Lecția pe scurt · clasa a X-a · Delta negativă și frecvența

Cum citesc frecvența dintr-o soluție complexă?

Soluția $- α \pm iω$ are partea imaginară $ω$ drept frecvență unghiulară, în rad/s. Pentru $s = - 30 \pm 40 i$ obții $ω = 40$ rad/s, deci frecvența în hertzi este $f = \frac{40}{2 π} \approx 6, 4$ Hz, iar perioada $T = \frac{2 π}{40} \approx 0, 157$ s, adică timpul unei oscilații complete. Partea reală, $- 30$ , arată ritmul în care amplitudinea scade, nu frecvența.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

O ecuație $a z^{2} + b z + c = 0$ cu coeficienți reali are discriminantul $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Dacă $Δ < 0$ , ea nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate: $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ . La $Δ = 0$ soluția este dublă, iar la $Δ > 0$ rămâi printre numerele reale.

Soluțiile complexe se citesc ca $- α \pm iω$ . Partea reală arată cât de repede se stinge o mișcare, iar partea imaginară este frecvența unghiulară a oscilației. Aceeași ecuație descrie un circuit, o suspensie sau o platformă vibratoare; diferă doar ce înseamnă coeficienții.

Procedura este scurtă: scrii $a$ , $b$ , $c$ cu semn și în unități de bază, calculezi $Δ$ atent la semne, alegi cazul și împarți ambii termeni ai numărătorului la $2 a$ . Controlul se face cu relațiile dintre soluții și coeficienți: suma este $- \frac{b}{a}$ , iar produsul $\frac{c}{a}$ .

Greșelile care revin sunt unitățile neconvertite, împărțirea la $a$ în loc de $2 a$ și frecvența unghiulară citită ca frecvență în hertzi. Pentru hertzi împarți la $2 π$ .

De reținut

$Δ < 0$ : $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$
soluția $- α \pm iω$ : $ω$ este în rad/s, iar $f = \frac{ω}{2 π}$
suma soluțiilor este $- \frac{b}{a}$ , produsul este $\frac{c}{a}$

Greșeala tipică

Se citește frecvența unghiulară ca frecvență în hertzi: pentru $ω = 40$ rad/s s-ar nota $40$ Hz. Corect, $f = \frac{ω}{2 π} \approx 6, 4$ Hz.

Exerciții din această mini-lecție

Mișcarea unei pompe montate pe un amortizor, într-o stație de epurare, are ecuația caracteristică $s^{2} + 6 s + c = 0$ . Pentru care dintre valorile lui $c$ de mai jos mișcarea este o oscilație, adică ecuația are soluții complexe nereale?
- a) $c = 8$
- b) $c = 9$
- c) $c = 10$
- d) $c = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $c = 10$

Discriminantul este $Δ = 36 - 4 c$ și trebuie să fie negativ. Pentru $c = 10$ obții $Δ = - 4$ , deci soluțiile sunt $- 3 \pm i$ . La $c = 8$ discriminantul este $4$ și la $c = 5$ este $16$ , deci soluțiile sunt reale diferite. La $c = 9$ discriminantul este $0$ , soluția este dublă și nu apare nicio oscilație.
Mișcarea unui amortizor de pe un camion se descrie prin ecuația $2 s^{2} + 12 s + 50 = 0$ . Care sunt soluțiile ei în mulțimea numerelor complexe?
- a) $- 6 \pm 8 i$
- b) $- 3 \pm 4 i$
- c) $- 3 \pm 16 i$
- d) $3 \pm 4 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 3 \pm 4 i$

$Δ = 1 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 50 = 144 - 400 = - 256$ , iar $256 = 16$ , deci $s = \frac{- 12 \pm 16 i}{4} = - 3 \pm 4 i$ . Varianta $- 6 \pm 8 i$ împarte la $a = 2$ în loc de $2 a = 4$ . Varianta $- 3 \pm 16 i$ împarte la $4$ numai partea reală. Varianta $3 \pm 4 i$ pierde semnul lui $- b$ .
Senzorul unei mașini de rectificat a măsurat soluțiile ecuației caracteristice ale suportului ei: $- 4 \pm 3 i$ . Care este ecuația cu coeficientul lui $s^{2}$ egal cu $1$ care are aceste soluții?
- a) $s^{2} + 8 s + 25 = 0$
- b) $s^{2} + 8 s - 25 = 0$
- c) $s^{2} + 8 s + 7 = 0$
- d) $s^{2} + 8 s - 12 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $s^{2} + 8 s + 25 = 0$

Ecuația este $s^{2} - S s + P = 0$ . Suma soluțiilor este $S = - 8$ , iar produsul este $P = (- 4)^{2} + 3^{2} = 25$ , deci $s^{2} + 8 s + 25 = 0$ . Varianta cu $- 25$ pune semnul minus la produs. Varianta cu $7$ înmulțește $- 4 + 3$ cu $- 4 - 3$ , adică partea reală cu cea imaginară înainte de a pune $i$ . Varianta cu $- 12$ înmulțește $- 4$ cu $3$ .

Întrebări conexe

Se schimbă ceva când coeficientul lui s² este negativ?

Soluțiile rămân aceleași dacă înmulțești ecuația cu $- 1$ . Pentru $- 3 s^{2} - 6 s - 15 = 0$ avem $Δ = 36 - 180 = - 144$ , iar formula dă $\frac{6 \pm 12 i}{- 6}$ , adică soluțiile $- 1 \pm 2 i$ . Ecuația $3 s^{2} + 6 s + 15 = 0$ , obținută prin înmulțire cu $- 1$ , are aceleași soluții.

Cum aflu perioada unei oscilații amortizate?

Rezolvi ecuația, iei partea imaginară $ω$ din soluții și calculezi $T = \frac{2 π}{ω}$ , în secunde dacă $ω$ este în rad/s. Pentru $3 s^{2} + 12 s + 120 = 0$ , $Δ = 144 - 1440 = - 1296$ , soluțiile sunt $- 2 \pm 6 i$ , iar $T = \frac{2 π}{6} \approx 1, 05$ s.

Cum verific soluțiile unei ecuații cu delta negativă?

Aduni soluțiile și le înmulțești: trebuie să obții $- \frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ . Pentru $z^{2} - 10 z + 41 = 0$ ai găsit $5 \pm 4 i$ : suma este $10$ , produsul $25 + 16 = 41$ , deci soluțiile sunt corecte.

Ce se întâmplă dacă discriminantul este zero?

Cele două soluții se contopesc într-una reală, $- \frac{b}{2 a}$ , și nu mai apare nicio oscilație. Pentru $36 z^{2} + 60 z + 25 = 0$ , $Δ = 3600 - 3600 = 0$ și $z = - \frac{60}{72} = - \frac{5}{6}$ . Este marginea dintre soluțiile reale și cele complexe.

Cum pun un condensator în microfarazi în ecuație?

Treci capacitatea în farazi: $50 μ F = 0, 00005$ F, deci $\frac{1}{C} = 20000$ . Cu $L = 0, 8$ H și $R = 100$ Ω, ecuația este $0, 8 s^{2} + 100 s + 20000 = 0$ . Dacă pui $50$ în loc de $0, 00005$ , termenul liber devine $0, 02$ și soluțiile ies reale.

Se schimbă soluțiile dacă înmulțesc toți coeficienții?

Nu, dacă îi înmulțești pe toți cu același număr nenul, fiindcă ecuația rămâne echivalentă cu cea de la început și discriminantul își păstrează semnul. Ecuația $s^{2} + 8 s + 20 = 0$ are soluțiile $- 4 \pm 2 i$ , iar $5 s^{2} + 40 s + 100 = 0$ dă $Δ = 1600 - 2000 = - 400$ și $\frac{- 40 \pm 20 i}{10} = - 4 \pm 2 i$ , aceleași.

Oamenii mai întreabă și: frecvența unghiulară din soluțiile complexe · partea imaginară a soluției unei ecuații de gradul 2 · perioada oscilației din ecuația caracteristică · ce înseamnă soluție complexă la un amortizor