Ajunge să găsesc o clasă cu invers ca să spun că ℤₙ e corp?

Nu: corpul cere invers pentru toate clasele nenule. În ℤ₆, 5 · 5 = 1, dar 2, 3 și 4 nu au invers. La ℤₙ verifici direct dacă n e prim.

Cum descifrez un mesaj codificat cu y = ax + b?

Scazi întâi b, apoi înmulțești cu inversul lui a: x = a⁻¹(y - b). În ℤ₃₁, cu cheia (3, 7), codul 16 dă 21 · 9 = 3, adică B. Ordinea contează: dacă înmulțești înainte să scazi, obții altă literă.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Corpul: când poți împărți

Când este ℤₙ corp?

Exact când $n$ e număr prim. Atunci orice clasă nenulă are invers și poți împărți la ea. Dacă $n = d \cdot e$ e compus, $\hat{d} \cdot \overset{e}{^} = \hat{0}$ , iar $\hat{d}$ nu are invers: în $Z_{6}$ , $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ . De aceea alfabetul de 31 de litere merge cu orice cheie nenulă.

Corpul este un inel în care $1 \neq = 0$ și orice element nenul are invers la înmulțire. Într-un corp poți împărți la orice element nenul: ecuația $a x + b = c$ , cu $a \neq = 0$ , are mereu o singură soluție, $x = a^{- 1} (c - b)$ .

ℚ și ℝ sunt corpuri, cu inversul $\frac{1}{a}$ . ℤ e inel, dar nu corp: $4 x = 3$ nu are soluție întreagă, de aceea 3 plăcinte împărțite la 4 copii dau $\frac{3}{4}$ , un număr rațional.

$Z_{n}$ e corp exact când $n$ e prim. Dacă $n = d \cdot e$ , atunci $\hat{d} \cdot \overset{e}{^} = \hat{0}$ și $\hat{d}$ nu are invers: în $Z_{6}$ , $\hat{2}$ nu are invers. Alfabetul românesc are 31 de litere, iar 31 e prim, deci un mesaj codificat cu $y = \overset{a}{^} x + \hat{b}$ se descifrează cu orice cheie $a \neq = 0$ .

Corpul e în programa M_pedagogic, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Greșeala tipică: verifici inversul unei singure clase și declari corpul.

De reținut

corp: inel cu $1 \neq = 0$ în care orice element nenul are invers
ℚ, ℝ și $Z_{p}$ cu $p$ prim sunt corpuri; ℤ și $Z_{6}$ nu
într-un corp, $a x + b = c$ cu $a \neq = 0$ are soluția unică $a^{- 1} (c - b)$

Greșeala tipică

Se înmulțește cu inversul înainte de a scădea termenul liber: la cheia $(3, 7)$ , $21 \cdot 16 - 7 = 329$ dă litera Q în locul lui B.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele este corp?
- a) ℤ
- b) $Z_{9}$
- c) $Z_{13}$
- d) ℕ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $Z_{13}$

13 e prim, deci orice clasă nenulă din $Z_{13}$ are invers. În $Z_{9}$ , $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ ; ℤ nu are inversul lui 2, iar ℕ nu e nici inel.
Care este inversul lui $\hat{2}$ în $Z_{23}$ ?
- a) $21$
- b) $11$
- c) $\hat{2}$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $12$

$2 \cdot 12 = 24 = 23 + 1$ , deci $\hat{2}^{- 1} = 12$ . Varianta $21$ e opusul lui $\hat{2}$ , iar $11$ vine din împărțirea $23 : 2$ fără rest.
Cu alfabetul de 31 de litere numerotate de la 0 și regula $y = \hat{4} x + \hat{1}$ în $Z_{31}$ , codul 9 vine de la litera cu numărul:
- a) $8$
- b) $2$
- c) $15$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

$\hat{4} x = \hat{9} - \hat{1} = \hat{8}$ , iar $\hat{4}^{- 1} = \hat{8}$ , fiindcă $32 = 31 + 1$ ; deci $x = 64 = \hat{2}$ . Verificare: $4 \cdot 2 + 1 = 9$ . Varianta 8 uită să înmulțească cu inversul.

Întrebări conexe

De ce ℤ nu este corp?

Fiindcă în ℤ inversul există numai pentru 1 și $- 1$ . Ecuația $4 x = 3$ , adică 3 plăcinte împărțite la 4 copii, nu are soluție întreagă; în ℚ, care e corp, soluția e $\frac{3}{4}$ .

Ajunge să găsesc o clasă cu invers ca să spun că $Z_{n}$ e corp?

Nu: corpul cere invers pentru toate clasele nenule. În $Z_{6}$ , $\hat{5} \cdot \hat{5} = \hat{1}$ , dar $\hat{2}$ , $\hat{3}$ și $\hat{4}$ nu au invers. La $Z_{n}$ verifici direct dacă $n$ e prim.

Cum descifrez un mesaj codificat cu $y = \overset{a}{^} x + \hat{b}$ ?

Scazi întâi $\hat{b}$ , apoi înmulțești cu inversul lui $\overset{a}{^}$ : $x = \overset{a}{^}^{- 1} (y - \hat{b})$ . În $Z_{31}$ , cu cheia $(3, 7)$ , codul 16 dă $21 \cdot \hat{9} = \hat{3}$ , adică B. Ordinea contează: dacă înmulțești înainte să scazi, obții altă literă.

Merge orice cheie la un alfabet de 30 de litere?

Nu, fiindcă $Z_{30}$ nu e corp. Cu cheia 3, literele 0 și 10 primesc același cod, deoarece $3 \cdot 10 = 30$ . Sunt bune numai cheile prime cu 30, adică cele al căror cel mai mare divizor comun cu 30 este 1, ca 7 sau 11.

Care este cel mai mic corp?

$Z_{2} = {\hat{0}, \hat{1}}$ : niciun număr prim nu e mai mic decât 2. Singurul element nenul, $\hat{1}$ , e propriul invers. Un corp are cel puțin două elemente, fiindcă cere $1 \neq = 0$ .

Oamenii mai întreabă și: zn corp doar pentru n prim · de ce z6 nu este corp · corpurile q si r exemple · inversul in zp cum il aflu