Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Când Z_n este corp

Cum aflu după câți pași ajung la o poziție?

Rezolvi ecuația $\hat{k} t = \hat{h}$ în $Z_{p}$ , cu $p$ prim, folosind inversul lui $\hat{k}$ , adică înmulțești ținta cu inversul pasului. Exemplu: $53$ de poziții, pas de $8$ , țintă poziția $21$ . Inversul lui $\hat{8}$ este $20$ , fiindcă $8 \cdot 20 = 160 = 3 \cdot 53 + 1$ . Atunci $t = 20 \cdot 21 = 420 = 7 \cdot 53 + 49$ , deci $49$ de pași. Proba: $8 \cdot 49 = 392 = 7 \cdot 53 + 21$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Corpul este un inel în care poți împărți: $1$ diferă de $0$ , iar orice element nenul are un invers. Numerele raționale, reale și complexe sunt corpuri; numerele întregi nu sunt, pentru că $2 x = 1$ nu are soluție întreagă. Pentru clasele de resturi, regula de decizie este simplă: $Z_{n}$ este corp exact când $n$ este număr prim.

Întâi verifici dacă $n$ este prim, împărțindu-l la $2$ , $3$ , $5$ , $7$ și oprindu-te când pătratul împărțitorului depășește $n$ . Numerele care par prime se pot descompune, ca $51 = 3 \cdot 17$ . Dacă $n = d \cdot e$ este compus, produsul $\hat{d} \cdot \overset{e}{^}$ este $\hat{0}$ și corpul cade, deși unele clase au totuși invers.

Pentru ecuația $\overset{a}{^} x = \hat{b}$ cauți inversul lui $\overset{a}{^}$ : înmulțești $a$ cu $1, 2, 3, \dots$ și te oprești la primul produs care dă restul $1$ la $n$ . Apoi $x = \overset{a}{^}^{- 1} \hat{b}$ , redus la $n$ . La un modul compus, ecuația are soluție unică doar dacă $a$ și $n$ nu au divizor comun mai mare ca $1$ .

Verifici înmulțind soluția cu $\overset{a}{^}$ și comparând cu $\hat{b}$ . Greșeala tipică este să împarți ca la numerele obișnuite.

De reținut

$\hat{k} t = \hat{h}$ se rezolvă cu $t = \hat{k}^{- 1} \hat{h}$ , când $p$ este prim
inversul se află prin încercare: primul produs cu restul $1$
verifică $k \cdot t$ redus la $p$ și compară cu ținta

Greșeala tipică

Se împarte ca la numerele obișnuite: $21 : 8 = 2, 625$ pași. În $Z_{53}$ „împărțirea la $\hat{8}$ ” înseamnă înmulțirea cu inversul $20$ și dă $49$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un inginer vrea să poată împărți la orice element nenul al lui $Z_{n}$ , adică să aibă un corp. Pentru care dintre valorile următoare ale lui $n$ este $Z_{n}$ corp?
- a) $39$
- b) $51$
- c) $47$
- d) $57$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $47$

Corp este $Z_{n}$ doar pentru $n$ prim. Numărul $47$ nu se împarte la $2$ , $3$ , $5$ , iar $7^{2} = 49 > 47$ , deci este prim. Celelalte numai par prime: $39 = 3 \cdot 13$ , $51 = 3 \cdot 17$ și $57 = 3 \cdot 19$ , deci în fiecare există produsul $\hat{3} \cdot \hat{d} = \hat{0}$ cu factori nenuli.
Un controler de linie, care numără piesele pe 23 de poziții, lucrează în corpul $Z_{23}$ și trebuie să împartă la clasa $\hat{5}$ , adică să o înmulțească cu inversul ei. Care este reprezentantul din ${1, 2, \dots, 22}$ al inversului clasei $\hat{5}$ ?
- a) $14$
- b) $4$
- c) $18$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $14$

Cauți $u$ cu $5 u \equiv 1$ la $23$ : $5 \cdot 14 = 70 = 3 \cdot 23 + 1$ , deci $\hat{5}^{- 1} = 14$ . Varianta $18$ este opusul lui $\hat{5}$ , adică $23 - 5$ , nu inversul. Varianta $4$ este partea întreagă a lui $23 : 5$ , iar $9$ este opusul lui $14$ , deci inversul lui $- \hat{5}$ .
O instalație de irigat are $37$ de zone dispuse în cerc, numerotate de la $0$ la $36$ . Cu fiecare ciclu, jetul avansează cu $k$ zone. După $9$ cicluri, pornind din zona $0$ , ajunge în zona $22$ . Care este pasul $k$ , între $1$ și $36$ ?
- a) $33$
- b) $23$
- c) $13$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $23$

Ecuația este $\hat{9} k = 22$ în corpul $Z_{37}$ . Inversul lui $\hat{9}$ este $33$ , fiindcă $9 \cdot 33 = 297 = 8 \cdot 37 + 1$ . Atunci $k = 33 \cdot 22 = 726 = 19 \cdot 37 + 23$ , deci $k = 23$ . Varianta $33$ este inversul însuși, $13$ vine din $22 - 9$ , iar $2$ din împărțirea obișnuită $22 : 9$ , rotunjită.

Întrebări conexe

Ce fac dacă numărul de poziții nu este prim?

Calculezi cel mai mare divizor comun al pasului și al numărului de poziții. Dacă este $1$ , pasul are invers chiar fără corp: pentru $50$ de poziții și pasul $7$ , $7 \cdot 43 = 301 = 6 \cdot 50 + 1$ , deci inversul este $43$ și ecuația se rezolvă la fel.

Când nu ajung niciodată la poziția țintă?

Când divizorul comun $d$ al pasului și al numărului de poziții nu divide poziția țintă. Pentru $50$ de poziții și pasul $15$ , $d = 5$ , deci se ating numai multiplii de $5$ ; poziția $21$ nu se atinge, fiindcă $21 = 4 \cdot 5 + 1$ .

Cum verific numărul de pași găsit?

Înmulțești numărul de pași cu pasul, reduci la numărul de poziții și compari cu ținta. La $t = 49$ , $8 \cdot 49 = 392$ , iar $392 = 7 \cdot 53 + 21$ regăsește poziția $21$ . Dacă restul diferă, inversul sau înmulțirea conțin o greșeală.

Sunt mai multe valori posibile pentru numărul de pași?

În primul ciclu de $53$ de pași, una singură. După aceea răspunsul se repetă din $53$ în $53$ : $49 + 53 = 102$ de pași duc tot în poziția $21$ , fiindcă $8 \cdot 102 = 816 = 15 \cdot 53 + 21$ . În calcule se ia valoarea cuprinsă între $0$ și $52$ .

Cum rezolv când pasul este negativ?

Îl înlocuiești cu opusul lui în $Z_{p}$ , adică cu $p$ minus valoarea lui absolută. Pasul $- 8$ într-un ciclu de $53$ înseamnă pasul $45$ , iar ecuația $45 t = \hat{h}$ se rezolvă ca de obicei, cu inversul lui $45$ .

Oamenii mai întreabă și: a câta mișcare ajunge la o poziție dată · ecuația ax egal b modulo un număr prim · pasul în cerc și poziția țintă · câți pași până la o poziție într-un cerc