Soluții complexe de gradul II pentru tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Când închizi întrerupătorul unui circuit cu bobină și condensator, curentul pornește de la zero, urcă și apoi se stinge, uneori oscilând de câteva ori, iar ecuația circuitului îți spune dinainte dacă o face. Dacă ecuația nu are soluții reale, soluțiile nu dispar, ci sunt numere complexe. La clasa a X-a tehnologică înveți să le afli și să le citești ca un electrician. Programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) cuprinde rezolvarea în numere complexe a ecuației de gradul al doilea.

Situația de pornire

Laboratorul unei școli profesionale de electronică montează un circuit RLC serie: o bobină de 0,25 H, un condensator de 100 µF și, pe rând, trei rezistoare. Elevii închid întrerupătorul și urmăresc curentul pe osciloscop. Profesorul le cere să prevadă, înainte de măsurare, dacă curentul oscilează sau se stinge direct, fiindcă de asta depinde ce scară de timp aleg pe osciloscop. Sursa este aceeași pentru toate cele trei montaje. Comportarea curentului depinde de soluțiile $s$ (în rad/s) ale ecuației caracteristice $L s^{2} + R s + \frac{1}{C} = 0$ , cu $L$ în henry, $R$ în ohmi și $C$ în farazi. Pentru $C = 100$ µF, adică $0, 0001$ F, numărul $\frac{1}{C}$ este $10000$ .

Montajul	Rezistența R (Ω)	Bobina L (H)	Condensatorul C (µF)	Sursa (V)
A	60	0,25	100	12 V
B	100	0,25	100	12 V
C	125	0,25	100	12 V

Întrebare: la care dintre cele trei montaje oscilează curentul și cu ce frecvență unghiulară?

De la situație la model

Fiecare montaj dă o ecuație de gradul al doilea, iar ca s-o rezolvi în toate cazurile ai nevoie de numerele complexe. La montajul A, de pildă, $a = L = 0, 25$ , $b = R = 60$ și $c = \frac{1}{C} = \frac{1}{0 , 0001} = 10000$ . Tabelul leagă cuvintele din circuit de cele din matematică.

În situație	În matematică
ecuația caracteristică $L s^{2} + R s + \frac{1}{C} = 0$	ecuația de gradul al doilea $a z^{2} + b z + c = 0$ , cu $a = L$ , $b = R$ și $c = \frac{1}{C}$
bobina, rezistorul și condensatorul	coeficienții reali $a$ , $b$ și $c$
curentul se stinge fără oscilații	soluții reale, adică $Δ \geq 0$
curentul oscilează	soluții complexe cu partea imaginară nenulă, adică $Δ < 0$
cât de repede se stinge și cât de repede oscilează	partea reală și partea imaginară a soluției

Cele două coloane te ajută la fiecare problemă: scrii întâi ecuația din coloana din dreapta, apoi citești rezultatul înapoi în limbajul meseriei.

Discriminantul este numărul $Δ = b^{2} - 4 a c$ , calculat din coeficienții ecuației $a z^{2} + b z + c = 0$ , cu $a \neq = 0$ și $b$ , $c$ reali. Dacă $Δ \geq 0$ , soluțiile sunt reale, $z_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , ca în lecția clasei a IX-a despre discriminant. Dacă $Δ < 0$ , ecuația nu are soluții reale, dar are în mulțimea numerelor complexe două soluții. Soluțiile complexe conjugate sunt numerele $z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ , care diferă numai prin semnul părții imaginare. La orice semn al lui $Δ$ , soluțiile verifică $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ și $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ . Numerele complexe și conjugatul lor sunt cele din forma algebrică a numerelor complexe și din conjugatul și câtul numerelor complexe.

De ce apare $i - Δ$ în loc de $Δ$ ?

Pătratul unui număr real nu e negativ, deci pentru $Δ < 0$ nu există un $Δ$ real. Numărul $i - Δ$ are pătratul $i^{2} \cdot (- Δ) = Δ$ , deci ia locul lui $Δ$ . De aceea formula rămâne aceeași, iar semnul $\pm$ dă cele două soluții, una cu $+ i$ și una cu $- i$ . Ele au aceeași parte reală, $\frac{- b}{2 a}$ , și părți imaginare opuse, $\pm \frac{- Δ}{2 a}$ , de aceea sunt conjugate.

Ce se întâmplă la $Δ = 0$ ?

La $Δ = 0$ cele două soluții se contopesc într-una singură, $z = - \frac{b}{2 a}$ , numită soluție dublă. Pentru circuit este cazul-limită: curentul nu mai oscilează, dar se află chiar la marginea dintre cele două comportări, deoarece orice micșorare a rezistorului readuce discriminantul sub zero.

Cum citești soluția în meserie?

Pentru $a > 0$ scrii soluția $z = - α \pm iω$ , cu $α = \frac{b}{2 a}$ și $ω = \frac{- Δ}{2 a}$ . La circuit, $α$ arată cât de repede se stinge curentul, iar $ω$ este frecvența unghiulară a oscilației, în rad/s; la montajul A, de pildă, $α = \frac{60}{0 , 5} = 120$ și $ω = \frac{80}{0 , 5} = 160$ . Frecvența în hertzi este $f = \frac{ω}{2 π}$ , iar perioada este $T = \frac{2 π}{ω}$ .

Metoda pas cu pas

Pune ecuația sub forma $a z^{2} + b z + c = 0$ și scrie $a$ , $b$ , $c$ cu semn și cu unitate. Verifică $a \neq = 0$ și că $b$ și $c$ sunt numere reale; dacă ecuația are zecimale, o poți înmulți cu un număr ales ca să dispară.
Calculează discriminantul $Δ = b^{2} - 4 a c$ , cu toate semnele, în același sistem de unități. Află întâi $b^{2}$ , apoi $4 a c$ , apoi diferența, ca să nu amesteci semnele. Dacă $a$ , $b$ sau $c$ vin din formule, înlocuiește mai întâi valorile numerice și abia apoi calculezi.
Alege cazul după semnul lui $Δ$ , cu tabelul de mai jos; numai la $Δ < 0$ apare numărul $i$ în soluții, iar la $Δ \geq 0$ rămâi în numere reale.
La $Δ < 0$ calculează $- Δ$ și scrie $z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ ; împarte la $2 a$ ambii termeni ai numărătorului. Scrie separat partea reală, $\frac{- b}{2 a}$ , și partea imaginară, $\frac{- Δ}{2 a}$ .
Citește rezultatul în meserie: partea reală spune cât de repede se stinge mărimea, partea imaginară dă frecvența unghiulară, cu unitate. Dacă îți trebuie perioada sau frecvența în hertzi, o scoți din frecvența unghiulară cu formulele de mai sus. Partea reală se scrie în s $^{- 1}$ , iar partea imaginară în rad/s.
Verifică prin suma și produsul soluțiilor: $z_{1} + z_{2}$ trebuie să dea $- \frac{b}{a}$ , iar $z_{1} z_{2}$ trebuie să dea $\frac{c}{a}$ . Dacă nu se potrivesc, ai greșit un semn sau ai împărțit la $a$ în loc de $2 a$ . La verificare folosește soluțiile exacte, nu pe cele rotunjite.

Dacă…	atunci…
$Δ > 0$	două soluții reale diferite; la circuit, curentul se stinge fără oscilații
$Δ = 0$	o soluție reală dublă, $- \frac{b}{2 a}$ ; la circuit, cazul-limită dintre celelalte două
$Δ < 0$	două soluții complexe conjugate, cu partea imaginară nenulă; la circuit, curentul oscilează

Fișa de buzunar

$Δ = b^{2} - 4 a c, z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a} (Δ < 0)$

$z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}, z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$

Formula cu $i$ este valabilă numai pentru $Δ < 0$ , cu $a \neq = 0$ și $b$ , $c$ numere reale; la circuitul RLC serie, $a = L$ , $b = R$ și $c = \frac{1}{C}$ . La $Δ \geq 0$ folosești $Δ$ , nu formula cu $i$ . Pentru $a > 0$ , soluția $- α \pm iω$ are $α = \frac{b}{2 a}$ și $ω = \frac{- Δ}{2 a}$ . Verificare rapidă: adună soluțiile și înmulțește-le; trebuie să obții $- \frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele trei montaje ale laboratorului

Domeniu: electric.

Enunț. Pentru circuitul din situația de pornire, cu $L = 0, 25$ H și $C = 100$ µF, rezolvă ecuația caracteristică $0, 25 s^{2} + R s + 10000 = 0$ la fiecare dintre cele trei rezistoare, de 60, 100 și 125 Ω. Spune la care montaj oscilează curentul și află frecvența unghiulară.

Rezolvare. Scrii mai întâi coeficienții, apoi discriminantul, apoi alegi formula. La montajul A, $a = 0, 25$ , $b = 60$ și $c = 10000$ , deci $Δ = 6 0^{2} - 4 \cdot 0, 25 \cdot 10000 = 3600 - 10000 = - 6400$ . Cum $Δ < 0$ , $- Δ = 6400 = 80$ și $s_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 80 i}{2 \cdot 0 , 25} = \frac{- 60 \pm 80 i}{0 , 5} = - 120 \pm 160 i$ . Partea imaginară, 160, este frecvența unghiulară, adică 160 rad/s sau $f = \frac{160}{2 π} \approx 25, 5$ Hz. Partea reală, $- 120$ , arată că oscilația se stinge. La montajul B, $Δ = 10 0^{2} - 10000 = 0$ , deci soluția dublă este $s = \frac{- 100}{0 , 5} = - 200$ , fără oscilații. La montajul C, $Δ = 12 5^{2} - 10000 = 5625$ , $5625 = 75$ și $s_{1, 2} = \frac{- 125 \pm 75}{0 , 5}$ , adică $- 100$ și $- 400$ , tot fără oscilații. Oscilează deci numai montajul A, cel cu cel mai mic rezistor, iar 100 Ω este valoarea-limită dintre cele două comportări.

Capcană. La montajul A, $Δ = - 6400 < 0$ și ai putea scrie „ecuația nu are soluții”. Asta e adevărat numai printre numerele reale. Printre numerele complexe ecuația are două soluții, iar fizic ele arată că circuitul oscilează. Cine se oprește la semnul lui $Δ$ nu află frecvența, de aceea mergi mai departe cu $- Δ$ .

Verificare. Suma soluțiilor de la A este $- 120 + (- 120) = - 240$ , iar $- \frac{b}{a} = - \frac{60}{0 , 25} = - 240$ . Produsul este $(- 120 + 160 i) (- 120 - 160 i) = 14400 + 25600 = 40000$ , iar $\frac{c}{a} = \frac{10 000}{0 , 25} = 40000$ . La B suma soluțiilor este $- 200 + (- 200) = - 400 = - \frac{100}{0 , 25}$ , iar la C este $- 100 + (- 400) = - 500 = - \frac{125}{0 , 25}$ .

Exemplul 2 — Suspensia unei roți

Domeniu: auto.

Enunț. La o mașină de teren, pe fiecare roată apasă un sfert din masa caroseriei, adică 250 kg, susținut de un arc cu rigiditatea de 14 400 N/m și de un amortizor cu coeficientul de 1 200 N·s/m. Mișcarea verticală a masei după o denivelare se descrie prin ecuația $250 s^{2} + 1200 s + 14400 = 0$ . Rezolvă ecuația și spune dacă masa oscilează și cu ce perioadă.

Rezolvare. Aici $a = 250$ , $b = 1200$ și $c = 14400$ , deci $Δ = 120 0^{2} - 4 \cdot 250 \cdot 14400 = 1440000 - 14400000 = - 12960000$ . Cum $Δ < 0$ , $- Δ = 12960000 = 3600$ și $s_{1, 2} = \frac{- 1200 \pm 3600 i}{2 \cdot 250} = \frac{- 1200 \pm 3600 i}{500} = - 2, 4 \pm 7, 2 i$ . Masa oscilează cu frecvența unghiulară de 7,2 rad/s, deci cu perioada $T = \frac{2 π}{7 , 2} \approx 0, 87$ s, iar oscilația se stinge, fiindcă partea reală, $- 2, 4$ , este negativă. Arcul „bate” amortizorul: $b^{2} = 1440000$ este mult mai mic decât $4 a c = 14400000$ , de aceea masa oscilează. Pentru un tehnician de service, asta înseamnă că, după o groapă, caroseria nu se leagănă la nesfârșit, ci își potolește mișcarea.

Capcană. Dacă iei frecvența unghiulară drept frecvență în hertzi, perioada iese $\frac{1}{7 , 2} \approx 0, 14$ s, adică de $2 π$ ori prea mică. Corect este $T = \frac{2 π}{7 , 2} \approx 0, 87$ s, fiindcă 7,2 este în rad/s.

Verificare. Suma soluțiilor este $- 2, 4 + (- 2, 4) = - 4, 8$ , iar $- \frac{b}{a} = - \frac{1200}{250} = - 4, 8$ . Produsul este $(- 2, 4 + 7, 2 i) (- 2, 4 - 7, 2 i) = 5, 76 + 51, 84 = 57, 6$ , iar $\frac{c}{a} = \frac{14 400}{250} = 57, 6$ .

Exemplul 3 — Sita vibratoare fără amortizare

Domeniu: agricol.

Enunț. O sită vibratoare pentru sortarea semințelor, cu masa de 16 kg (sită și semințe), stă pe arcuri cu rigiditatea totală de 2 500 N/m, fără amortizor. Ecuația caracteristică a mișcării este $16 s^{2} + 2500 = 0$ . Află soluțiile și frecvența oscilației.

Rezolvare. Ecuația are $a = 16$ , $b = 0$ și $c = 2500$ , deci $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 2500 = - 160000$ . Cum $160000 = 400$ , $s_{1, 2} = \frac{\pm 400 i}{2 \cdot 16} = \frac{\pm 400 i}{32} = \pm 12, 5 i$ . Fiindcă $b = 0$ , puteai rezolva și direct: $s^{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{2500}{16} = - 156, 25$ , de unde $s = \pm 12, 5 i$ . Soluțiile sunt pur imaginare: partea reală este zero, deci, în acest model fără frecări, oscilația nu se stinge. Frecvența unghiulară este 12,5 rad/s, adică $f = \frac{12 , 5}{2 π} \approx 1, 99$ Hz.

Capcană. Cine citește coeficienții în ordinea în care apar scrie $b = 2500$ , adică ecuația $16 s^{2} + 2500 s = 0$ , cu soluțiile reale $0$ și $- 156, 25$ , și trage concluzia că sita nu oscilează. Ecuația nu are termen în $s$ , deci $b = 0$ , iar 2 500 este termenul liber $c$ .

Verificare. Înlocuiești în ecuație: $16 \cdot (12, 5 i)^{2} + 2500 = 16 \cdot (- 156, 25) + 2500 = - 2500 + 2500 = 0$ . Aceeași verificare merge pentru $- 12, 5 i$ , fiindcă $(- 12, 5 i)^{2} = - 156, 25$ . Suma soluțiilor este $12, 5 i + (- 12, 5 i) = 0$ , ca $- \frac{b}{a} = 0$ .

Exemplul 4 — Problema inversă: tampoanele unui generator de șantier

Domeniu: constructii.

Enunț. Pe un șantier, un generator cu masa de 640 kg stă pe un cadru cu tampoane elastice. La recepție, tehnicianul lovește ușor cadrul, iar senzorul de vibrații înregistrează o oscilație care se stinge; din înregistrare, soluțiile ecuației $640 s^{2} + cs + k = 0$ ies $- 5 \pm 20 i$ (în s $^{- 1}$ ). Fișa tampoanelor cere o rigiditate totală între 245 000 și 300 000 N/m. Ce coeficient de amortizare $c$ și ce rigiditate $k$ au tampoanele montate și se încadrează rigiditatea în fișă?

Rezolvare. Ecuația are $a = 640$ , $b = c$ și termenul liber $k$ , iar de la soluții spre coeficienți mergi cu suma și produsul. Suma soluțiilor este $(- 5 + 20 i) + (- 5 - 20 i) = - 10$ și trebuie să fie $- \frac{c}{640}$ , deci $c = 640 \cdot 10 = 6400$ N·s/m. Produsul este $(- 5 + 20 i) (- 5 - 20 i) = 25 + 400 = 425$ și trebuie să fie $\frac{k}{640}$ , deci $k = 640 \cdot 425 = 272000$ N/m. Rigiditatea se încadrează în fișă, între 245 000 și 300 000 N/m. Ambii coeficienți ies pozitivi, cum trebuie la tampoane care doar frânează mișcarea; un coeficient negativ ar fi arătat o citire greșită.

Capcană. Dacă iei coeficienții din ecuația cu 1 în față, $s^{2} + 10 s + 425 = 0$ , și treci în raport $c = 10$ și $k = 425$ , uiți masa. Cu ele, ecuația $640 s^{2} + 10 s + 425 = 0$ ar avea partea reală a soluțiilor $- \frac{10}{1280} \approx - 0, 0078$ , adică de 640 de ori mai aproape de zero decât cei $- 5$ înregistrați, iar rigiditatea de 425 N/m ar fi de 640 de ori sub cea din fișă.

Verificare. Pe alt drum, cu coeficienții găsiți: $Δ = 640 0^{2} - 4 \cdot 640 \cdot 272000 = 40960000 - 696320000 = - 655360000$ , $655360000 = 25600$ și $s_{1, 2} = \frac{- 6400 \pm 25 600 i}{2 \cdot 640} = \frac{- 6400 \pm 25 600 i}{1280} = - 5 \pm 20 i$ , adică exact soluțiile înregistrate.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Rezolvă în mulțimea numerelor complexe: a) $z^{2} - 28 z + 340 = 0$ ; b) $2 z^{2} + 10 z + 37 = 0$ ; c) $9 z^{2} + 169 = 0$ .

2. Calculează discriminantul și spune dacă soluțiile sunt reale diferite, reale egale sau complexe nereale: a) $3 z^{2} - 13 z + 14 = 0$ ; b) $25 z^{2} - 70 z + 49 = 0$ ; c) $7 z^{2} - 4 z + 3 = 0$ . La c) scrie și soluțiile.

3. Verifică prin sumă și produs că numerele $- 7 + 11 i$ și $- 7 - 11 i$ sunt soluțiile ecuației $z^{2} + 14 z + 170 = 0$ .

4. Scrie soluțiile ecuației $2 s^{2} + 24 s + 314 = 0$ sub forma $- α \pm iω$ și spune cât sunt $α$ și $ω$ .

Nivelul 2 — situații

5. Un circuit RLC serie are bobina de 0,4 H, condensatorul de 80 µF și rezistorul de 68 Ω; ecuația lui caracteristică este $0, 4 s^{2} + 68 s + 12500 = 0$ . Rezolv-o și spune dacă curentul oscilează și cu ce frecvență unghiulară.

6. Scaunul șoferului unui tractor stă pe o suspensie cu arc și amortizor. Cu șoferul așezat, masa care oscilează este de 80 kg, arcul are rigiditatea de 7 200 N/m, iar amortizorul coeficientul de 480 N·s/m, deci mișcarea verifică ecuația $80 s^{2} + 480 s + 7200 = 0$ . Rezolvă ecuația și calculează perioada oscilației scaunului.

7. Cuptorul unei brutării este reglat cu un termostat, iar abaterea temperaturii de la valoarea setată verifică ecuația $s^{2} + 0, 6 s + 0, 25 = 0$ , cu $s$ în min $^{- 1}$ . Află soluțiile și perioada oscilațiilor temperaturii, în minute.

8. La circuitul din exercițiul 5 se înlocuiește rezistorul cu unul de 150 Ω, deci ecuația devine $0, 4 s^{2} + 150 s + 12500 = 0$ . Rezolvă ecuația și spune dacă curentul mai oscilează.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un circuit RLC serie are bobina de 0,8 H și condensatorul de 50 µF. Află rezistența $R$ pentru care frecvența unghiulară a oscilației este 130 rad/s și scrie soluțiile ecuației caracteristice.

10. (Sinteză.) Sitei din exemplul 3 i se montează un amortizor cu coeficientul de 112 N·s/m. Scrie noua ecuație caracteristică, rezolv-o și spune cum se schimbă frecvența unghiulară și dacă oscilația se mai stinge.

11. (Sinteză.) Arată, fără să rezolvi ecuațiile, că un circuit RLC serie cu bobina de 0,5 H, condensatorul de 50 µF și rezistorul de 120 Ω are aceleași soluții ale ecuației caracteristice ca montajul A, deși toate cele trei componente sunt altele.

12. (Sinteză.) Un circuit RLC serie are condensatorul de 100 µF, iar ecuația lui caracteristică are soluțiile $- 150 \pm 50 i$ . Află bobina $L$ și rezistorul $R$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $Δ = (- 28)^{2} - 4 \cdot 340 = 784 - 1360 = - 576$ , $576 = 24$ , $z_{1, 2} = \frac{28 \pm 24 i}{2} = 14 \pm 12 i$ . b) $Δ = 1 0^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 37 = 100 - 296 = - 196$ , $196 = 14$ , $z_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 14 i}{4} = - 2, 5 \pm 3, 5 i$ . c) $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 169 = - 6084$ , $6084 = 78$ , $z_{1, 2} = \frac{\pm 78 i}{18} = \pm \frac{13}{3} i$ . Verificare: la a) suma este $14 + 14 = 28$ , iar produsul $1 4^{2} + 1 2^{2} = 340$ .

2. a) $Δ = (- 13)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1 > 0$ : reale diferite, $z_{1, 2} = \frac{13 \pm 1}{6}$ , adică 2 și $\frac{7}{3}$ . b) $Δ = (- 70)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49 = 4900 - 4900 = 0$ : reale egale, $z = \frac{70}{50} = \frac{7}{5}$ . c) $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 16 - 84 = - 68 < 0$ : complexe nereale, iar cu $68 = 217$ (scoți factorul 4 de sub radical, ca în scoaterea factorilor de sub radical) rezultă $z_{1, 2} = \frac{4 \pm 2 17 i}{14} = \frac{2 \pm 17 i}{7}$ . Verificare: la c) suma este $\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$ , iar produsul $\frac{4 + 17}{49} = \frac{3}{7}$ , adică $- \frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ .

3. Suma este $(- 7 + 11 i) + (- 7 - 11 i) = - 14$ , iar produsul este $(- 7 + 11 i) (- 7 - 11 i) = 49 + 121 = 170$ . Cum $- \frac{b}{a} = - 14$ și $\frac{c}{a} = 170$ , numerele sunt soluțiile. Verificare: $Δ = 1 4^{2} - 4 \cdot 170 = 196 - 680 = - 484$ și $\frac{- 14 \pm 22 i}{2} = - 7 \pm 11 i$ .

4. $Δ = 2 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 314 = 576 - 2512 = - 1936$ , $1936 = 44$ și $s_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 44 i}{4} = - 6 \pm 11 i$ , deci $α = 6$ și $ω = 11$ . Verificare: $α = \frac{b}{2 a} = \frac{24}{4} = 6$ , iar produsul soluțiilor este $6^{2} + 1 1^{2} = 157 = \frac{314}{2}$ .

5. $Δ = 6 8^{2} - 4 \cdot 0, 4 \cdot 12500 = 4624 - 20000 = - 15376$ , $15376 = 124$ și $s_{1, 2} = \frac{- 68 \pm 124 i}{2 \cdot 0 , 4} = \frac{- 68 \pm 124 i}{0 , 8} = - 85 \pm 155 i$ . Curentul oscilează, cu frecvența unghiulară de 155 rad/s. Verificare: suma este $- 170 = - \frac{68}{0 , 4}$ , iar produsul $8 5^{2} + 15 5^{2} = 7225 + 24025 = 31250 = \frac{12 500}{0 , 4}$ .

6. $Δ = 48 0^{2} - 4 \cdot 80 \cdot 7200 = 230400 - 2304000 = - 2073600$ , $2073600 = 1440$ și $s_{1, 2} = \frac{- 480 \pm 1440 i}{160} = - 3 \pm 9 i$ . Perioada este $T = \frac{2 π}{9} \approx 0, 70$ s. Verificare: suma este $- 6 = - \frac{480}{80}$ , iar produsul $3^{2} + 9^{2} = 90 = \frac{7200}{80}$ .

7. $Δ = 0, 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0, 25 = 0, 36 - 1 = - 0, 64$ , $0, 64 = 0, 8$ și $s_{1, 2} = \frac{- 0 , 6 \pm 0 , 8 i}{2} = - 0, 3 \pm 0, 4 i$ . Perioada este $T = \frac{2 π}{0 , 4} \approx 15, 7$ min. Verificare: suma este $- 0, 6$ , iar produsul $0, 3^{2} + 0, 4^{2} = 0, 09 + 0, 16 = 0, 25$ .

8. $Δ = 15 0^{2} - 4 \cdot 0, 4 \cdot 12500 = 22500 - 20000 = 2500$ , $2500 = 50$ și $s_{1, 2} = \frac{- 150 \pm 50}{2 \cdot 0 , 4} = \frac{- 150 \pm 50}{0 , 8}$ , adică $- 125$ și $- 250$ . Soluțiile sunt reale, deci curentul nu mai oscilează. Verificare: suma este $- 375 = - \frac{150}{0 , 4}$ , iar produsul $(- 125) (- 250) = 31250 = \frac{12 500}{0 , 4}$ .

9. Cu $a = 0, 8$ , $b = R$ și $c = \frac{1}{0 , 00005} = 20000$ , frecvența unghiulară este $ω = \frac{- Δ}{2 a} = \frac{64 000 - R ^{2}}{1 , 6}$ . Din $ω = 130$ rezultă $64000 - R^{2} = 208$ , deci $64000 - R^{2} = 43264$ și $R^{2} = 20736$ , adică $R = 144$ Ω. Soluțiile sunt $s_{1, 2} = \frac{- 144 \pm 208 i}{1 , 6} = - 90 \pm 130 i$ , cu frecvența unghiulară de 130 rad/s. Verificare: $Δ = 14 4^{2} - 4 \cdot 0, 8 \cdot 20000 = 20736 - 64000 = - 43264$ și $43264 = 208$ .

10. Ecuația devine $16 s^{2} + 112 s + 2500 = 0$ , cu $Δ = 11 2^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 2500 = 12544 - 160000 = - 147456$ . Cum $147456 = 384$ , soluțiile sunt $s_{1, 2} = \frac{- 112 \pm 384 i}{32} = - 3, 5 \pm 12 i$ . Frecvența unghiulară scade puțin, de la 12,5 la 12 rad/s, iar partea reală, $- 3, 5$ , arată că acum oscilația se stinge. Verificare: suma este $- 7 = - \frac{112}{16}$ , iar produsul $3, 5^{2} + 1 2^{2} = 156, 25 = \frac{2500}{16}$ .

11. Împarți fiecare ecuație la coeficientul lui $s^{2}$ . Montajul A dă $s^{2} + \frac{60}{0 , 25} s + \frac{10 000}{0 , 25} = 0$ , adică $s^{2} + 240 s + 40000 = 0$ . Noul circuit are $\frac{1}{C} = \frac{1}{0 , 00005} = 20000$ și dă $s^{2} + \frac{120}{0 , 5} s + \frac{20 000}{0 , 5} = 0$ , adică tot $s^{2} + 240 s + 40000 = 0$ . Ecuațiile cu 1 în față coincid, deci au aceleași soluții, $- 120 \pm 160 i$ . Verificare: la noul circuit, $Δ = 12 0^{2} - 4 \cdot 0, 5 \cdot 20000 = 14400 - 40000 = - 25600$ , $25600 = 160$ și $s_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 160 i}{1} = - 120 \pm 160 i$ .

12. Împarți ecuația $L s^{2} + R s + \frac{1}{C} = 0$ la $L$ : $s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C} = 0$ . Suma soluțiilor este $- 300 = - \frac{R}{L}$ , deci $\frac{R}{L} = 300$ , iar produsul este $15 0^{2} + 5 0^{2} = 25000 = \frac{1}{L C}$ . Cu $C = 0, 0001$ F obții $L = \frac{1}{25 000 \cdot 0 , 0001} = 0, 4$ H și $R = 300 \cdot 0, 4 = 120$ Ω. Verificare: $Δ = 12 0^{2} - 4 \cdot 0, 4 \cdot 10000 = 14400 - 16000 = - 1600$ și $\frac{- 120 \pm 40 i}{0 , 8} = - 150 \pm 50 i$ .

Așa vine la Bac M3

Rezolvarea în mulțimea numerelor complexe a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali nu a apărut în probele 2013–2026, deși figurează în programa de examen. Programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) o așază în blocul „Mulțimi de numere” al clasei a X-a, ca ultim element al rândului despre mulțimea ℂ, după forma algebrică, conjugat și operații. Niciuna dintre cele 83 de probe oficiale nu are în index o cerință cu această ecuație drept subiect principal sau secundar. Cele trei cerințe din index cu numere complexe sunt toate prima cerință din Subiectul I: două cer calcule cu pătrate de numere complexe, iar a treia cere forma algebrică a unui cât. Niciuna nu cere rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea.

Fiindcă nicio probă nu are o astfel de cerință, aici nu găsești trimiteri spre probe și nici enunțuri care să le imite. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), pun cap la cap ce ai lucrat în lecție: afli o rezistență din frecvența oscilației, adaugi un amortizor la sita din exemplul 3, compari două circuite fără să le rezolvi ecuațiile și găsești bobina și rezistorul unui circuit din soluțiile lui. Dacă vrei să vezi ce urmează în clasă, deschide lista lecțiilor de clasa a X-a, filiera tehnologică, apoi continuă cu tema următoare.

Greșeli care costă puncte

Iei frecvența unghiulară din partea reală: la montajul A scrii 120 rad/s → pe osciloscop aștepți 19,1 Hz, nu 25,5 Hz; cum o prinzi: partea reală spune cât de repede se stinge curentul, iar frecvența unghiulară este partea imaginară, 160 rad/s.
Treci în raport coeficienții ecuației cu 1 în față, $c = 10$ și $k = 425$ → rigiditatea pare de 640 de ori mai mică decât cere fișa; cum o prinzi: înmulțești cu masa, $640 \cdot 10 = 6400$ N·s/m și $640 \cdot 425 = 272000$ N/m, apoi refaci soluțiile din $Δ$ .
Treci condensatorul de 100 µF în formulă ca $C = 100$ , fără să-l aduci în farazi → $\frac{1}{C} = 0, 01$ , $Δ = 3600 - 0, 01 > 0$ și montajul A pare să nu oscileze; cum o prinzi: 100 µF înseamnă $100 \cdot 1 0^{- 6}$ F, deci $\frac{1}{C} = 10000$ .
Scrii frecvența montajului A ca 160 Hz → pe osciloscop vezi 25,5 Hz; cum o prinzi: partea imaginară este în rad/s, iar $f = \frac{ω}{2 π}$ .
Citești partea reală cu semn schimbat, $+ 120$ în loc de $- 120$ → pare că oscilația crește de la sine; cum o prinzi: suma soluțiilor este $- \frac{b}{a} = - 240$ , iar un circuit pasiv nu amplifică.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea în numere complexe a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce soluții ar avea montajul A fără rezistor? Fără rezistor, $b = 0$ și $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 0, 25 \cdot 10000 = - 10000$ , deci $s_{1, 2} = \frac{\pm 100 i}{0 , 5} = \pm 200 i$ . Partea reală este zero, iar curentul oscilează la 200 rad/s fără să se stingă, ca sita din exemplul 3. Un astfel de circuit fără pierderi nu există în practică, fiindcă bobina și firele au întotdeauna o mică rezistență.

Ce soluții are montajul A dacă bobina ar fi de 0,1 H, nu de 0,25 H? Ecuația devine $0, 1 s^{2} + 60 s + 10000 = 0$ , cu $Δ = 6 0^{2} - 4 \cdot 0, 1 \cdot 10000 = 3600 - 4000 = - 400$ și $s_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 20 i}{0 , 2} = - 300 \pm 100 i$ . Partea reală crește în valoare absolută, de la 120 la 300, iar frecvența unghiulară scade, de la 160 la 100 rad/s: o bobină mai mică stinge oscilația mai repede.

Dar dacă bobina rămâne de 0,25 H și condensatorul are 250 µF, nu 100 µF? Acum $\frac{1}{C} = 4000$ , deci $Δ = 6 0^{2} - 4 \cdot 0, 25 \cdot 4000 = 3600 - 4000 = - 400$ și $s_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 20 i}{0 , 5} = - 120 \pm 40 i$ . Partea reală rămâne $- 120$ , fiindcă nu depinde de condensator, iar frecvența unghiulară scade la 40 rad/s: un condensator mai mare încetinește oscilația, dar nu o stinge mai repede, fiindcă stingerea depinde de bobină și de rezistor.

Poate avea soluția unui circuit partea reală pozitivă? La un circuit cu $L$ , $R$ și $C$ pozitive, nu. Partea reală este $- \frac{R}{2 L}$ , deci negativă; la montajul A este $- \frac{60}{0 , 5} = - 120$ . O parte reală pozitivă ar însemna o oscilație care crește de la sine, iar un circuit pasiv nu face asta.

Se schimbă soluțiile montajului A dacă sursa devine de 24 V, nu de 12 V? Nu. Ecuația caracteristică are doar coeficienții $0, 25$ , $60$ și $10000$ , adică $L$ , $R$ și $\frac{1}{C}$ ; sursa nu apare în ea, deci soluțiile rămân $- 120 \pm 160 i$ . Sursa schimbă numai mărimea curentului, care se dublează, nu cât de repede se stinge sau cu ce frecvență oscilează.

Mai poate fi cerută la Bacalaureatul M3 ecuația de gradul al doilea în ℂ, dacă nu a apărut în probele din 2013–2026? Da. Ecuația de gradul al doilea în ℂ este în programa pentru Bacalaureatul M3, în blocul „Mulțimi de numere”, dar după indexul făcut din cele 83 de probe nu a apărut până acum. Fiind în programă, poate fi cerută; faptul că lipsește din probele trecute nu o scoate din materia de examen.