Când ℤₙ este corp: la tehnologic

Pe o linie de iaurt, laborantul cântărește din $k$ în $k$ paharele care ies, pe rând, din capetele de dozare ale mașinii. Dacă ajunge la toate capetele depinde de un singur lucru: dacă în ℤₙ, cu $n$ numărul capetelor, poți împărți la pasul ales. Aici, la matematica de clasa a XII-a pentru filiera tehnologică, afli când ℤₙ e corp. Programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) cuprinde corpul ℤₚ, cu $p$ prim.

Situația de pornire

Într-o fabrică de lactate, iaurtul se dozează în pahare de 150 g pe o mașină rotativă cu mai multe capete, apoi paharele merg la ambalaj. Ele ies pe bandă în ordinea capetelor, 0, 1, 2 și așa mai departe, iar după ultimul cap urmează iar capul 0. Ca să controleze masa netă a lotului de producție, laborantul ia paharul de la capul 0 și apoi fiecare al $k$-lea pahar; $k$ e pasul de eșantionare din fișa de control, care cere ca fiecare cap să fie cântărit în timp. Linia A are 12 capete, linia B are 13.

Ieri, un pahar de la capul 9 al liniei B a avut 143 g, sub limita admisă pentru 150 g, iar capul a fost reglat. Azi laborantul lucrează cu pasul 10 și vrea să știe când ajunge la capul 9.

Întrebare: pe linia B, cu pasul 10, la a câta cântărire după primul pahar ajunge laborantul la capul 9; ar ajunge vreodată la el pe linia A, cu același pas; și de ce pe linia B orice pas de la 1 la 12 cântărește toate capetele?

De la situație la model

Capetele unei mașini cu $n$ capete sunt clasele din ${\mathbb{Z}}_n$: paharul cu numărul $m$ vine de la capul $\hat{m}$. Paharele cântărite au numerele $0,k,2k,\dots$, deci a $t$-a cântărire după primul pahar vine de la capul $\hat{k}\cdot \hat{t}$. Laborantul ajunge la capul $h$ exact când $\hat{k}\cdot \hat{t}=\hat{h}$. Ca să afli $t$, „împarți” la $\hat{k}$, adică înmulțești cu inversul.

Inversul unui element $a$ dintr-un inel este elementul $u$ pentru care $a\cdot u=u\cdot a=1$; se scrie $a^{-1}$. Un corp este un inel în care $1\ne 0$ și fiecare element nenul are invers, adică un inel în care poți împărți la orice element nenul. Dacă înmulțirea e și comutativă, corpul se numește comutativ; toate corpurile din lecție sunt comutative.

Care sunt corpurile de numere?

ℚ, ℝ și ℂ sunt corpuri: orice număr nenul $a$ din ele are inversul $\frac{1}{a}$ tot acolo. ℤ e inel, dar nu e corp: $2x=1$ nu are soluție întreagă, deci 2 n-are invers în ℤ.

Cum arată inversul în ${\mathbb{Z}}_{13}$?

În ${\mathbb{Z}}_{13}$, clasa $\widehat{10}$ are inversul $\hat{4}$, fiindcă $10\cdot 4=40=3\cdot 13+1$. Dacă înmulțești pe $\widehat{10}$ pe rând cu $\hat{1},\hat{2},\dots ,\widehat{12}$, obții toate clasele nenule, fiecare o singură dată, deci și pe $\hat{1}$: pe linia B, pasul 10 trece prin toate capetele.

Ecuația $\widehat{10}\hat{t}=\hat{9}$ are soluția $\hat{t}=\hat{4}\cdot \hat{9}=\widehat{36}=\widehat{10}$; tabelul o arată direct, fiindcă sub $t=10$ stă 9.

Ce se întâmplă când numărul capetelor nu e prim?

În ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasa $\widehat{10}$ dă un rând care se repetă după 6 pași și are numai clase pare.

Rândul nu conține nici pe $\hat{1}$, nici pe $\hat{9}$, deci $\widehat{10}$ n-are invers, iar $\widehat{10}\hat{t}=\hat{9}$ n-are soluție: pe linia A, cu pasul 10, capetele impare nu sunt cântărite niciodată. Cauza este produsul $\widehat{10}\cdot \hat{6}=\widehat{60}=\hat{0}$: după 6 cântăriri laborantul e iar la capul 0, deși nici $\widehat{10}$, nici $\hat{6}$ nu e nul. Cu un invers $\hat{u}$ al lui $\widehat{10}$ ar ieși $\hat{6}=\hat{u}\cdot \widehat{10}\cdot \hat{6}=\hat{0}$, fals. Deci ${\mathbb{Z}}_{12}$ nu e corp.

Regula de decizie

Dacă $n$ e prim, ${\mathbb{Z}}_n$ e corp: înmulțirea cu o clasă nenulă trece prin toate clasele, ca rândul lui $\widehat{10}$ în ${\mathbb{Z}}_{13}$; regula se folosește fără demonstrație. Dacă $n=d\cdot e$ e compus, cu $d,e\ge 2$, atunci $\hat{d}\cdot \hat{e}=\hat{0}$ și ${\mathbb{Z}}_n$ nu e corp, deși unele clase pot avea invers: $\hat{7}$ în ${\mathbb{Z}}_{12}$, fiindcă $7\cdot 7=49=4\cdot 12+1$. De aceea pe linia A pasul 7 merge.

Metoda pas cu pas

1. Scrie $n$ și află dacă e prim. Împarte-l pe rând la 2, 3, 5, 7, … și oprește-te când pătratul împărțitorului depășește $n$: dacă niciun împărțitor nu dă rest 0, $n$ e prim. Numărul 91 pare prim, dar $91=7\cdot 13$, iar 51 se împarte la 3.
2. Hotărăște după tabelul de mai jos: pentru $n$ prim, ${\mathbb{Z}}_n$ e corp; pentru $n=d\cdot e$ compus nu e, iar produsul $\hat{d}\cdot \hat{e}=\hat{0}$ e dovada.
3. Ca să rezolvi $\hat{a}x=\hat{b}$, caută inversul lui $\hat{a}$: înmulțește $a$ cu 1, 2, 3, … și oprește-te la primul produs care dă restul 1 la $n$. Dacă produsele pentru 1, 2, …, $n-1$ nu dau niciodată restul 1, clasa n-are invers.
4. Când inversul există, soluția e $x={\hat{a}}^{-1}\cdot \hat{b}$, redusă la $n$. Când nu există, scrie pe rând clasele $\hat{a}\cdot \hat{t}$ și vezi dacă $\hat{b}$ apare printre ele.
5. Verifică: înmulțește soluția cu $\hat{a}$, redu la $n$ și compară cu $\hat{b}$.

Calculul cu clase continuă ce știi despre inelul ℤₙ și despre grupul claselor de resturi, iar polinoamele cu coeficienți în ℤₚ (lecție de la filiera tehnologică) folosesc faptul că poți împărți. Celelalte teme ale clasei a XII-a, în ordinea lor, sunt adunate în traseul clasei, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\mathbb{Z}}_n\text{ e corp}⟺n\text{ e prim}$$

$$\hat{a}\ne \hat{0}\text{ ıˆn }{\mathbb{Z}}_p:\hat{a}x=\hat{b}⟺x={\hat{a}}^{-1}\cdot \hat{b}$$

Prima formulă hotărăște structura: ${\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3,{\mathbb{Z}}_5,{\mathbb{Z}}_7,{\mathbb{Z}}_{11},{\mathbb{Z}}_{13}$ sunt corpuri, iar ${\mathbb{Z}}_4,{\mathbb{Z}}_6,{\mathbb{Z}}_{12},{\mathbb{Z}}_{15}$ nu sunt. A doua rezolvă ecuația de gradul întâi și se aplică numai când $p$ e prim și $\hat{a}\ne \hat{0}$; la $n$ compus verifici întâi divizorii comuni ai lui $a$ și $n$. Verificare rapidă: soluția înmulțită cu $\hat{a}$ și redusă la $n$ trebuie să dea $\hat{b}$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cântărirea paharelor de iaurt

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reia liniile din situația de pornire. a) Pe linia B, cu 13 capete și pasul 10, la a câta cântărire după primul pahar ajunge laborantul la capul 9? b) Ajunge vreodată la capul 9 pe linia A, cu 12 capete și același pas? c) Ce capete cântărește pe linia A cu pasul 10? d) De ce linia B merge cu orice pas de la 1 la 12?

Rezolvare. a) Pasul 1. Numărul 13 e prim, deci ${\mathbb{Z}}_{13}$ e corp, iar ecuația $\widehat{10}\hat{t}=\hat{9}$ cere inversul lui $\widehat{10}$. Pasul 3. $10\cdot 4=40=3\cdot 13+1$, deci ${\widehat{10}}^{-1}=\hat{4}$. Pasul 4. $\hat{t}=\hat{4}\cdot \hat{9}=\widehat{36}=\widehat{10}$, fiindcă $36=2\cdot 13+10$. Laborantul ajunge la capul 9 la a 10-a cântărire, adică la paharul 100. b) Nu: $12=3\cdot 4$ nu e prim, iar clasele $\widehat{10}\cdot \hat{t}$ din ${\mathbb{Z}}_{12}$ sunt 10, 8, 6, 4, 2, 0, apoi se repetă, fără 9, deci $\widehat{10}\hat{t}=\hat{9}$ n-are soluție. c) Numai capetele pare, 0, 2, 4, 6, 8 și 10: 6 din 12. d) Fiindcă 13 e prim, ${\mathbb{Z}}_{13}$ e corp: fiecare pas de la 1 la 12 are invers, deci ecuația $\hat{k}\hat{t}=\hat{h}$ are soluție pentru orice cap $h$.

Capcană. Cine păstrează pasul 10 și pe linia A, „fiindcă merge pe linia B”, lasă fără control 6 capete din 12, printre ele și capul 9. Iar cine „împarte” 9 la 10 ca la numerele obișnuite obține $t=0,9$ cântăriri, ceea ce nu există.

Verificare. Pe linia B, paharul 100 vine de la capul 9, fiindcă $100=7\cdot 13+9$. Pe linia A, $10t$ și 12 sunt numere pare, deci și restul lui $10t$ la 12 e par, iar 9 e impar.

Exemplul 2 — Rate egale din aceeași sumă

Domeniu: economic.

Enunț. Un client cumpără un frigider de 1000 de lei în 7 rate lunare egale, fără dobândă. a) Se poate împărți suma în rate de lei întregi? b) Cât e rata exactă, în ℚ? c) Cum stabilește magazinul ratele în lei și bani, ca suma lor să fie exact 1000 de lei?

Rezolvare. a) Nu: o rată de $x$ lei întregi ar cere $7x=1000$ în ℤ, dar $1000=142\cdot 7+6$, iar 7 n-are invers în ℤ (pasul 3: niciun întreg $u$ nu dă $7u=1$). b) ℚ e corp, deci ecuația $7x=1000$ are în ℚ o singură soluție, $x=\frac{1000}{7}=142,857142\dots$ lei. c) Rata exactă nu se poate plăti în bani, deci se rotunjește la ban: 6 rate de 142,86 lei și ultima de $1000-6\cdot 142,86=1000-857,16=142,84$ lei.

Capcană. Cine rotunjește rata la 142,86 lei și o ia de 7 ori încasează $7\cdot 142,86=1000,02$ lei, cu 2 bani peste preț; cine rotunjește în jos, la 142,85 lei, încasează $999,95$ lei, cu 5 bani mai puțin. Cauza: $\frac{1000}{7}$ are o infinitate de zecimale, deci nu e o sumă în bani.

Verificare. $6\cdot 142,86+142,84=857,16+142,84=1000$ lei, iar în ℚ $7\cdot \frac{1000}{7}=1000$.

Exemplul 3 — Lanțul elevatorului de cereale

Domeniu: agricol.

Enunț. Elevatorul cu cupe al unui siloz de cereale merge cu un lanț cu role cu pasul de 19,05 mm și lungimea de 2286 mm, pe o roată de lanț cu 17, 18 sau 20 de dinți. La fiecare rotație a roții, lanțul avansează cu atâtea zale câți dinți are roata. Uzura e uniformă dacă pe fiecare dinte ajung, în timp, toate zalele. a) Câte zale are lanțul? b) Cu care roată e uzura uniformă? c) Are $\widehat{17}$ invers în ${\mathbb{Z}}_{120}$, deși ${\mathbb{Z}}_{120}$ nu e corp?

Rezolvare. a) Date de lucru: $2286:19,05=120$ de zale. b) Zalele sunt clasele din ${\mathbb{Z}}_{120}$; după $r$ rotații ale unei roți cu $T$ dinți, pe dintele 0 stă zala $\hat{T}\cdot \hat{r}$, deci toate zalele ajung pe dinte exact când $\hat{T}$ are invers. Pasul 2: $120=8\cdot 15$ e compus, deci contează divizorul comun al lui $T$ cu 120. La 18 dinți e 6, deci pe un dinte ajung doar $120:6=20$ de zale; la 20 de dinți e 20, deci doar 6 zale; la 17 dinți e 1, deci uzura e uniformă numai cu roata de 17. c) Da. Pasul 3: $17\cdot 7=119$, cu o unitate sub 120, deci $\widehat{17}\cdot \hat{7}=-\hat{1}$ și ${\widehat{17}}^{-1}=-\hat{7}=\widehat{113}$.

Capcană. Cine alege roata cu 20 de dinți „fiindcă 120 se împarte frumos la 20” obține exact contrariul: pe un dinte ajung mereu aceleași 6 zale, $120:20=6$, iar lanțul și roata se uzează în pete.

Verificare. La roata cu 20 de dinți, $\widehat{20}\cdot \hat{6}=\widehat{120}=\hat{0}$: după 6 rotații zala marcată e iar pe dintele 0. La roata cu 17 dinți, $17\cdot 113=1921=16\cdot 120+1$.

Exemplul 4 — Problema inversă: pasul de control la detergent

Domeniu: chimie.

Enunț. O mașină umple flacoane cu detergent lichid prin 17 duze, de la 0 la 16, care lucrează pe rând, ca în situație. Controlorul cântărește flaconul de la duza 0 și apoi fiecare al $k$-lea flacon. Ieri s-a schimbat garnitura duzei 11, deci vrea ca a 5-a cântărire să vină de la ea. a) Ce pas $k$, între 1 și 16, alege? b) Este pasul unic? c) Ar merge același plan pe o mașină cu 20 de duze?

Rezolvare. A 5-a cântărire vine de la duza $\hat{5}\hat{k}$, deci ecuația e $\hat{5}\hat{k}=\widehat{11}$. a) Pasul 1. Numărul 17 e prim, deci ${\mathbb{Z}}_{17}$ e corp. Pasul 3. $5\cdot 7=35=2\cdot 17+1$, deci ${\hat{5}}^{-1}=\hat{7}$. Pasul 4. $\hat{k}=\hat{7}\cdot \widehat{11}=\widehat{77}=\hat{9}$, fiindcă $77=4\cdot 17+9$. Controlorul alege pasul 9. b) Da: într-un corp ecuația are o singură soluție. c) Nu: 5 și 20 au divizorul comun 5, iar clasele $\hat{5}\hat{k}$ din ${\mathbb{Z}}_{20}$ sunt doar 5, 10, 15 și 0.

Capcană. Cine împarte ca la numerele obișnuite scrie $k=11:5=2,2$ flacoane, un pas care nu există; în ${\mathbb{Z}}_{17}$, „11 împărțit la 5” înseamnă înmulțirea cu ${\hat{5}}^{-1}$ și dă pasul 9.

Verificare. Cu pasul 9, a 5-a cântărire e flaconul 45, iar $45=2\cdot 17+11$: duza 11. Fiindcă 17 e prim, pasul 9 trece, în 17 cântăriri, prin toate cele 17 duze.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Care dintre ${\mathbb{Z}}_{19}$, ${\mathbb{Z}}_{21}$, ${\mathbb{Z}}_{51}$ și ${\mathbb{Z}}_{31}$ sunt corpuri? La cele care nu sunt corpuri, dă două clase nenule cu produsul $\hat{0}$.

2. Află în ${\mathbb{Z}}_{19}$ inversele lui $\hat{2}$, $\hat{5}$ și $\hat{7}$ și verifică prin înmulțire.

3. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{13}$ ecuația $\hat{4}x=\hat{9}$, folosind tabelul inverselor din fișă, și scrie verificarea prin înmulțire.

4. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{19}$ ecuația $\hat{6}x+\hat{5}=\hat{2}$.

Nivelul 2 — situații

5. Angrenajul unui reductor din atelier are un pinion cu 14 dinți și o roată cu 42 de dinți; la fiecare rotație a pinionului, roata avansează cu 14 dinți. a) În ce dinți ai roții intră un dinte marcat al pinionului? b) Cu care roată de schimb, cu 41 sau cu 44 de dinți, intră el în toți dinții? c) Pe roata bună, după câte rotații ale pinionului intră în dintele 9?

6. Într-o sală de muls rotativă cu 28 de boxe, de la 0 la 27, vacile trec pe rând prin fața tehnicianului. El verifică aparatul de muls din boxa 0 și apoi pe cel al fiecărei a 6-a vaci. a) Câte boxe verifică? b) Ce pas între 5 și 9 i-ar aduce toate boxele? c) Ce se schimbă la 29 de boxe?

7. O firmă cumpără un utilaj de 4250 de lei în 6 rate lunare egale, fără dobândă. a) Cât e rata exactă, în ℚ? b) Cum se stabilesc ratele în lei și bani, ca suma lor să fie exact 4250 de lei? c) Ar fi rata un număr întreg de lei dacă prețul ar fi 4260 de lei?

8. Linia C a fabricii are 19 capete. Laborantul începe cu paharul de la capul 3 și ia apoi fiecare al 8-lea pahar, deci a $t$-a cântărire vine de la capul $\hat{3}+\hat{8}\hat{t}$. a) La a câta cântărire ajunge la capul 7? b) Ar ajunge la el cu 20 de capete? Câte capete ar cântări atunci?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Arată că ${\mathbb{Z}}_{39}$ nu e corp. Pentru $\hat{5}$, $\widehat{13}$ și $\widehat{26}$ spune care au invers și găsește inversul acolo unde există.

10. (Sinteză.) Scrie multiplii lui $\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_{14}$, pentru $t=1,\dots ,13$, și în ${\mathbb{Z}}_{15}$, pentru $t=1,\dots ,14$. Ce arată fiecare șir despre inversul lui $\hat{5}$?

11. (Sinteză.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{17}$ ecuația $\hat{7}x+\hat{2}=\hat{4}x+\widehat{13}$ și verifică.

12. (Sinteză.) Pentru ce valori ale lui $n$, de la 2 la 12, are $\hat{6}$ invers în ${\mathbb{Z}}_n$? Pentru care dintre acestea e ${\mathbb{Z}}_n$ corp? Răspunsul are două liste, cea a valorilor lui $n$ și cea a corpurilor.

Răspunsuri și verificări

1. ${\mathbb{Z}}_{19}$ e corp, fiindcă 19 e prim. ${\mathbb{Z}}_{21}$ nu e: $21=3\cdot 7$ și $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{0}$. ${\mathbb{Z}}_{51}$ nu e: $51=3\cdot 17$ și $\hat{3}\cdot \widehat{17}=\widehat{51}=\hat{0}$. ${\mathbb{Z}}_{31}$ e corp: 31 nu se împarte la 2, 3 sau 5, iar $7\cdot 7=49>31$. Verificare: suma cifrelor lui 51 e 6, deci 3 îl împarte.

2. $2\cdot 10=20=19+1$, deci ${\hat{2}}^{-1}=\widehat{10}$. $5\cdot 4=20=19+1$, deci ${\hat{5}}^{-1}=\hat{4}$. $7\cdot 11=77=4\cdot 19+1$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\widehat{11}$. Verificare: 20, 20 și 77 dau restul 1 la 19.

3. Din fișă, ${\hat{4}}^{-1}=\widehat{10}$, deci $x=\widehat{10}\cdot \hat{9}=\widehat{90}=\widehat{12}$, fiindcă $90=6\cdot 13+12$. Verificare: $4\cdot 12=48=3\cdot 13+9$.

4. Din $\hat{6}x+\hat{5}=\hat{2}$ iese $\hat{6}x=\hat{2}-\hat{5}=-\hat{3}=\widehat{16}$. Inversul: $6\cdot 16=96=5\cdot 19+1$, deci ${\hat{6}}^{-1}=\widehat{16}$. Atunci $x=\widehat{16}\cdot \widehat{16}=\widehat{256}=\hat{9}$, fiindcă $256=13\cdot 19+9$. Verificare: $6\cdot 9+5=59=3\cdot 19+2$.

5. a) Clasele $\widehat{14}\cdot \hat{t}$ din ${\mathbb{Z}}_{42}$ sunt doar 14, 28 și 0, fiindcă $\widehat{14}\cdot \hat{3}=\widehat{42}=\hat{0}$: dintele marcat intră mereu în aceiași 3 dinți. b) Roata cu 41 de dinți, fiindcă 41 e prim; la 44, divizorul comun 2 lasă doar 22 de dinți. c) $14\cdot 3=42=41+1$, deci ${\widehat{14}}^{-1}=\hat{3}$ și $\hat{t}=\hat{3}\cdot \hat{9}=\widehat{27}$: după 27 de rotații. Verificare: $14\cdot 27=378=9\cdot 41+9$.

6. a) 6 și 28 au divizorul comun 2, deci verifică doar boxele pare: 14 boxe din 28. b) Pașii 5 și 9, fără divizor comun cu 28. c) 29 e prim, deci orice pas de la 1 la 28 aduce toate boxele. Verificare: $5\cdot 17=85=3\cdot 28+1$, deci $\hat{5}$ are invers în ${\mathbb{Z}}_{28}$.

7. a) $\frac{4250}{6}=708,333\dots$ lei. b) 5 rate de 708,33 lei și ultima de $4250-5\cdot 708,33=708,35$ lei. c) Da: $4260=6\cdot 710$, deci rata e de 710 lei. Verificare: $5\cdot 708,33+708,35=3541,65+708,35=4250$ lei.

8. a) Din $\hat{3}+\hat{8}\hat{t}=\hat{7}$ iese $\hat{8}\hat{t}=\hat{4}$. 19 e prim, iar $8\cdot 12=96=5\cdot 19+1$, deci ${\hat{8}}^{-1}=\widehat{12}$ și $\hat{t}=\widehat{12}\cdot \hat{4}=\widehat{48}=\widehat{10}$: la a 10-a cântărire. b) Da, la a 3-a cântărire: $3+8\cdot 3=27=20+7$. Dar în ${\mathbb{Z}}_{20}$ pasul 8 cântărește doar 5 capete din 20: 3, 11, 19, 7 și 15. Verificare: $3+8\cdot 10=83=4\cdot 19+7$.

9. $39=3\cdot 13$ și $\hat{3}\cdot \widehat{13}=\widehat{39}=\hat{0}$, deci ${\mathbb{Z}}_{39}$ nu e corp. Pentru $\hat{5}$: $5\cdot 8=40=39+1$, deci ${\hat{5}}^{-1}=\hat{8}$. Pentru $\widehat{13}$ și $\widehat{26}$ nu există invers: $\widehat{13}\cdot \hat{3}=\hat{0}$ și $\widehat{26}\cdot \hat{3}=\widehat{78}=\hat{0}$. Verificare: 5 și 39 au ca singur divizor comun pe 1, iar 13 și 26 au cu 39 divizorul comun 13.

10. În ${\mathbb{Z}}_{14}$: 5, 10, 1, 6, 11, 2, 7, 12, 3, 8, 13, 4, 9, toate diferite, cu 1 la $t=3$; deci ${\hat{5}}^{-1}=\hat{3}$. În ${\mathbb{Z}}_{15}$: 5, 10, 0 și apoi aceleași trei clase, fără 1; deci $\hat{5}$ n-are invers. Verificare: $5\cdot 3=15=14+1$, iar 5 și 15 au divizorul comun 5. ${\mathbb{Z}}_{14}$ nu e corp, dar $\hat{5}$ are invers în el.

11. Din $\hat{7}x+\hat{2}=\hat{4}x+\widehat{13}$ iese $\hat{3}x=\widehat{11}$. Din $3\cdot 6=18=17+1$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{6}$, deci $x=\hat{6}\cdot \widehat{11}=\widehat{66}=\widehat{15}$, fiindcă $66=3\cdot 17+15$. Verificare: $7\cdot 15+2=107=6\cdot 17+5$ și $4\cdot 15+13=73=4\cdot 17+5$.

12. $\hat{6}$ are invers numai dacă 6 și $n$ au ca singur divizor comun pe 1: $n=5,7,11$. Pentru $n=5$, $\hat{6}=\hat{1}$; la $n=7$, $6\cdot 6=36=5\cdot 7+1$; la $n=11$, $6\cdot 2=12=11+1$. ${\mathbb{Z}}_n$ e corp pentru $n=2,3,5,7,11$, iar la $n=2$ și $n=3$ clasa $\hat{6}$ e $\hat{0}$, deci nu are invers. Verificare: $n=4,6,8,9,10,12$ au cu 6 un divizor comun mai mare ca 1.

Așa vine la Bac M3

Corpul e în programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), însă nu a apărut în probele 2013–2026. Programa îl trece lângă inel, în capitolul „Inele și corpuri” al clasei a XII-a, cu exemplele ℚ, ℝ, ℂ și ℤₚ, cu $p$ prim, și îl reia la polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ. În indexul celor 83 de probe nicio cerință nu are drept temă corpul sau ℤₚ, iar polinoamele din probe au avut coeficienți reali. Lecția nu are, prin urmare, trimiteri la cerințe de examen.

Exercițiile 9–12 poartă marcajul (Sinteză.): sunt construite pentru lecție și exersează criteriul $n$ prim, inversul unei clase și ecuația de gradul întâi în ℤₚ.

Greșeli care costă puncte

• Crezi că un $n$ impar dă corp → ℤ₁₅ trece drept corp; cum o prinzi: cauți $n=d\cdot e$ și arăți $\hat{d}\cdot \hat{e}=\hat{0}$.
• Împarți ca la numerele obișnuite, 9 : 10 sau 11 : 5 → soluții cu virgulă, care nu există în ℤₙ; cum o prinzi: înmulțești cu inversul și reduci la $n$.
• Scrii „ℤ₁₂ nu e corp, deci niciun pas nu merge pe linia A” → pierzi pașii buni 1, 5, 7 și 11; cum o prinzi: verifici dacă pasul și 12 au un divizor comun mai mare ca 1.
• Lași $t=36$ în ℤ₁₃ → rezultatul nu e o clasă între 0 și 12; cum o prinzi: împarți la $n$ și păstrezi restul.
• Iei drept prim un număr care doar „pare prim”, ca 51 sau 91 → ℤ₅₁ și ℤ₉₁ trecute drept corpuri; cum o prinzi: încerci împărțitorii 2, 3, 5, 7.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Noțiunea de corp, cu exemplele ei numerice și cu ℤₚ, face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce capete cântărește laborantul pe linia A dacă ia fiecare al 9-lea pahar? Numai capetele 0, 9, 6 și 3, adică 4 din 12. Pasul 9 și 12 au divizorul comun 3, iar în ${\mathbb{Z}}_{12}$ produsul $\hat{9}\cdot \hat{4}=\widehat{36}=\hat{0}$: după 4 cântăriri laborantul e iar la capul 0. Pentru toate capetele îi trebuie pasul 1, 5, 7 sau 11.

Câte cântăriri îi trebuie laborantului ca să treacă o dată prin toate capetele liniei B? Treisprezece pahare: primul și încă 12 cântăriri. Fiindcă 13 e prim, înmulțirea cu pasul trece prin toate clasele din ${\mathbb{Z}}_{13}$, fiecare o singură dată, deci în 13 cântăriri la rând nu se repetă niciun cap. Cu pasul 10, ultimul cap nou e capul 3, la a 12-a cântărire.

Ce se schimbă dacă linia A primește un al 13-lea cap de dozare? Linia devine ca linia B: 13 e prim, deci ${\mathbb{Z}}_{13}$ e corp și orice pas de la 1 la 12 cântărește, în timp, toate capetele. Cu 12 capete merg doar pașii fără divizor comun cu 12, adică 1, 5, 7 și 11. Un cap în plus schimbă decizia, fiindcă schimbă $n$.

Poate laborantul de pe linia B să înceapă cu alt cap decât capul 0? Da. Dacă începe cu paharul de la capul 5 și păstrează pasul 10, a $t$-a cântărire vine de la capul $\hat{5}+\widehat{10}\hat{t}$. Ca să ajungă la capul 9 rezolvă $\widehat{10}\hat{t}=\hat{4}$, deci $\hat{t}=\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{3}$: la a 3-a cântărire. Verificare: $5+30=35=2\cdot 13+9$.

Ce spune programa de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) despre corpuri? Programa de examen are corpurile ℚ, ℝ, ℂ și ℤₚ, cu $p$ prim, în capitolul „Inele și corpuri” al clasei a XII-a. După indexul făcut din cele 83 de probe, nicio cerință nu a pornit până acum de la un corp. Fiind în programă, tema poate fi cerută.