schimbă semnul; cum o prinzi: calculezi $h^{\prime \prime }(3)$ și $h^{\prime \prime }(5)$ și vezi că ambele sunt pozitive.
• Schimbare de semn în afara domeniului. La exercițiul 3 spui că $x=0$ este inflexiune → $p^{\prime \prime }$ își schimbă semnul în 0, dar 0 nu aparține domeniului; cum o prinzi: compari fiecare punct candidat cu domeniul dat.
• Unitate uitată. La Exemplul 2 pui 480 în loc de 4,8 → momentul iese 92160 kN·m; cum o prinzi: compari rezultatul cu ordinul de mărime al unei grinzi de câțiva metri, de cel mult câteva zeci de kN·m.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Studiul convexității și al concavității pentru o funcție dată prin formulă se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 18 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cum răspund la Bacalaureatul M3 când se cere să arăt că funcția $f$ este convexă pe un interval?

Cere să calculezi $f^{\prime \prime }$ și să arăți că nu este negativă pe intervalul dat. Cerința se află la Subiectul al III-lea, problema 1. În 11 din cele 13 probe, subpunctul a) cere derivata întâi, pe care o derivezi încă o dată; în celelalte două cere o limită, iar derivata a doua o calculezi tu de la capăt.

De ce luna cu greutatea cea mai mare, luna 8, nu este luna cu sporul cel mai mare?

Greutatea cea mai mare apare la capătul intervalului, fiindcă vițelul crește tot timpul. Sporul pe lună este $W^{\prime }$, care la luna 4 este 32,4 kg, iar la luna 8 doar 18 kg. Sporul maxim se află acolo unde $W^{\prime \prime }=0$ și își schimbă semnul, adică în inflexiune.

Ce se schimbă dacă vițelul se naște cu 45 kg, nu cu 40?

Se adaugă 5 la fiecare valoare: $W(t)+5$. Derivatele $W^{\prime }$ și $W^{\prime \prime }$ nu se schimbă, deci inflexiunea rămâne în luna 4, iar punctul ei devine $(4;155,4)$. Luna cu sporul maxim nu depinde de greutatea de la naștere, ci numai de forma curbei.

Cum verific cu un singur calcul că $W$ este convexă pe $[0;4]$?

Ia coarda dintre 0 și 4 luni și mijlocul ei, 2 luni. Media $\frac{40+150,4}{2}=95,2$ kg este mai mare decât $W(2)=88$ kg, deci graficul stă sub coardă. Un singur mijloc nu dovedește convexitatea, dar o contrazice dacă inegalitatea iese pe dos.

Ce înseamnă $W^{\prime \prime }(6)=-3,6$ în kilograme?

În luna 6, sporul lunar scade cu 3,6 kg pe lună de la o lună la alta. În registru, sporul de la 5 la 6 luni a fost 30,3 kg, iar de la 6 la 7 luni 26,7 kg, adică 3,6 kg mai puțin, exact diferența anunțată de derivata a doua.

De ce în registru sporurile din lunile 3–4 și 4–5 sunt egale, dacă sporul maxim este în luna 4?

Sporul lunar din registru este o medie pe o lună întreagă. Maximul de 32,4 kg pe lună se atinge chiar în clipa $t=4$, iar lunile 3–4 și 4–5 sunt așezate simetric în jurul ei, deci au aceeași medie, 32,1 kg.