Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuația de gradul II: soluția

Care soluție a ecuației de gradul II are sens?

Ecuația dă toate numerele care o verifică, dar problema le păstrează doar pe cele cu sens: lungimile și timpii nu sunt negativi. Exemplu: un teren dreptunghiular are lungimea cu $7$ m mai mare decât lățimea și aria $144$ m². Din $x^{2} + 7 x - 144 = 0$ rezultă $x = 9$ sau $x = - 16$ , deci lățimea este $9$ m, iar lungimea $16$ m; valoarea negativă se aruncă, fiindcă o lățime nu poate fi negativă.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O ecuație de gradul II se aduce la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq = 0$ , iar numărul $Δ = b^{2} - 4 a c$ spune câte soluții reale are: două, una dublă sau niciuna. Pentru $Δ \geq 0$ cele două soluții se obțin împărțind la $2 a$ suma dintre $- b$ și $Δ$ , respectiv diferența lor. Dacă lipsește termenul liber sau cel în $x$ , calea scurtă este mai sigură decât formula.

Pașii: aduci ecuația la forma generală, citind coeficienții cu semnul lor; cauți calea scurtă; calculezi $Δ$ ; scrii soluțiile; o alegi pe cea care are sens în problemă; verifici în ecuația inițială, nu în cea transformată.

Trei greșeli se repetă. Un coeficient negativ citit fără minus strică $Δ$ . La $a x^{2} + b x = 0$ nu se împarte la $x$ , fiindcă se pierde soluția $0$ . Iar numitorul $2 a$ împarte tot numărătorul, nu doar radicalul.

În meserie, soluția negativă pentru o lungime, o adâncime sau un timp se elimină, iar soluția rămasă se compară cu limitele din enunț și se scrie cu unitatea de măsură.

De reținut

$Δ = b^{2} - 4 a c$ și $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
soluția negativă a unei lungimi sau a unui timp se elimină
verificarea se face în ecuația inițială

Greșeala tipică

Se păstrează ambele soluții ale ecuației, $x = 9$ și $x = - 16$ , pentru o lățime. Soluția negativă nu are sens pentru o lungime și se elimină, apoi se verifică $9 \cdot 16 = 144$ .

Exerciții din această mini-lecție

Fără să calculezi discriminantul, spune care dintre ecuațiile de mai jos are sigur două soluții reale distincte.
- a) $2 x^{2} - 7 x + 8 = 0$
- b) $5 x^{2} + 6 x + 2 = 0$
- c) $4 x^{2} + 9 x - 7 = 0$
- d) $80 x^{2} - 40 x + 5 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4 x^{2} + 9 x - 7 = 0$

Dacă $a$ și $c$ au semne opuse, produsul $4 a c$ este negativ, deci $Δ = b^{2} - 4 a c$ este suma a două numere pozitive și ecuația are sigur două soluții distincte. La $4 x^{2} + 9 x - 7 = 0$ obținem $Δ = 81 + 112 = 193 > 0$ . La celelalte, $a$ și $c$ au același semn și calculul arată că nu au două soluții distincte: $Δ = 49 - 64 = - 15$ la prima, $Δ = 36 - 40 = - 4$ la a doua și $Δ = 1600 - 1600 = 0$ la ultima.
Panoul publicitar al unui magazin, atârnat deasupra raftului cu produse, este dreptunghiular, cu lungimea cu $4$ dm mai mare decât lățimea, iar aria de $140$ dm². Ce lățime, în dm, are panoul?
- a) $14$
- b) $10$
- c) $- 14$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Lățimea este $x$ dm, lungimea este $x + 4$ și $x (x + 4) = 140$ , adică $x^{2} + 4 x - 140 = 0$ . Atunci $Δ = 16 + 560 = 576$ și $x = \frac{- 4 \pm 24}{2}$ , adică $10$ sau $- 14$ ; lățimea nu poate fi negativă, deci este $10$ dm. Varianta $14$ este lungimea panoului, $10 + 4$ , nu lățimea, $- 14$ este soluția negativă, iar $24$ este $Δ$ , un pas intermediar.
De pe terasa unității de cazare de la munte, aflată la $31, 25$ m înălțime, un turist scapă un obiect, care cade liber. Înălțimea lui față de sol, după $t$ secunde, este $h (t) = 31, 25 - 5 t^{2}$ metri. După câte secunde atinge solul?
- a) $6, 25$
- b) $- 2, 5$
- c) $3, 125$
- d) $2, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2, 5$

Obiectul atinge solul când $h (t) = 0$ : $31, 25 - 5 t^{2} = 0$ , deci $t^{2} = \frac{31 , 25}{5} = 6, 25$ și $t = 2, 5$ s, soluția pozitivă. Verificare: $5 \cdot 2, 5^{2} = 31, 25$ . Varianta $6, 25$ este $t^{2}$ , la care a lipsit extragerea rădăcinii, $- 2, 5$ este soluția negativă, fără sens pentru un timp, iar $3, 125$ împarte la $10$ în loc de $5$ : $\frac{31 , 25}{10} = 3, 125$ .

Întrebări conexe

Cum scap de fracții într-o ecuație de gradul II?

Înmulțești toată ecuația cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Ecuația $\frac{x ^{2}}{6} - \frac{x}{6} - 7 = 0$ înmulțită cu $6$ devine $x^{2} - x - 42 = 0$ , cu $Δ = 169$ și soluțiile $7$ și $- 6$ . Înmulțirea se face la toți termenii, inclusiv la cel liber.

Ce fac dacă Δ nu este pătrat perfect?

Lași radicalul în formulă și rotunjești abia la sfârșit. Pentru $x^{2} - 14 x + 11 = 0$ , $Δ = 196 - 44 = 152$ , iar $x = \frac{14 \pm 152}{2} = 7 \pm 38$ , adică aproximativ $13, 16$ și $0, 84$ . Dacă rotunjești $152$ la $12$ prea devreme, obții $13$ și $1$ , mai departe de adevăr.

Ce soluție aleg dacă ambele sunt pozitive?

Compari fiecare soluție cu condițiile din enunț. Pentru $2 h^{2} - 21 h + 54 = 0$ avem $h = 4, 5$ sau $h = 6$ . Dacă pereții unui bazin au cel mult $5$ m, rămâne $h = 4, 5$ . Verifici în ecuația inițială: $2 \cdot 4, 5^{2} - 21 \cdot 4, 5 + 54 = 0$ și $2 \cdot 6^{2} - 21 \cdot 6 + 54 = 0$ , deci ambele sunt soluții matematice.

Cum rezolv ecuația când un pătrat e egal cu un număr?

Nu desfaci paranteza: extragi rădăcina din ambii membri și scrii cele două cazuri, cu $+$ și cu $-$ . Pentru $(3 x + 8)^{2} = 169$ avem $3 x + 8 = 13$ sau $3 x + 8 = - 13$ , deci $x = \frac{5}{3}$ sau $x = - 7$ . Proba: $(3 \cdot (- 7) + 8)^{2} = 169$ și $(5 + 8)^{2} = 169$ . Dacă notezi doar cazul cu plus, pierzi o soluție.

Cum apare ecuația de gradul II în probele oficiale?

Ecuația de gradul II a apărut în 36 de probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I, în Subiectul al II-lea și în Subiectul al III-lea. Enunțul nu o dă mereu în forma $a x^{2} + b x + c = 0$ : trebuie adusă la această formă dintr-o egalitate de funcții, dintr-un punct de pe grafic sau dintr-un pătrat egal cu un număr.

Oamenii mai întreabă și: ce fac cu soluția negativă a ecuației · ecuația de gradul 2 cu delta și rădăcini reale · alegerea soluției într-o problemă cu ecuație de gradul II · soluție în afara intervalului din enunț