Randamentul unei reacții cu un reactiv, măsurat în laborator, este $$52$$ % la $$40$$ °C și $$70$$ % la $$80$$ °C. Între aceste temperaturi linia măsurătorilor este concavă. Estimând pe coarda dintre cele două puncte, ce randament se obține la $$50$$ °C și cum este valoarea reală față de estimare?

$$56{,}5$$ %, iar valoarea reală este mai mare

$$56{,}5$$ %, iar valoarea reală este mai mică

$$61$$ %, iar valoarea reală este mai mare

$$61$$ %, iar valoarea reală este mai mică

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Convexă sau concavă din tabel

Cum văd dintr-un tabel dacă efectul încetinește?

Împarți sporul fiecărui pas la lungimea pasului și compari pantele: dacă scad de la stânga la dreapta, efectul încetinește și linia este concavă. Exemplu: un restaurant servește $14; 26; 34; 39$ de mese pe oră cu $1; 2; 3; 4$ ospătari. Sporurile $12; 8; 5$ scad, deci fiecare ospătar în plus ajută tot mai puțin. Proba: la pași egali nu mai împarți, iar $12 > 8 > 5$ confirmă concavitatea.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Dintr-un tabel de măsurători poți citi forma liniei, fără formule. Unești punctele în ordinea abscisei și te uiți cum se schimbă pantele pașilor. Pantele care urcă de la un pas la altul dau o linie convexă, cele care coboară dau una concavă, iar pantele identice dau o dreaptă. Forma nu spune dacă valorile urcă sau coboară, ci doar dacă sporul se mărește sau se micșorează de la un pas la altul.

Pe fiecare pas calculezi sporul, adică diferența dintre valoarea din dreapta și cea din stânga, apoi îl împarți la lungimea pasului, adică la diferența abscisei din dreapta și a celei din stânga. Când pașii sunt egali, e destul să compari sporurile. Când nu sunt, sporurile brute pot înșela: un spor mare pe un pas lung poate ascunde o pantă mică.

Coarda, segmentul dintre două puncte ale liniei, ajută la estimări. Curba concavă trece deasupra coardei, iar cea convexă dedesubt, deci o valoare estimată pe coardă este prea mică într-un caz și prea mare în celălalt. În meserie, forma răspunde la întrebarea cât mai merită un adaos: îl faci cât timp sporul acoperă costul lui, exprimat în aceleași unități.

Verifici refăcând pantele cu toate punctele: o măsurătoare nouă, sau una greșită, poate strica forma. Concluzia se scrie în meserie, cu unitățile ei.

De reținut

pante crescătoare dau linie convexă, pante descrescătoare dau linie concavă
la pași inegali sporul se împarte la lungimea pasului
o linie convexă sau concavă poate să urce ori să coboare

Greșeala tipică

Se compară sporurile brute pe pași inegali. Pentru punctele $(0; 4)$ , $(2; 8)$ și $(8; 14)$ sporurile $4$ și $6$ par să crească, dar pantele $2$ și $1$ scad, deci linia este concavă.

Exerciții din această mini-lecție

Un magazin notează la casă încasarea, în mii de lei, la fiecare două ore. Patru zile dau patru șiruri de câte cinci valori. Pentru care dintre ele linia frântă a măsurătorilor este convexă?
- a) $9; 17; 23; 27; 29$
- b) $34; 28; 24; 22; 21$
- c) $40; 36; 30; 22; 12$
- d) $16; 23; 30; 37; 44$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $34; 28; 24; 22; 21$

Pe pași egali, sporurile celui de-al doilea șir sunt $- 6$ , $- 4$ , $- 2$ și $- 1$ . Ele cresc, deci linia este convexă, deși valorile scad. La primul șir sporurile scad de la $8$ spre $2$ , deci linia este concavă. La al treilea șir sporurile devin tot mai negative, de la $- 4$ la $- 10$ , deci tot concavă, iar la al patrulea sunt egale, linia fiind o dreaptă.
Concentrația unui poluant din apa unui râu este $48$ mg/l la $0$ km de deversare, $40$ mg/l la $2$ km și $22$ mg/l la $5$ km. Care este panta liniei pe pasul de la $2$ km la $5$ km?
- a) $- 18$ mg/l pe km
- b) $- 4$ mg/l pe km
- c) $- 6$ mg/l pe km
- d) $- 3, 6$ mg/l pe km
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 6$ mg/l pe km

Sporul pe pasul de la $2$ km la $5$ km este $22 - 40 = - 18$ mg/l, iar pasul are $5 - 2 = 3$ km, deci panta este $\frac{- 18}{3} = - 6$ mg/l pe km. Valoarea $- 18$ este sporul, neîmpărțit la pas. Valoarea $- 3, 6$ împarte la $5$ , adică la poziția finală, nu la lungimea pasului. Valoarea $- 4$ este panta primului pas, $\frac{40 - 48}{2}$ .
Randamentul unei reacții cu un reactiv, măsurat în laborator, este $52$ % la $40$ °C și $70$ % la $80$ °C. Între aceste temperaturi linia măsurătorilor este concavă. Estimând pe coarda dintre cele două puncte, ce randament se obține la $50$ °C și cum este valoarea reală față de estimare?
- a) $56, 5$ %, iar valoarea reală este mai mare
- b) $56, 5$ %, iar valoarea reală este mai mică
- c) $61$ %, iar valoarea reală este mai mare
- d) $61$ %, iar valoarea reală este mai mică
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $56, 5$ %, iar valoarea reală este mai mare

Coarda urcă $\frac{70 - 52}{80 - 40} = 0, 45$ procente pe grad, deci la $50$ °C estimarea este $52 + 10 \cdot 0, 45 = 56, 5$ %. O linie concavă stă deasupra coardei, deci valoarea reală este mai mare decât estimarea. Valoarea $61$ % este mijlocul coardei, valabil la $60$ °C, nu la $50$ °C. Variantele cu «mai mică» sunt ale unei linii convexe.

Întrebări conexe

Ce este randamentul descrescător într-un tabel?

Este situația în care fiecare unitate adăugată aduce mai puțin decât precedenta, deci sporurile scad. Cu 1, 2, 3 și 4 muncitori, producția pe zi este de 10, 18, 24 și 28 de piese, deci sporurile sunt 8, 6 și 4 piese: linia este concavă, iar al patrulea muncitor aduce mai puțin decât primul.

Ce înseamnă când pantele pașilor sunt egale?

Linia este o dreaptă, iar sporul rămâne același la fiecare pas. Pentru valorile $12; 17; 22; 27$ sporul este $5$ de fiecare dată, deci nu este nici convexă, nici concavă în sens strict. Forma se schimbă abia când un spor diferă de cel dinainte.

Cum calculez panta medie dintre primul și ultimul punct?

Panta medie este sporul total împărțit la lungimea totală, adică panta coardei dintre primul și ultimul punct. Pentru punctele $(0; 12)$ și $(60; 33)$ ea este $\frac{33 - 12}{60 - 0} = 0, 35$ . Dacă pantele pașilor sunt mai mari la început, linia este concavă și trece deasupra acestei coarde.

Cum descriu o linie care își schimbă forma?

O împarți pe intervale. Pentru valorile $2; 3; 5; 8; 10; 11$ sporurile sunt $1; 2; 3; 2; 1$ : cresc până la valoarea $8$ , deci linia este convexă pe primele patru puncte, apoi scad, deci este concavă pe ultimele patru.

Cum aflu forma când valorile vin dintr-o formulă?

Calculezi câteva puncte la pași egali și compari sporurile. Pentru $P = 0, 5 I^{2}$ la $I = 2; 4; 6; 8$ A obții $2; 8; 18; 32$ W, cu sporurile $6; 10; 14$ . Ele cresc, deci linia este convexă.

Oamenii mai întreabă și: cum aflu dacă o linie e concavă din tabel · sporul scade sau crește într-un tabel · convexă sau concavă după pantele pașilor · cum citesc forma unei linii din măsurători