Convexitatea la tehnologic: îngrășământ și recoltă

Fermierul care pune azot pe porumb vede că recolta crește cu doza, dar la fiecare adaos tot mai puțin. Felul în care se îndoaie graficul îi spune unde nu mai merită să cumpere îngrășământ. Forma se citește din tabele și din grafice, cu sporul pe unitate, iar lecția o exersează în clasa a X-a a filierei tehnologice. Programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) cuprinde această temă.

Situația de pornire

O fermă de câmpie cultivă porumb pentru boabe. Înainte de semănat, fermierul a împărțit un teren în șase parcele de probă, de câte un hectar, pe același tip de sol. A pus pe fiecare altă doză de azot, în kilograme de substanță activă la hectar, iar la cules a cântărit recolta. Un adaos de 40 kg de azot îl costă 224 lei pe hectar, iar porumbul se vinde cu 1 120 lei/t (valori din exemplu).

Fermierul observă că recolta urcă mereu, dar fiecare adaos de 40 kg aduce mai puțin decât cel dinainte.

Întrebare: ce formă are linia recoltei și până la ce doză mai merită să adaugi încă 40 kg de azot?

De la situație la model

Fiecare vorbă a fermierului are mai jos perechea ei din matematică.

Cum măsori cât de repede crește linia?

Sporul unui pas este diferența dintre valorile de la capetele lui; la recoltă, pe pași de 40 kg, sporurile sunt 1,4; 1,0; 0,6; 0,3 și 0,1 t/ha. Panta pasului este sporul împărțit la lungimea pasului, adică ce se adaugă la $y$ pentru fiecare unitate de pe axa orizontală. La pași egali e destul să compari sporurile. La recoltă, pantele sunt $\frac{1,4}{40}=0,035$ t pe kg de azot, apoi 0,025; 0,015; 0,0075 și 0,0025.

Ce înseamnă «convexă» și «concavă» pe un grafic?

Coarda este segmentul care unește două puncte ale graficului. Funcția convexă este aceea la care orice coardă de pe un interval stă deasupra graficului sau pe el, iar funcția concavă este aceea la care orice coardă stă sub grafic sau pe el. Un tabel dă numai puncte, așa că forma o citești pe linia frântă care le unește: dacă pantele pașilor cresc de la stânga la dreapta, linia este convexă; dacă scad, este concavă. Între puncte presupui o curbă fără salturi. Pantele recoltei scad, deci linia este concavă: coarda dintre $(0;4,2)$ și $(80;6,6)$ are la 40 kg valoarea $\frac{4,2+6,6}{2}=5,4$, sub punctul măsurat, $5,6$. Dacă pantele sunt egale, linia este dreaptă, iar coarda se suprapune peste ea.

Ce îți spune forma când trebuie să hotărăști ceva?

La o linie concavă, fiecare unitate în plus aduce mai puțin, deci există un pas după care câștigul nu mai acoperă costul. La una convexă, fiecare unitate în plus aduce mai mult, ca pierderile de căldură dintr-un cablu. Forma nu spune dacă linia urcă sau coboară, ci doar cum se schimbă pantele.

Metoda pas cu pas

1. Scrie valorile din tabel sau de pe grafic, cu unitățile lor, și lungimea fiecărui pas de pe axa orizontală.
2. Calculează sporul fiecărui pas: valoarea din capătul din dreapta minus cea din capătul din stânga.
3. Împarte fiecare spor la lungimea pasului lui; la pași egali poți sări peste acest pas, la pași inegali el te ferește de o concluzie greșită.
4. Compară pantele de la stânga la dreapta. Dacă cresc, linia este convexă; dacă scad, concavă; dacă sunt egale, dreaptă; dacă mai întâi cresc și apoi scad, forma se schimbă și o descrii pe intervale.
5. Spune concluzia în meserie. Dacă ai un prag, ca un cost, compară sporul cu el în aceleași unități, de pildă tonele din spor, trecute în lei, cu prețul unui adaos.
6. Verifică pe alt drum: întinde o coardă între două puncte depărtate; punctele dintre ele stau sub ea la o linie convexă și deasupra ei la una concavă. Dacă metodele nu se potrivesc, refă pantele.

Despre cum se citesc valorile pe un grafic, vezi citirea graficului și proprietățile funcțiilor. La clasa a XI-a, la filiera tehnologică, forma se află cu derivata a doua, în lecția despre convexitate și puncte de inflexiune. Graficele de bază le găsești la funcția putere și radicalul de ordin 3.

Fișa de buzunar

$$\text{panta pasului}=\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}$$

$$\text{pante cresca˘toare}\Rightarrow \text{convexa˘},\text{pante descresca˘toare}\Rightarrow \text{concava˘}$$

Regulile sunt valabile pentru punctele măsurate, iar între ele presupui o curbă fără salturi. Pantele se compară de la stânga la dreapta, pe pași consecutivi și cu aceleași unități. Verificare rapidă: coarda dintre două puncte depărtate stă deasupra punctelor dintre ele la o linie convexă și sub ele la una concavă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Doza de azot pentru porumb

Domeniu: agricol.

Enunț. Reia tabelul din situația de pornire: dozele 0, 40, 80, 120, 160 și 200 kg/ha și recoltele 4,2; 5,6; 6,6; 7,2; 7,5 și 7,6 t/ha. Un adaos de 40 kg de azot costă 224 lei/ha, iar porumbul se vinde cu 1 120 lei/t. a) Ce formă are linia recoltei? b) Până la ce doză mai merită să adaugi câte 40 kg? c) Ce câștig net pe hectar aduce doza aleasă față de parcela fără azot?

Rezolvare. a) Pașii au aceeași lungime, 40 kg, iar sporurile sunt 1,4; 1,0; 0,6; 0,3 și 0,1 t/ha. Ele scad, deci linia este concavă. b) Un adaos de 40 kg aduce spor înmulțit cu 1 120 lei: 1 568; 1 120; 672; 336 și 112 lei/ha. Fiecare costă 224 lei/ha. Primele patru adaosuri acoperă costul, al cincilea, de 112 lei, nu. Merită să te oprești la 160 kg/ha. c) La 160 kg/ha recolta în plus este $7,5-4,2=3,3$ t, adică $3,3\cdot 1120=3696$ lei. Patru adaosuri costă $4\cdot 224=896$ lei, deci câștigul net este $3696-896=2800$ lei/ha.

Capcană. Cine alege doza cu recolta cea mai mare, 200 kg/ha, nu ține seama de costul ultimului adaos: el aduce 0,1 t, adică 112 lei, dar costă 224 lei. Câștigul net la 200 kg/ha este $3,4\cdot 1120-5\cdot 224=3808-1120=2688$ lei/ha, cu 112 lei mai puțin decât la 160 kg/ha.

Verificare. Pe alt drum, cu câștigul net calculat direct: la 120 kg/ha este $3\cdot 1120-3\cdot 224=2688$ lei, la 160 kg/ha este 2800 lei, la 200 kg/ha este 2688 lei. Cel mai mare e la 160 kg/ha.

Exemplul 2 — Pierderile dintr-un prelungitor

Domeniu: electric.

Enunț. Un electrician măsoară pierderea de putere, în căldură, dintr-un prelungitor cu rezistența de 0,42 Ω, la cinci curenți. Curentul de 3 A dă 3,78 W, cel de 6 A dă 15,12 W, cel de 9 A dă 34,02 W, cel de 12 A dă 60,48 W, iar cel de 15 A dă 94,50 W. a) Ce formă are linia? b) Estimează pe coardă, între 9 A și 12 A, pierderea la 10,5 A și spune dacă valoarea reală e mai mare sau mai mică.

Rezolvare. a) Sporurile pe pași de 3 A sunt 11,34; 18,90; 26,46 și 34,02 W, deci pantele sunt 3,78; 6,30; 8,82 și 11,34 W pe amper. Ele cresc, deci linia este convexă. b) La mijlocul coardei dintre $(9;34,02)$ și $(12;60,48)$ valoarea este $\frac{34,02+60,48}{2}=47,25$ W. O linie convexă trece sub coardă, deci pierderea reală la 10,5 A este mai mică decât 47,25 W.

Capcană. Cine citește 47,25 W ca valoare măsurată se înșală cu aproape 1 W. Formula $P=0,42\cdot I^2$ dă $0,42\cdot 10,5^2=46,305$ W, cu 0,945 W mai puțin.

Verificare. Formula dă pentru 12 A valoarea $0,42\cdot 144=60,48$ W, ca în tabel, iar $46,305<47,25$.

Exemplul 3 — Concentratele pentru vacile de lapte

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Într-o fermă de vaci, un zootehnist notează cât lapte dă o vacă pe zi, la cinci cantități de concentrate. Fără concentrate dă 20,0 l, la 1 kg dă 20,9 l, la 3 kg dă 22,5 l, la 7 kg dă 24,9 l, iar la 10 kg dă 26,4 l. Cât lapte aduce în plus fiecare kilogram de concentrate, pe fiecare interval, și ce formă are linia?

Rezolvare. Intervalele au lungimile 1, 2, 4 și 3 kg, iar sporurile sunt 0,9; 1,6; 2,4 și 1,5 l. Împarți fiecare spor la lungimea intervalului: $\frac{0,9}{1}=0,9$; $\frac{1,6}{2}=0,8$; $\frac{2,4}{4}=0,6$; $\frac{1,5}{3}=0,5$ l pe kilogram. Pantele scad, deci linia este concavă.

Capcană. Cine compară sporurile brute, 0,9; 1,6; 2,4, crede că ele cresc și numește linia convexă. Intervalele nu sunt egale: cei 2,4 l vin de pe 4 kg, nu de pe 1 kg.

Verificare. Coarda dintre $(0;20,0)$ și $(10;26,4)$ are panta 0,64 l/kg și dă 21,92 l la 3 kg. Punctul măsurat, 22,5 l, stă deasupra ei, cum cere o linie concavă.

Exemplul 4 — Problema inversă: proba de beton spartă

Domeniu: constructii.

Enunț. Laboratorul unei stații de betoane măsoară rezistența la compresiune la 28 de zile, în MPa, pentru cinci dozaje de ciment. La 250 kg/m³ rezistența este 21,0 MPa, la 300 kg/m³ este 26,5 MPa, la 400 kg/m³ este 36,0 MPa, iar la 450 kg/m³ este 38,0 MPa. Proba de la 350 kg/m³ s-a spart la transport, iar una nouă dă rezultatul abia peste 28 de zile. Un client cere azi beton cu 350 kg/m³ de ciment și cel puțin 30 MPa. Din seriile de până acum, tehnologul știe că linia e concavă. Între ce valori poate fi rezistența lipsă $x$ și poate accepta comanda?

Rezolvare. Pașii sunt egali, de 50 kg/m³. Sporurile sunt $26,5-21,0=5,5$; $x-26,5$; $36,0-x$ și $38,0-36,0=2,0$ MPa. Linia concavă cere ca sporurile să nu crească: $5,5\ge x-26,5\ge 36-x\ge 2$. Din prima inegalitate, $x\le 32$. Din a doua, $2x\ge 62,5$, deci $x\ge 31,25$. Din a treia, $x\le 34$, deja cuprinsă în $x\le 32$. Rezistența lipsă se află în intervalul $[31,25;32]$ MPa. Chiar capătul de jos trece de 30 MPa, deci comanda se poate accepta, cu o probă de control la turnare.

Capcană. Cine alege după ochi o valoare «mai sus», de pildă 33 MPa, obține sporurile 5,5; 6,5; 3,0; 2,0: al doilea spor este mai mare decât primul, deci linia nu mai este concavă.

Verificare. Pentru $x=31,6$ sporurile sunt 5,5; 5,1; 4,4; 2,0, care scad. La capătul de jos, $x=31,25$, două sporuri sunt egale, 4,75, iar între 300 și 400 kg/m³ linia este dreaptă. Pentru $x=31$ sporurile 4,5 și 5,0 cresc, deci valoarea nu convine.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru fiecare șir de valori măsurate din 5 în 5 minute, spune dacă valorile cresc sau scad și dacă linia frântă e convexă, concavă sau dreaptă. A: $104;106;109;113;118$. B: $143;135;129;125;123$. C: $96;104;110;114;115$. D: $138;136;132;126;118$.

2. O linie de ambalare produce, după numărul de operatori, $12$ piese pe oră cu $1$ operator, $22$ cu $2$, $38$ cu $4$ și $56$ cu $7$. Calculează producția în plus pe fiecare operator adăugat, pe fiecare interval, și spune ce formă are linia.

3. La o turbină eoliană mică, tabelul dă puterea $0,288$ kW la $4$ m/s, $0,972$ kW la $6$ m/s, $2,304$ kW la $8$ m/s și $4,500$ kW la $10$ m/s. a) Ce formă are linia? b) Estimează pe coardă puterea la $7$ m/s și spune dacă valoarea reală, $P=0,0045v^3$, e mai mare sau mai mică.

4. Figura arată consumul de motorină al unui generator diesel de 30 kVA în funcție de sarcină.

a) Calculează sporul pe fiecare pas de $8$ kW. b) Ce formă are linia? c) Cât consumă generatorul la $20$ kW, dacă între puncte linia nu se frânge?

Nivelul 2 — situații

5. Figura arată, la floarea-soarelui, încasarea din recolta în plus, $R(d)$, și costul fertilizării, $C(d)$, în lei/ha, după doza de azot $d$, în kg/ha; costul cuprinde și 300 lei/ha pentru trecerea cu mașina.

a) Ce formă are linia $R$? b) Pentru ce doze din figură se întâlnesc graficele, adică $R(d)=C(d)$? c) La care dintre dozele $26,52,78,104,130$ este cea mai mare diferență $R(d)-C(d)$?

6. La strunjire, durabilitatea cuțitului scade cu viteza de așchiere; tabelul de încercări dă perechile (viteză în m/min; durabilitate în min) $(75;142,2)$, $(90;82,3)$, $(105;51,8)$, $(120;34,7)$ și $(135;24,4)$. a) Ce formă are linia? b) Cu cât scade durabilitatea de la $75$ la $90$ m/min și cu cât de la $120$ la $135$ m/min? c) Pe ce interval costă cel mai mult fiecare metru pe minut în plus?

7. La dospirea unui aluat, tabelul dă perechile (timp în min; volum în cm³) $(0;100)$, $(12;103)$, $(24;109)$, $(36;119)$, $(48;133)$, $(60;146)$, $(72;156)$ și $(84;163)$. a) Calculează sporurile. b) Pe ce intervale cresc sporurile, pe care scad și când dospește aluatul cel mai repede?

8. Acumulatorul unei mașini de înșurubat se încarcă pe încărcătorul rapid al atelierului, care afișează perechile (timp în min; încărcare în %) $(5;18)$, $(14;44)$, $(23;62)$, $(32;74)$, $(41;82)$ și $(50;87)$. a) Ce formă are linia? b) De câte ori e mai mic sporul din ultimul pas decât cel din primul pas? c) Estimează pe coardă minutul la care se ajunge la $70$ % și spune dacă, la o curbă concavă, momentul real vine mai devreme sau mai târziu.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) a) Pentru $f(x)=2^x$, calculați pantele pașilor dintre abscisele $0,1,3,4$, care nu sunt egali, și spuneți ce formă are linia frântă. b) Pentru $g(x)={\log }_{2}x$, calculați pantele pașilor dintre abscisele $1,2,8,16$ și spuneți ce formă are linia frântă. c) Arătați că fiecare pantă de la b) este inversa unei pante de la a) și explicați de ce, folosind simetria graficelor față de dreapta $y=x$.

10. (Sinteză.) Sporurile pe pași egali ale unei linii frânte formează o progresie aritmetică cu primul termen $8$ și rația $r$. a) Pentru ce valori ale lui $r$ este linia convexă, concavă, dreaptă? b) Pentru $r=-3$, scrie primele cinci sporuri și, pornind de la valoarea $12$, primele șase valori ale lui $y$.

11. (Sinteză.) O mărime $y$ măsurată la $x=0$, $x=10$ și $x=20$ dă $0$, $6$ și $14$. a) Arătați că linia frântă prin cele trei puncte este convexă. b) O a patra măsurătoare, la $x=5$, dă $3,4$. Arătați că linia frântă prin cele patru puncte nu mai este convexă și nici concavă.

12. (Sinteză.) Un rezervor de motorină are $500$ l luni dimineața. Consumul zilnic crește de la o zi la alta: luni $40$ l, marți $60$ l, miercuri $80$ l. a) Scrie stocul de la sfârșitul fiecărei zile. b) Ce formă are linia stocului, cu zilele pe axa orizontală? c) Cu ce diferă de linia B din exercițiul 1, unde valorile scad tot mai încet?

Răspunsuri și verificări

1. A: crește, convexă (sporuri $2;3;4;5$). B: scade, convexă (sporuri $-8;-6;-4;-2$, care cresc). C: crește, concavă (sporuri $8;6;4;1$, care scad). D: scade, concavă (sporuri $-2;-4;-6;-8$, care scad). Verificare: la B, coarda dintre primul și ultimul punct dă la mijloc $133$, iar valoarea măsurată, $129$, stă sub ea.

2. Sporul pe operator este $\frac{22-12}{1}=10$, $\frac{38-22}{2}=8$ și $\frac{56-38}{3}=6$ piese pe oră. Pantele scad, deci linia este concavă, deși sporurile brute $10;16;18$ cresc. Verificare: $12+10+2\cdot 8+3\cdot 6=56$.

3. a) Sporurile pe pas de $2$ m/s sunt $0,684;1,332;2,196$ kW, care cresc: linia este convexă. b) Pe coarda dintre $6$ și $8$ m/s, la $7$ m/s: $\frac{0,972+2,304}{2}=1,638$ kW. Formula dă $0,0045\cdot 343=1,5435$ kW, mai puțin. Verificare: $0,0045\cdot 512=2,304$ kW, ca în tabel.

4. a) Sporul este $1,6$ l/h la fiecare pas. b) Pantele sunt egale, $0,2$ l/h pe kW, deci linia este dreaptă. c) $5,0+4\cdot 0,2=5,8$ l/h. Verificare: $20$ kW e la mijlocul dintre $16$ și $24$ kW, iar $\frac{5,0+6,6}{2}=5,8$.

5. a) Sporurile $469;272;163;72;30$ scad: linia $R$ este concavă. b) La $26$ kg/ha, $R=C=469$, iar la $104$ kg/ha, $R=C=976$. c) Diferențele $R-C$ sunt $0;103;97;0;-139$, deci cea mai mare, $103$ lei/ha, este la $52$ kg/ha. Verificare: $C(52)=300+6,5\cdot 52=638$ și $741-638=103$.

6. a) Sporurile pe pas de $15$ m/min sunt $-59,9;-30,5;-17,1;-10,3$ min, care cresc: linia este convexă. b) Cu $59,9$ min, respectiv cu $10,3$ min. c) Între $75$ și $90$ m/min. Verificare: coarda dintre $75$ și $135$ m/min dă la $105$ m/min $\frac{142,2+24,4}{2}=83,3$ min, peste punctul măsurat, $51,8$ min.

7. a) Sporurile sunt $3;6;10;14;13;10;7$ cm³. b) Cresc până la intervalul $36$–$48$ min, unde aluatul crește cel mai repede, cu $14$ cm³ în $12$ min, și scad după el. Verificare: $3+6+10+14+13+10+7=63=163-100$.

8. a) Sporurile $26;18;12;8;5$ puncte procentuale scad: linia este concavă. b) $\frac{26}{5}=5,2$ ori. c) Coarda dintre $(23;62)$ și $(32;74)$ urcă $12$ puncte în $9$ min, deci $8$ puncte în $6$ min: estimarea este minutul $29$. O curbă concavă stă deasupra coardei, deci $70$ % vine mai devreme. Verificare: $26+18+12+8+5=69=87-18$.

9. a) Valorile lui $f$ sunt $1;2;8;16$, pe pași de $1$, $2$ și $1$, cu sporurile $1;6;8$, deci pantele $1;3;8$ cresc: linia este convexă. b) Valorile lui $g$ sunt $0;1;3;4$, pe pași de $1$, $6$ și $8$, deci pantele $1;\frac{1}{3};\frac{1}{8}$ scad: linia este concavă. c) Simetria față de $y=x$ schimbă orizontala cu verticala fiecărui pas: pasul lui $f$ de la $(1;2)$ la $(3;8)$ devine pasul lui $g$ de la $(2;1)$ la $(8;3)$, deci panta se răstoarnă. Verificare: $1\cdot 1=3\cdot \frac{1}{3}=8\cdot \frac{1}{8}=1$.

10. a) Sporurile sunt $8,8+r,8+2r,\dots$: cresc pentru $r>0$ (convexă), scad pentru $r<0$ (concavă) și sunt egale pentru $r=0$ (dreaptă). b) Pentru $r=-3$ sporurile sunt $8;5;2;-1;-4$, iar valorile $y$ sunt $12;20;25;27;26;22$. Linia este concavă, deși după al patrulea pas valorile scad. Verificare: $12+8+5+2-1-4=22$.

11. a) Sporurile pe pași de $10$ sunt $6$ și $8$, pantele $0,6$ și $0,8$ cresc: linia este convexă. b) Cu al patrulea punct, pașii sunt $5$, $5$ și $10$, sporurile $3,4;2,6;8,0$, iar pantele $0,68;0,52;0,8$. Pantele scad, apoi cresc, deci linia nu mai este nici convexă, nici concavă. Verificare: $0,68>0,52<0,8$.

12. a) Stocul este $460$ l luni seara, $400$ l marți seara și $320$ l miercuri seara. b) Sporurile $-40;-60;-80$ scad, deci linia este concavă și descrescătoare. c) La B valorile scad tot mai încet, sporurile cresc, iar linia este convexă. Verificare: $500-40-60-80=320$.

Așa vine la Bac M3

Citirea convexității pe grafic este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Convexitatea stă lângă monotonie, bijectivitate, inversabilitate și semn, toate citite pe grafic, în blocul «Funcții și ecuații» al programei M_tehnologic, la clasa a X-a. În indexul cerințelor, construit pe cele 83 de probe oficiale, niciuna dintre cerințe nu are drept subiect, principal sau secundar, această lectură. Cuvintele «convexă» și «concavă» apar totuși în 17 cerințe din Subiectul al III-lea, câte una în 17 probe: 12 cer convexitatea unei funcții, iar 5 pe cea a unei primitive. Ele se rezolvă cu derivata a doua, din clasa a XI-a, nu citind un grafic dat.

Fiindcă nu există o cerință de citat, secțiunea nu poartă jetoane și nu inventează o cerință-model. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă forma liniei de vecinii ei din bloc: exponențiala și logaritmul, sporurile în progresie, o măsurătoare care strică forma și un stoc care scade tot mai repede. Restul blocului este în hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Alegi doza cu recolta cea mai mare, fără costul ultimului adaos → la 200 kg/ha câștigul net iese 2 688 lei/ha, cu 112 lei mai puțin decât la 160 kg/ha; cum o prinzi: compari fiecare spor, în lei, cu 224 lei.
• Compari sporurile brute când intervalele sunt inegale → 0,9; 1,6; 2,4 par crescătoare, deși pantele 0,9; 0,8; 0,6 scad; cum o prinzi: împarți fiecare spor la lungimea intervalului lui.
• Citești valoarea de pe coardă ca valoare măsurată → la 10,5 A iese 47,25 W în loc de 46,305 W; cum o prinzi: curba $0,42I^2$ e convexă, deci stă sub coardă și estimarea e prea mare.
• Alegi o valoare lipsă după ochi → cu 33 MPa linia betoanelor nu mai este concavă; cum o prinzi: scrii cele patru sporuri și verifici dacă scad.
• Crezi că forma rămâne aceeași după o măsurătoare în plus → la exercițiul 11, o a patra măsurătoare strică convexitatea; cum o prinzi: recalculezi pantele cu toate punctele.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: citirea convexității pe grafic face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă 40 kg de azot costă 350 lei, nu 224 lei? Un adaos trebuie să aducă cel puțin 350 lei, adică $350:1120=0,3125$ t. Sporul de la 120 la 160 kg/ha, de 0,3 t, aduce 336 lei, mai puțin decât 350 lei. Fermierul se oprește atunci la 120 kg/ha, nu la 160.

Ce faci dacă mai măsori o parcelă, la 20 kg/ha, și iese 5,0 t/ha? Pantele pe primii trei pași sunt $\frac{5,0-4,2}{20}=0,04$; $\frac{5,6-5,0}{20}=0,03$ și 0,025 t pe kg. Ele scad, deci linia rămâne concavă. Dacă ar fi ieșit 5,3, pantele 0,055; 0,015 și 0,025 nu ar mai scădea, iar măsurătoarea ar trebui verificată.

Cum estimezi recolta la 100 kg/ha, între două doze din tabel? Iei mijlocul coardei dintre 80 kg/ha, cu 6,6 t, și 120 kg/ha, cu 7,2 t: $\frac{6,6+7,2}{2}=6,9$ t. Dacă presupui că și între cele două doze curba rămâne concavă, ea stă deasupra coardei, deci recolta reală este cel puțin 6,9 t: estimarea pe coardă e prudentă.

Cum afli forma unei curbe dintr-un grafic fără valori scrise, doar cu o riglă? Pune rigla pe două puncte ale curbei și privește punctele dintre ele. Dacă stau deasupra riglei, ca pe graficul recoltei, curba este concavă; dacă stau sub riglă, ca la pierderile din cablu, este convexă. Încearcă mai multe perechi.

Unde au apărut cuvintele «convexă» și «concavă» în probele de Bacalaureat M3 (M_tehnologic)? Numai în Subiectul al III-lea, în 17 cerințe din 17 probe, rezolvate cu derivata a doua, din clasa a XI-a. Citirea convexității pe grafic stă în programa de examen, în blocul «Funcții și ecuații» al clasei a X-a, dar nu a apărut, după indexul celor 83 de probe 2013–2026; fiind în programă, poate fi cerută.

Poate scădea recolta de porumb la doze foarte mari de azot? Da, la doze mari excesul dăunează, iar sporul devine negativ. Linia rămâne concavă, fiindcă pantele scad mai departe, dar ajunge la un vârf și coboară. Fermierul se oprește mult înainte, când sporul în lei nu mai acoperă adaosul.