Corpul la pedagogic: ℚ, ℝ și ℤₚ cu p prim

Alfabetul limbii române are 31 de litere, iar 31 e număr prim. Din cauza asta, un joc cu mesaje secrete în care fiecare literă se înmulțește cu o cheie poate fi descifrat cu orice cheie nenulă. Elevii de pedagogic din clasa a XI-a află aici ce este un corp, de ce ℚ, ℝ și ℤₚ cu $p$ prim sunt corpuri și de ce ℤ și ℤ₆ nu sunt. Corpul e materie a Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

La clubul de matematică distractivă al clasei a IV-a, învățătoarea a propus un joc cu mesaje secrete. Literele se numerotează în ordinea alfabetului: A = 0, Ă = 1, Â = 2, B = 3, C = 4, D = 5, E = 6, F = 7, G = 8, H = 9, I = 10, Î = 11, J = 12, K = 13, L = 14, M = 15, N = 16, O = 17, P = 18, Q = 19, R = 20, S = 21, Ș = 22, T = 23, Ț = 24, U = 25, V = 26, W = 27, X = 28, Y = 29, Z = 30. O literă cu numărul $x$ se trimite ca restul lui $3x+7$ la împărțirea cu 31. Echipa Veverițelor i-a trimis învățătoarei un cuvânt de cinci litere.

Copiii vor să schimbe cheia la fiecare joc, așa că învățătoarea are nevoie de o metodă care să meargă cu orice cheie.

Întrebare: ce cuvânt au trimis Veverițele și pentru ce chei $3$ și $7$ înlocuite cu alte numere poate fi descifrat orice mesaj?

De la situație la model

Codul unei litere e o clasă din ${\mathbb{Z}}_{31}$: $y=\hat{3}x+\hat{7}$. Ca să afli litera, rezolvi ecuația în $x$: scazi $\hat{7}$ și înmulțești cu inversul lui $\hat{3}$. Jocul merge cu orice cheie de înmulțire $\hat{a}$ dacă $\hat{a}$ are invers, iar în ${\mathbb{Z}}_{31}$ asta se întâmplă pentru orice $\hat{a}\ne \hat{0}$.

Ce este un corp?

Corpul este un inel în care $1\ne 0$ și orice element nenul are invers față de înmulțire. Într-un corp poți deci împărți la orice element nenul: împărțirea la $a$ înseamnă înmulțirea cu $a^{-1}$. Dacă înmulțirea e comutativă, corpul e comutativ; toate corpurile din lecție sunt comutative. Într-un corp, ecuația $ax+b=c$ cu $a\ne 0$ are mereu o singură soluție, $x=a^{-1}(c-b)$.

De ce ℚ și ℝ sunt corpuri, iar ℤ nu?

ℚ și ℝ sunt inele, iar inversul unui număr nenul $a$ e $\frac{1}{a}$, tot din ℚ, respectiv din ℝ: inversul lui $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{2}$, iar al lui $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{\sqrt{2}}$. ℤ e inel, dar nu e corp: ecuația $2x=1$ nu are soluție întreagă, deci 2 nu are invers în ℤ. Singurele numere întregi cu invers întreg sunt $1$ și $-1$.

Când e ${\mathbb{Z}}_n$ corp?

Dacă $n=p$ e prim, orice clasă nenulă $\hat{a}$ are invers: $a$ și $p$ nu au divizori comuni mai mari ca 1, iar printre produsele $a\cdot 1,a\cdot 2,\dots ,a\cdot (p-1)$ apare unul cu restul 1. Dacă $n$ e compus, $n=d\cdot e$ cu $d$ și $e$ între 2 și $n-1$, atunci $\hat{d}\cdot \hat{e}=\hat{0}$. O clasă $\hat{d}$ cu invers $\hat{u}$ ar da $\hat{e}=\hat{u}\cdot \hat{d}\cdot \hat{e}=\hat{u}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, ceea ce nu se poate, deci $\hat{d}$ nu are invers. Așadar ${\mathbb{Z}}_n$ e corp exact când $n$ e prim. În ${\mathbb{Z}}_6$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$, iar $\hat{2}$ nu are invers.

Metoda pas cu pas

1. Verifică întâi că mulțimea, cu cele două legi, e inel; o mulțime care nu e inel, ca ℕ, nu poate fi corp.
2. Caută inversul fiecărui element nenul. La ℚ și ℝ e $\frac{1}{a}$. La ${\mathbb{Z}}_n$ înmulțești $a$ cu $1,2,3,\dots$ până la primul produs cu restul 1.
3. Ca să arăți că nu e corp, ajunge un singur element nenul fără invers. La ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus îl găsești dintr-o descompunere $n=d\cdot e$: $\hat{d}$ nu are invers.
4. Într-un corp, rezolvi $ax+b=c$ scăzând $b$ și înmulțind cu $a^{-1}$, în această ordine. Proba o faci în ecuația inițială.

Pasul 3 decide repede: la ${\mathbb{Z}}_n$ te uiți doar dacă $n$ e prim. Pasul 2 rămâne necesar ca să și calculezi inversul de care ai nevoie la pasul 4.

Inelul și exemplele lui sunt în lecția despre inelul pe exemple numerice, iar ecuațiile în ${\mathbb{Z}}_n$ cu coeficient fără invers, în lecția despre ecuații în ℤₙ și elemente inversabile. O altă privire asupra corpurilor ℤₚ, cu poziții pe un cerc, e în lecția despre corpurile ℤₚ la tehnologic. Toate lecțiile clasei sunt în traseul de la pedagogic, clasa a XI-a.

Fișa de buzunar

$$a\ne 0⟹ax+b=c⟺x=a^{-1}(c-b)$$

Un corp nu are produse nule cu factori nenuli. Proba la descifrare: codifici din nou litera găsită și compari cu codul primit.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Mesajul Veverițelor

Domeniu: joc.

Enunț. Reia mesajul din situația de pornire, cu codurile 16, 5, 7, 23, 27, trimis cu regula $y=\hat{3}x+\hat{7}$ în ${\mathbb{Z}}_{31}$. Descifrează cuvântul.

Rezolvare. Pasul 2: $3\cdot 21=63=2\cdot 31+1$, deci ${\hat{3}}^{-1}=\widehat{21}$. Pasul 4: $x=\widehat{21}\cdot (y-\hat{7})$. Pentru 16: $\widehat{21}\cdot \hat{9}=\widehat{189}=\hat{3}$, adică B. Pentru 5: $\widehat{21}\cdot \widehat{-2}=\widehat{-42}=\widehat{20}$, adică R. Pentru 7: $\widehat{21}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, adică A. Pentru 23: $\widehat{21}\cdot \widehat{16}=\widehat{336}=\widehat{26}$, adică V. Pentru 27: $\widehat{21}\cdot \widehat{20}=\widehat{420}=\widehat{17}$, adică O. Veverițele au trimis cuvântul BRAVO.

Capcană. Cine înmulțește întâi cu inversul și scade 7 abia după aceea calculează pentru primul cod $21\cdot 16-7=329$, cu restul 19 la 31, adică Q. Ordinea contează: întâi scazi $\hat{7}$, fiindcă el s-a adunat ultimul la codificare.

Verificare. Pe alt drum, codifici din nou cuvântul găsit: B, R, A, V, O au numerele 3, 20, 0, 26, 17, iar $3x+7$ dă 16, 67, 7, 85, 58, cu resturile 16, 5, 7, 23, 27 la 31.

Exemplul 2 — Plăcintele de la grădiniță

Domeniu: gradinita.

Enunț. La gustarea de la grădiniță, educatoarea împarte în mod egal 3 plăcinte la 4 copii. Apoi taie o panglică, lungă cât diagonala unui pătrat de carton cu latura de 10 cm, în 3 bucăți egale. În ce mulțime de numere se află porția unui copil și lungimea unei bucăți de panglică?

Rezolvare. Porția unui copil verifică $4x=3$. În ℤ ecuația nu are soluție, fiindcă $4x$ e multiplu de 4, iar 3 nu e. În ℚ, pasul 4 dă $x=4^{-1}\cdot 3=\frac{3}{4}$: fiecare copil primește trei sferturi de plăcintă. Diagonala pătratului are $10\sqrt{2}$ cm, deci bucata de panglică are $\frac{10\sqrt{2}}{3}$ cm, aproximativ $4,71$ cm, un număr real care nu e rațional. În ℚ și în ℝ, împărțirea la un număr nenul e mereu posibilă, fiindcă ambele sunt corpuri.

Capcană. Cine face împărțirea cu rest de la clasa a III-a scrie $3:4=0$ rest 3 și spune că fiecare copil primește 0 plăcinte. Împărțirea cu rest răspunde la altă întrebare, câte plăcinte întregi primește fiecare; ecuația $4x=3$ cere porția exactă, care e în ℚ.

Verificare. Pe alt drum, înmulțești înapoi: $4\cdot \frac{3}{4}=3$ plăcinte, iar $3\cdot \frac{10\sqrt{2}}{3}=10\sqrt{2}$ cm, cu $10\sqrt{2}\approx 14,14$ cm.

Exemplul 3 — Corp sau nu: ${\mathbb{Z}}_7$ și ${\mathbb{Z}}_6$

Domeniu: algebra.

Enunț. a) Scrie inversul fiecărei clase nenule din ${\mathbb{Z}}_7$ și rezolvă ecuația $\hat{5}x+\hat{3}=\hat{1}$. b) Arată că ${\mathbb{Z}}_6$ nu e corp.

Rezolvare. a) Pasul 2: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{4}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{5}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{6}}^{-1}=\hat{6}$, deci ${\mathbb{Z}}_7$ e corp. Pasul 4: $\hat{5}x=\hat{1}-\hat{3}=\widehat{-2}=\hat{5}$, iar $x=\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$. b) Pasul 3: $6=2\cdot 3$, deci în ${\mathbb{Z}}_6$ avem $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$. Linia lui $\hat{2}$ din tabla înmulțirii e $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{0},\hat{2},\hat{4}$ și nu conține $\hat{1}$, deci $\hat{2}$ nu are invers, iar ${\mathbb{Z}}_6$ nu e corp.

Capcană. Cine verifică doar clasa $\hat{5}$ din ${\mathbb{Z}}_6$ găsește $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$ și conchide că ${\mathbb{Z}}_6$ e corp. Un corp cere invers pentru toate clasele nenule, iar $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{4}$ nu au.

Verificare. Pe alt drum, pui soluția în ecuație: $5\cdot 1+3=8=7+1$. Pentru ${\mathbb{Z}}_6$, o clasă $\hat{u}$ cu $\hat{2}\hat{u}=\hat{1}$ ar cere un număr par $2u$ cu restul 1 la 6, adică impar.

Exemplul 4 — Problema inversă: câte semne poate avea alfabetul clubului

Domeniu: club.

Enunț. Copiii de la club vor să scrie mesaje și cu spațiu și cu semne de punctuație. Învățătoarea adaugă la cele 31 de litere între 1 și 9 semne noi și vrea ca jocul să meargă în continuare cu orice cheie de înmulțire nenulă. Câte semne poate adăuga?

Rezolvare. Cu $k$ semne noi, alfabetul are $31+k$ simboluri, iar calculul se face în ${\mathbb{Z}}_{31+k}$. Orice cheie nenulă merge exact când ${\mathbb{Z}}_{31+k}$ e corp, adică $31+k$ e prim. Între 32 și 40, singurul număr prim e 37, deci învățătoarea adaugă exact 6 semne: spațiul, punctul, virgula, semnul întrebării, semnul exclamării și cratima.

Capcană. Cine adaugă doar spațiul ajunge la 32 de simboluri. În ${\mathbb{Z}}_{32}$, cheia 2 trimite simbolurile 0 și 16 în același cod, fiindcă $2\cdot 16=32$, și mesajul nu se mai poate descifra sigur.

Verificare. Pe alt drum, iei pe rând numerele de la 32 la 40 și cauți un divizor: 32, 34, 36, 38, 40 sunt pare, 33 și 39 se împart la 3, 35 la 5. Rămâne 37, care nu se împarte la 2, 3, 5, iar $7\cdot 7=49$ trece de 37.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie inversul numerelor raționale $\frac{2}{3}$, $-\frac{5}{4}$ și $0,2$. Are 0 invers?

2. Scrie inversele claselor $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{8}$ în ${\mathbb{Z}}_{17}$.

3. Arată că ${\mathbb{Z}}_8$ nu e corp.

4. Rezolvă în ℚ ecuația $\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$.

Nivelul 2 — situații

5. Echipa Albinuțelor folosește alfabetul din situația de pornire și cheia $y=\hat{5}x+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_{31}$. A trimis codurile 10, 1, 22, 24, 3, 9, 2. Descifrează cuvântul.

6. Un club din altă țară folosește un alfabet de 26 de litere, numerotate de la 0 la 25, și regula $y=\hat{a}x+\hat{b}$ în ${\mathbb{Z}}_{26}$. a) Arată că, pentru $a=2$, literele cu numerele 0 și 13 primesc același cod. b) Arată că pentru $a=3$ descifrarea e posibilă și află inversul lui $\hat{3}$.

7. Educatoarea are 7 litri de suc și pahare de câte $0,3$ litri. Scrie ecuația care dă numărul de pahare umplute cu tot sucul, rezolv-o în ℚ și spune câte pahare pline obține și cât suc rămâne.

8. Ana codifică un mesaj cu $y=\hat{3}x+\hat{7}$, iar Mihai codifică din nou rezultatul, cu $z=\hat{2}y+\hat{5}$, totul în ${\mathbb{Z}}_{31}$. a) Ce cheie unică dă direct $z$ din $x$? b) Cu ce invers descifrează învățătoarea?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația $\hat{7}x+\hat{4}=\hat{2}$.

10. (Sinteză.) Rezolvă ecuația $x\cdot x=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_{13}$ și în ${\mathbb{Z}}_{15}$. De ce are numărul de soluții diferit?

11. (Sinteză.) Pentru care dintre numerele $n=9,10,\dots ,15$ e ${\mathbb{Z}}_n$ corp? Pentru celelalte, scrie un produs de clase nenule egal cu $\hat{0}$.

12. (Sinteză.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ sistemul format din ecuațiile $\hat{3}x+\hat{2}y=\hat{1}$ și $\hat{2}x+\hat{5}y=\hat{4}$.

Răspunsuri și verificări

1. Inversele sunt $\frac{3}{2}$, $-\frac{4}{5}$ și $5$, fiindcă $0,2=\frac{1}{5}$. Numărul 0 nu are invers: $0\cdot x=0$ pentru orice $x$. Verificare: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$, $-\frac{5}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=1$ și $0,2\cdot 5=1$.

2. ${\hat{2}}^{-1}=\hat{9}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{6}$ și ${\hat{8}}^{-1}=\widehat{15}$. Verificare: $2\cdot 9=18=17+1$, $3\cdot 6=18=17+1$ și $8\cdot 15=120=7\cdot 17+1$.

3. $8=2\cdot 4$, iar $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{0}$, deci $\hat{2}$ nu are invers și ${\mathbb{Z}}_8$ nu e corp. Verificare: produsele lui 2 sunt pare, deci la 8 dau resturile 0, 2, 4, 6, niciodată 1.

4. Scazi $\frac{1}{2}$: $\frac{2}{3}x=\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$, apoi înmulțești cu $\frac{3}{2}$: $x=\frac{1}{2}$. Verificare: $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$.

5. $5\cdot 25=125=4\cdot 31+1$, deci ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{25}$, iar $x=\widehat{25}\cdot (y-\hat{2})$. Codurile dau numerele 14, 6, 4, 23, 25, 20, 0, adică L, E, C, T, U, R, A: cuvântul LECTURA. Verificare: pentru L, $5\cdot 14+2=72=2\cdot 31+10$, primul cod.

6. a) $2\cdot 0=0$ și $2\cdot 13=26$ au același rest la 26, deci cele două litere primesc același cod $\hat{b}$. b) $3\cdot 9=27=26+1$, deci ${\hat{3}}^{-1}=\hat{9}$ și orice cod se descifrează cu $x=\hat{9}(y-\hat{b})$. Verificare: $\widehat{26}=\hat{0}$, iar în ${\mathbb{Z}}_{26}$, $\hat{2}\cdot \widehat{13}=\hat{0}$ cu factori nenuli.

7. Ecuația e $0,3x=7$, adică $\frac{3}{10}x=7$, cu soluția $x=\frac{70}{3}=23+\frac{1}{3}$ în ℚ. Educatoarea umple 23 de pahare, iar sucul rămas ajunge pentru o treime de pahar, adică $0,1$ litri. Verificare: $23\cdot 0,3=6,9$ litri, iar $6,9+0,1=7$ litri.

8. a) $z=\hat{2}(\hat{3}x+\hat{7})+\hat{5}=\hat{6}x+\widehat{19}$: cheia $(\hat{6},\widehat{19})$. b) $6\cdot 26=156=5\cdot 31+1$, deci învățătoarea folosește ${\hat{6}}^{-1}=\widehat{26}$ și $x=\widehat{26}(z-\widehat{19})$. Verificare: pentru $x=3$, Ana trimite $3\cdot 3+7=16$, Mihai $2\cdot 16+5=37$, cu restul 6, iar $6\cdot 3+19=37$ dă tot restul 6.

9. Pasul 4: $\hat{7}x=\hat{2}-\hat{4}=\widehat{-2}=\hat{9}$. Inversul: $7\cdot 8=56=5\cdot 11+1$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\hat{8}$. Soluția: $x=\hat{8}\cdot \hat{9}=\widehat{72}=\hat{6}$. Verificare: $7\cdot 6+4=46=4\cdot 11+2$.

10. În ${\mathbb{Z}}_{13}$ soluțiile sunt $\hat{1}$ și $\widehat{12}$, iar în ${\mathbb{Z}}_{15}$ sunt $\hat{1}$, $\hat{4}$, $\widehat{11}$ și $\widehat{14}$. Ecuația se scrie $(x-\hat{1})(x+\hat{1})=\hat{0}$. Într-un corp un produs nul are un factor nul, deci $x=\hat{1}$ sau $x=-\hat{1}$. În ${\mathbb{Z}}_{15}$, care nu e corp, produsul poate fi nul și altfel: la $x=\hat{4}$, factorii sunt $\hat{3}$ și $\hat{5}$. Verificare: $4\cdot 4=16=15+1$ și $11\cdot 11=121=8\cdot 15+1$.

11. Corpuri sunt ${\mathbb{Z}}_{11}$ și ${\mathbb{Z}}_{13}$, fiindcă 11 și 13 sunt prime. Pentru celelalte: în ${\mathbb{Z}}_9$, $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{0}$; în ${\mathbb{Z}}_{10}$, $\hat{2}\cdot \hat{5}=\hat{0}$; în ${\mathbb{Z}}_{12}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{0}$; în ${\mathbb{Z}}_{14}$, $\hat{2}\cdot \hat{7}=\hat{0}$; în ${\mathbb{Z}}_{15}$, $\hat{3}\cdot \hat{5}=\hat{0}$. Verificare: $9=3\cdot 3$, $10=2\cdot 5$, $12=3\cdot 4$, $14=2\cdot 7$, $15=3\cdot 5$.

12. Înmulțești prima ecuație cu ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$: $x+\widehat{10}y=\hat{5}$, adică $x=\hat{5}-\hat{3}y$. În a doua: $\widehat{10}-\hat{6}y+\hat{5}y=\hat{4}$, deci $-y=\hat{4}-\hat{3}=\hat{1}$ și $y=\hat{6}$. Apoi $x=\hat{5}-\widehat{18}=\hat{5}-\hat{4}=\hat{1}$: soluția $x=\hat{1}$, $y=\hat{6}$. Verificare: $3\cdot 1+2\cdot 6=15=2\cdot 7+1$ și $2\cdot 1+5\cdot 6=32=4\cdot 7+4$.

Așa vine la Bac M4

Tema e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Corpul apare în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic) tot în blocul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, cu exemplele ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ; ℤₚ nu e numit separat, ci e un caz al lui ℤₙ.

În cele 360 de cerințe ale Subiectului al II-lea, din cele 60 de probe oficiale 2013–2026, nu se cere niciodată să arăți că o mulțime e corp sau să calculezi un invers în ${\mathbb{Z}}_n$; fiecare probă e construită pe o singură lege de compoziție. Cea mai apropiată cerință e cea despre simetricul unui element față de o lege, care a apărut în 5 probe. Ca urmare, pentru corp nu avem citări din probe și nu dăm cerințe-model.

Ultimul nivel de exerciții, (Sinteză.), lucrează inversul în ${\mathbb{Z}}_p$, deosebirea dintre corp și inel și sistemele într-un corp.

Greșeli care costă puncte

• Verifici inversul unei singure clase și declari corpul → ${\mathbb{Z}}_6$ pare corp după $\hat{5}\cdot \hat{5}=\hat{1}$; cum o prinzi: la ${\mathbb{Z}}_n$ verifici dacă $n$ e prim, iar la $n$ compus scrii $n=d\cdot e$.
• Înmulțești cu inversul înainte să scazi termenul liber → litera Q în locul lui B în mesajul Veverițelor; cum o prinzi: codifici din nou litera găsită.
• Răspunzi cu împărțirea cu rest când se cere porția exactă → „0 plăcinte”; cum o prinzi: înmulțești porția găsită cu numărul copiilor și trebuie să regăsești totalul.
• Spui că ℤ e corp fiindcă e inel → 2 nu are invers întreg; cum o prinzi: rezolvi $2x=1$ în ℤ.
• Uiți că 0 nu are invers nici în corp → cheia $a=0$ trimite toate literele în același cod; cum o prinzi: corpul cere invers doar pentru elementele nenule.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006). Noțiunea de corp, cu exemplele ℚ, ℝ și ℤₙ, face parte din programa de examen a clasei a XI-a. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar lecția de față nu este scrisă pentru ei: din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi aleasă doar la proba F, pe programa MAT_P8 (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Merge jocul cu orice cheie de înmulțire în alfabetul de 31 de litere? Cu orice cheie nenulă, da, fiindcă ${\mathbb{Z}}_{31}$ e corp și orice $\hat{a}\ne \hat{0}$ are invers. Cheia $a=0$ nu merge: toate literele ar primi codul $\hat{b}$, iar mesajul s-ar pierde. Cheia $a=31$ e la fel de proastă, fiindcă $\widehat{31}=\hat{0}$.

Cum află învățătoarea repede inversul lui 3 în ${\mathbb{Z}}_{31}$? Caută primul număr de forma $31k+1$ care se împarte la 3. Pentru $k=1$ obține 32, care nu se împarte; pentru $k=2$ obține 63, iar $63:3=21$. Deci ${\hat{3}}^{-1}=\widehat{21}$, inversul folosit la mesajul Veverițelor.

Ce s-ar întâmpla dacă alfabetul ar avea 30 de litere? Calculul s-ar face în ${\mathbb{Z}}_{30}$, care nu e corp, fiindcă $30=2\cdot 15$. Cheia 3 a Veverițelor ar trimite literele 0 și 10 în același cod, fiindcă $3\cdot 10=30$. Ar merge doar cheile care nu au cu 30 niciun divizor comun mai mare ca 1, cum sunt 7 sau 11.

De ce ℤ nu e corp, deși e inel? Fiindcă un corp cere invers pentru orice element nenul, iar în ℤ doar 1 și $-1$ au invers întreg. Ecuația $4x=3$ de la plăcinte nu are soluție în ℤ. În ℚ are soluția $\frac{3}{4}$, de aceea pentru porții exacte folosești numere raționale.

Trebuie să știu corpurile pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? Da: programa clasei a XI-a pentru examen conține corpul, cu exemplele ℚ, ℝ și ℤₙ. Probele oficiale 2013–2026 nu au avut încă o cerință despre corp, dar au cerut de 5 ori simetricul unui element, o idee foarte apropiată de invers.

Ce corp are cele mai puține elemente? ${\mathbb{Z}}_2=\{\hat{0},\hat{1}\}$, fiindcă 2 e cel mai mic număr prim. Singurul element nenul e $\hat{1}$, care e propriul invers: $\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$. Un corp are mereu cel puțin două elemente, fiindcă cere $1\ne 0$.