Propoziția $$p$$ este falsă, iar $$q$$ este adevărată. Ce valoare de adevăr are $$p \vee q$$?

depinde de ordinea propozițiilor

Care dintre următoarele disjuncții este falsă?

«$$4$$ este prim sau $$9$$ este prim»

«$$2$$ este par sau $$3$$ este par»

«$$\sqrt{16} = 4$$ sau $$\sqrt{16} = -4$$»

La un concurs primesc diplomă elevii care au media peste $$9$$ sau au participat la etapa județeană. Maria are media $$9{,}5$$ și a participat la etapa județeană. Primește diplomă?

Da, pentru că «sau» din matematică este inclusiv.

Nu, pentru că trebuia îndeplinită o singură condiție.

Nu, pentru că «sau» înseamnă «ori una, ori alta».

Ce înseamnă «sau» în logica matematică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Disjuncția «sau»

Cuvântul „sau” leagă două propoziții într-o disjuncție, notată $p \lor q$ , care iese falsă numai dacă ambele părți sunt false. Este un „sau” inclusiv: dacă amândouă propozițiile sunt adevărate, enunțul rămâne adevărat. „ $7$ este par sau $7$ este prim” este adevărată, fiindcă a doua parte ține. Pe mulțimi, „sau” înseamnă reuniune, adică tot ce se află într-una dintre ele.

Când legi două propoziții prin «sau», obții disjuncția lor, notată $p \lor q$ (se citește «p sau q»).

Disjuncția este falsă doar dacă amândouă propozițiile sunt false. În rest — inclusiv când sunt adevărate amândouă — este adevărată.

$p$	$q$	$p \lor q$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Atenție la linia întâi: «sau» din matematică este inclusiv, nu este «ori…, ori…». Dacă la un concurs primesc diplomă elevii care au nota peste $9$ sau au participat la etapa județeană, atunci cine le are pe amândouă primește diplomă cu atât mai mult.

În limbajul mulțimilor, «sau» înseamnă reuniune: elementele care sunt în prima mulțime, în a doua, sau în amândouă.

De reținut

$v (p \lor q) = max (v (p), v (q))$
singura linie falsă este cea cu ambele valori $0$
„sau” corespunde reuniunii mulțimilor

Greșeala tipică

Enunțul cu „sau” este socotit fals atunci când ambele părți se verifică, ca și cum ar fi „ori una, ori alta”. În matematică sensul este inclusiv, deci linia cu două valori adevărate dă tot adevărat.

Exerciții din această mini-lecție

Propoziția $p$ este falsă, iar $q$ este adevărată. Ce valoare de adevăr are $p \lor q$ ?
- a) adevărată
- b) falsă
- c) depinde de ordinea propozițiilor
- d) nu se poate stabili
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) adevărată

Disjuncția este falsă doar dacă amândouă propozițiile sunt false. Aici $q$ este adevărată, deci $p \lor q$ este adevărată.
Care dintre următoarele disjuncții este falsă?
- a) « $2$ este par sau $3$ este par»
- b) « $4$ este prim sau $9$ este prim»
- c) « $5 > 3$ sau $5 < 3$ »
- d) « $16 = 4$ sau $16 = - 4$ »
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) « $4$ este prim sau $9$ este prim»

O disjuncție este falsă doar când ambele părți sunt false. La b): $4 = 2 \cdot 2$ nu este prim și $9 = 3 \cdot 3$ nu este prim, deci disjuncția este falsă. La a) prima parte e adevărată, la c) prima parte e adevărată, la d) prima parte e adevărată ( $16 = 4$ ).
La un concurs primesc diplomă elevii care au media peste $9$ sau au participat la etapa județeană. Maria are media $9, 5$ și a participat la etapa județeană. Primește diplomă?
- a) Da, pentru că «sau» din matematică este inclusiv.
- b) Nu, pentru că trebuia îndeplinită o singură condiție.
- c) Nu, pentru că «sau» înseamnă «ori una, ori alta».
- d) Nu se poate ști din enunț.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că «sau» din matematică este inclusiv.

În matematică, $p \lor q$ este adevărată și atunci când $p$ și $q$ sunt amândouă adevărate — prima linie din tabel. «Ori…, ori…» (exclusiv) este altceva și se spune explicit când e cazul.

Întrebări conexe

Ce mulțime descrie condiția x mai mic ca 0 sau x mai mare ca 10?

Reuniunea $(- \infty, 0) \cup (10, \infty)$ , adică numerele care se potrivesc măcar uneia dintre condiții. Pe axă, mulțimea este formată din două bucăți despărțite. Numărul $- 4$ intră prin prima condiție, $12$ prin a doua, iar $5$ rămâne pe dinafară.

Cum se scrie «sau» exclusiv, cel din vorbirea de zi cu zi?

Se spune explicit „ori…, ori…”, iar enunțul rămâne adevărat numai atunci când o singură parte se verifică. Astfel, „ori merg la munte, ori merg la mare” lasă pe dinafară situația cu amândouă. În scriere simbolică, sensul acesta se obține din $(p \lor q) \land \neg (p \land q)$ .

Cum arată tabelul disjuncției pentru trei propoziții?

Are opt linii, fiindcă fiecare propoziție poate lua două valori, iar $2^{3} = 8$ . Rezultatul este fals pe o singură linie, aceea pe care toate trei sunt false; pe celelalte șapte iese adevărat. Regula rămâne aceeași oricâte propoziții ai lega prin „sau”.

Ce se schimbă dacă inversez ordinea propozițiilor la disjuncție?

Nimic, fiindcă operația este comutativă: $p \lor q$ și $q \lor p$ dau același rezultat pe fiecare linie. La fel se comportă și conjuncția. Ordinea contează doar în vorbire, unde poate sugera o preferință, nu în calculul valorii de adevăr.

Pot ști că o disjuncție e adevărată fără să știu care parte ține?

Da, se întâmplă des în demonstrații. Din $x^{2} = 25$ rezultă că $x = 5$ sau $x = - 5$ , chiar dacă enunțul nu spune care dintre variante se potrivește. Disjuncția afirmă doar că măcar una dintre părți este adevărată, nu și care anume.

Prin ce se deosebește disjuncția de conjuncție?

Prin cât de ușor se îndeplinesc. Disjuncția ia valoarea cea mai mare dintre cele două, deci îi ajunge o parte adevărată; conjuncția ia valoarea cea mai mică, deci le cere pe amândouă. Pe mulțimi, una înseamnă reuniune, cealaltă intersecție.

Oamenii mai întreabă și: disjuncția în logică · sau inclusiv în matematică · p sau q tabel de adevăr · când e falsă o disjuncție · operatorul sau la propoziții