Ecuația de gradul II pentru tehnologic: Delta

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Adâncimea unui șanț cu pereții înclinați, săgeata unui arc de lemn sau lățimea unei garnituri ies, toate, dintr-o ecuație de gradul al doilea. Cu discriminantul Δ afli, înainte de orice calcul lung, dacă ecuația are două soluții, una sau niciuna; apoi le scoți cu o formulă și alegi doar soluția care are sens în lucrare. Pentru elevii de la filiera tehnologică, programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) trece ecuația de gradul al doilea la clasa a IX-a.

Situația de pornire

Pe șantierul unei hale industriale, o firmă de construcții pune o conductă de apă lângă fundația halei și sapă un șanț cu pereții înclinați (taluz): șanțul e mai îngust la fund decât la suprafață, ca să nu se surpe. Devizul de lucrări trece 105 m³ de pământ de scos pe toată lungimea. Conducta, cu izolația și patul ei de nisip, cere o adâncime de cel puțin 1,2 m. Planșa cu profilul șanțului a rămas la birou, iar pe șantier șeful de echipă are doar devizul și cotele din tabel; vrea să afle, înainte de a porni excavatorul, la ce adâncime a socotit proiectantul săpătura.

Cota	Valoarea
lățimea șanțului la fund	1,0 m
înclinarea fiecărui perete	0,5 m pe orizontală la 1 m adâncime
lungimea șanțului	40 m
volumul de pământ de scos	105 m³
adâncimea minimă cerută	1,2 m

Întrebare: ce adâncime are șanțul, câte soluții dă ecuația și care dintre ele are sens, iar adâncimea găsită respectă cerința de 1,2 m?

De la situație la model

Notezi adâncimea cu $x$ , în metri. Secțiunea șanțului e un trapez: baza mică are 1 m, iar baza mare $1 + x$ , fiindcă fiecare perete se depărtează cu $0, 5 x$ . Aria e $x \cdot \frac{1 + ( 1 + x )}{2} = x + 0, 5 x^{2}$ , iar volumul e aria înmulțită cu lungimea.

În situație	În matematică
adâncimea șanțului, necunoscută	numărul $x > 0$ , în metri
aria secțiunii pentru 105 m³ pe 40 m	$105 : 40 = 2, 625$ m²
aria secțiunii scrisă cu $x$	$x + 0, 5 x^{2} = 2, 625$
ecuația fără zecimale (înmulțești cu 8)	$4 x^{2} + 8 x - 21 = 0$
adâncimea minimă de 1,2 m	condiția $x \geq 1, 2$

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație care se poate aduce la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq = 0$ . Discriminantul ei, notat $Δ$ (se citește „delta”), este numărul $b^{2} - 4 a c$ . La ecuația șanțului, $a = 4$ , $b = 8$ și $c = - 21$ .

De ce calculezi întâi Δ?

Soluțiile se scriu cu o formulă care conține $Δ$ , așa că ea are sens doar când $Δ \geq 0$ . Formula nu se demonstrează aici, se aplică, iar fiecare exemplu își verifică soluțiile în ecuația inițială. Semnul lui Δ spune câte soluții reale are ecuația și cum stă parabola de ecuație $y = a x^{2} + b x + c$ față de axa Ox:

Discriminantul	Soluții reale	Parabola față de axa Ox
$Δ > 0$	două, distincte	taie axa în două puncte
$Δ = 0$	una singură, numită dublă	atinge axa într-un punct
$Δ < 0$	niciuna	nu atinge axa

Ce faci când ecuația are doar doi termeni?

Două dintre cerințele reale de la sfârșitul lecției se reduc la o ecuație fără termen liber, iar un șanț în V, cu fundul îngust până la zero, are aria $0, 5 x^{2}$ , fără termen în $x$ . Pentru asemenea forme, și pentru un pătrat egal cu un număr, ai un drum scurt:

Forma	Drumul scurt	Ce nu faci
$a x^{2} + b x = 0$	scoți factorul comun: $x (a x + b) = 0$ , deci $x = 0$ sau $a x + b = 0$	nu împarți cu $x$ , ca să nu pierzi soluția 0
$a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$ , cu soluții doar când partea dreaptă nu e negativă	nu uiți că un pătrat dă două soluții, $\pm$
un pătrat egal cu un număr $k \geq 0$	expresia din pătrat este $k$ sau $- k$	nu scrii doar rădăcina pozitivă

Ce faci cu o soluție negativă sau prea mare?

Ecuația nu știe ce înseamnă $x$ în lucrare. Ea dă toate numerele care o verifică, iar problema alege: o adâncime, o lățime sau un timp nu sunt negative, iar uneori o soluție pozitivă iese din limitele din enunț, de pildă un arc mai mare decât semicercul. Alegerea se scrie în rezolvare, cu unitatea de măsură, nu rămâne în gând.

Metoda pas cu pas

Adu ecuația la forma generală. Desfă parantezele, mută toți termenii în stânga, ca în dreapta să rămână 0, și înmulțește cu un număr nenul (8, 10 sau −25, ca în lecție) ca să scapi de zecimale și fracții. Citește $a$ , $b$ , $c$ cu semnul lor: un termen scăzut dă un coeficient negativ.
Caută un drum scurt. Dacă $b = 0$ , dacă $c = 0$ sau dacă o parte e un pătrat, folosește tabelul „Ce faci când ecuația are doar doi termeni?”; altfel treci la pasul 3.
Calculează Δ. $Δ = b^{2} - 4 a c$ , cu paranteză la numerele negative: $b^{2}$ nu e niciodată negativ, iar $- 4 a c$ schimbă semnul când $c$ e negativ. Spune în cuvinte ce înseamnă semnul: două, una sau nicio soluție reală.
Scrie soluțiile. Pentru $Δ \geq 0$ , folosești formula din fișă, cu paranteză la tot numărătorul și la tot numitorul $2 a$ ; fiecare semn dă o soluție.
Alege soluția cu sens. Taie ce nu convine problemei (lungimi, adâncimi și timpi nu sunt negative) și compară fiecare soluție cu condițiile din enunț, de pildă o limită minimă, apoi scrie unitatea de măsură.
Verifică. Înlocuiește fiecare soluție reținută în ecuația inițială, nu în cea transformată: o greșeală de transformare se vede numai așa.

La examen enunțul vine fără poveste, iar pasul 1 se lungește: ecuația stă ascunsă într-o egalitate de funcții sau într-un punct de pe grafic. Dacă îți sunt date suma și produsul soluțiilor, nu ecuația, vezi lecția despre relațiile lui Viète. Pentru semnul expresiei $a x^{2} + b x + c$ ai lecția semnul funcției de gradul al doilea, iar celelalte lecții ale clasei sunt la hubul clasei a IX-a tehnologic.

Fișa de buzunar

$a x^{2} + b x + c = 0, Δ = b^{2} - 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

Se aplică doar când $a \neq = 0$ . Δ pozitiv: două soluții; Δ zero: una singură, dublă; Δ negativ: nicio soluție reală. Dacă $b = 0$ sau $c = 0$ , ai drumul scurt, fără Δ. La o problemă din meserie, soluția se alege după sensul ei, nu după semn: adâncimea, lățimea și timpul nu ies negative. Verificare rapidă: la $x^{2} - 9 = 0$ , $Δ = 36$ și soluțiile sunt $\pm 3$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Adâncimea unui șanț cu taluz

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia șanțul din situație: lățime la fund 1,0 m, pereți înclinați cu 0,5 m pe orizontală la 1 m adâncime, lungime 40 m, volum de scos 105 m³. Află adâncimea și spune dacă respectă cerința de 1,2 m.

Rezolvare. Din model, ecuația e $4 x^{2} + 8 x - 21 = 0$ , cu $a = 4$ , $b = 8$ , $c = - 21$ (pasul 1). Nu e incompletă, deci calculezi Δ (pasul 3) și scrii soluțiile (pasul 4):

$Δ = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21) = 64 + 336 = 400, x_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 20}{2 \cdot 4}$

Deci $x_{1} = \frac{12}{8} = 1, 5$ și $x_{2} = \frac{- 28}{8} = - 3, 5$ (pasul 5). Adâncimea nu e negativă, așa că șanțul are $x = 1, 5$ m. Cum $1, 5 \geq 1, 2$ , cerința conductei e respectată. La suprafață, șanțul are lățimea $1 + 1, 5 = 2, 5$ m. Ordinea pașilor contează: întâi ecuația fără zecimale, apoi Δ, și abia la sfârșit alegerea soluției, după ce ai spus ce înseamnă $x$ în lucrare.

Capcană. Cine uită că $- 21$ are minus și ia $c = 21$ calculează $Δ = 64 - 336 = - 272$ , negativ, și ar spune că nu există niciun șanț cu acel volum, deși există.

Verificare. În ecuația inițială: $40 \cdot (1, 5 + 0, 5 \cdot 2, 25) = 40 \cdot 2, 625 = 105$ m³. Soluția $- 3, 5$ verifică și ea egalitatea $x + 0, 5 x^{2} = 2, 625$ , dar descrie o adâncime negativă, deci se aruncă. La adâncimea minimă de 1,2 m, volumul ar fi $40 \cdot (1, 2 + 0, 72) = 76, 8$ m³, mai puțin decât cei 105 m³ ai devizului.

Exemplul 2 — Șablonul unui arc de lemn

Domeniu: lemn.

Enunț. Un dulgher taie dintr-un panou un șablon în arc de cerc cu raza $R = 65$ cm. Între capetele arcului, coarda are lungimea $s$ , iar săgeata $f$ (înălțimea arcului, de la mijlocul corzii) verifică ecuația $f^{2} - 2 R f + (\frac{s}{2})^{2} = 0$ . Calculează săgeata pentru trei deschideri: $s = 120$ cm, $s = 130$ cm și $s = 140$ cm.

Rezolvare. Ecuația are $a = 1$ , $b = - 130$ și $c = (\frac{s}{2})^{2}$ , deci $Δ = 13 0^{2} - 4 (\frac{s}{2})^{2} = 16900 - s^{2}$ (pasul 3). Atunci:

la $s = 120$ : $Δ = 16900 - 14400 = 2500$ , două soluții, $f = \frac{130 \pm 50}{2}$ , adică $f = 40$ sau $f = 90$ . Săgeata de 90 cm depășește raza, deci descrie arcul mare al cercului; șablonul are $f = 40$ cm (pasul 5);
la $s = 130$ : $Δ = 0$ , o singură soluție, $f = \frac{130}{2} = 65$ cm, egală cu raza: șablonul e un semicerc, cel mai înalt arc care nu trece de jumătatea cercului;
la $s = 140$ : $Δ = 16900 - 19600 = - 2700$ , nicio soluție: o coardă de 140 cm nu încape într-un cerc cu diametrul de 130 cm.

Capcană. Cine ia $c = \frac{s}{2}$ în loc de $(\frac{s}{2})^{2}$ pune, la $s = 120$ , $c = 60$ și obține $Δ = 16900 - 240 = 16660$ , deci săgeți de aproximativ 0,5 cm și 129,5 cm, fără legătură cu desenul.

Verificare. La $s = 120$ și $f = 40$ : $40 \cdot (130 - 40) = 3600 = 6 0^{2}$ , relația corzilor care se taie într-un cerc; la fel $90 \cdot 40 = 3600$ , pentru celălalt arc al aceleiași corzi. La $s = 130$ : $65 \cdot 65 = 4225 = 6 5^{2}$ , deci coarda de 130 cm e chiar diametrul.

Exemplul 3 — Garnitura unei flanșe de conductă

Domeniu: mecanica.

Enunț. La montajul unei conducte de abur dintr-un atelier de mecanică, flanșa are o garnitură inelară cu diametrul interior de 86 mm. Șuruburile o strâng cu forța $F = 36$ kN, iar materialul garniturii suportă cel mult 24 MPa (1 MPa = 1 N/mm²). Care e lățimea minimă $x$ a inelului, cu două zecimale, și ce lățime în milimetri întregi alegi? Ia $π \approx 3, 14$ .

Rezolvare. Forța trece din kN în N înainte de împărțire: $F = 36000$ N. Aria minimă a garniturii e $\frac{36000}{24} = 1500$ mm². Raza interioară e 43 mm, deci aria inelului de lățime $x$ este $π [(43 + x)^{2} - 4 3^{2}] = π (x^{2} + 86 x)$ . Din $π (x^{2} + 86 x) = 1500$ , cu $1500 : 3, 14 \approx 477, 7$ , rezultă $x^{2} + 86 x - 477, 7 = 0$ (pasul 1), cu $a = 1$ , $b = 86$ , $c = - 477, 7$ :

$Δ = 8 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 477, 7) = 7396 + 1910, 8 = 9306, 8, Δ \approx 96, 47$

Soluțiile sunt $x_{1} = \frac{- 86 + 96 , 47}{2} \approx 5, 24$ și $x_{2} = \frac{- 86 - 96 , 47}{2} \approx - 91, 24$ . Lățimea nu e negativă, deci $x \geq 5, 24$ mm. La milimetri întregi alegi 6 mm: aici rotunjirea se face în sus, nu la cel mai apropiat număr, fiindcă 5 mm ar da o presiune peste limită, iar o garnitură prea îngustă cedează sub strângere.

Capcană. Cine lasă forța în kN, 36 în loc de 36000, obține aria $1, 5$ mm² și o lățime de ordinul miimilor de milimetru: o garnitură mai subțire decât o foaie de hârtie, care n-ar ține nicio strângere.

Verificare. La $x = 5$ : aria e $3, 14 \cdot (4 8^{2} - 4 3^{2}) = 3, 14 \cdot 455 = 1428, 7$ mm², iar presiunea $\frac{36000}{1428 , 7} \approx 25, 2$ MPa, peste limită. La $x = 6$ : aria e $3, 14 \cdot (4 9^{2} - 4 3^{2}) = 3, 14 \cdot 552 \approx 1733, 3$ mm², iar presiunea $\approx 20, 8$ MPa, sub limită.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: ecuații de gradul II

Domeniu: economic.

Enunț. O contabilă copiază pe o fișă două cerințe, în forma în care apar la Subiectul I. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(7 x - 4)^{2} = 36$ . b) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 19 x + 91$ . Determinați numerele reale $a$ pentru care $f (a) = 3$ .

Rezolvare. a) Partea stângă e un pătrat, deci iei drumul scurt (pasul 2): $7 x - 4 = 6$ sau $7 x - 4 = - 6$ , adică $x = \frac{10}{7}$ sau $x = - \frac{2}{7}$ . b) Condiția $f (a) = 3$ înseamnă $a^{2} - 19 a + 91 = 3$ , adică $a^{2} - 19 a + 88 = 0$ (pasul 1); necunoscuta e litera $a$ , iar coeficienții sunt 1, $- 19$ și 88. Apoi $Δ = 361 - 352 = 9$ (pasul 3), deci $a = \frac{19 \pm 3}{2}$ (pasul 4), adică $a = 11$ sau $a = 8$ . Fiecare cerință se rezolvă pe puține rânduri: ecuația adusă la forma simplă, Δ, soluțiile.

Capcană. La a), cine scrie doar $7 x - 4 = 6$ pierde soluția $- \frac{2}{7}$ : un pătrat egal cu 36 are două soluții.

Verificare. La a): $(7 \cdot \frac{10}{7} - 4)^{2} = 6^{2} = 36$ și $(7 \cdot (- \frac{2}{7}) - 4)^{2} = (- 6)^{2} = 36$ . Pe drumul lung, $49 x^{2} - 56 x - 20 = 0$ are $Δ = 7056 = 8 4^{2}$ și aceleași soluții. La b): $f (8) = 64 - 152 + 91 = 3$ și $f (11) = 121 - 209 + 91 = 3$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează discriminantul, spune câte soluții reale are fiecare ecuație și, unde există, află-le: a) $3 x^{2} + 19 x - 14 = 0$ ; b) $36 x^{2} - 60 x + 25 = 0$ ; c) $7 x^{2} + 4 x + 3 = 0$ .

2. Adu ecuația $(2 x + 3) (3 x - 1) = - 2 x + 8$ la forma generală, calculează Δ și scrie soluțiile, mai întâi exact, apoi cu două zecimale.

3. Rezolvă fără Δ: a) $6 x^{2} - 54 x = 0$ ; b) $5 x^{2} - 80 = 0$ ; c) $4 x^{2} + 25 = 0$ . La a), ce soluție pierzi dacă împarți cu $x$ ?

4. Rezolvă $1, 2 x^{2} - 2, 9 x - 0, 8 = 0$ , după ce scapi de zecimale, și verifică ambele soluții în ecuația inițială.

Nivelul 2 — situații

5. Sistemul de irigații al unui fermier duce 18 m³ de apă pe oră printr-o conductă circulară, iar apa nu trebuie să curgă mai repede de 1,5 m/s. Debitul e $Q = \frac{π d ^{2}}{4} \cdot v$ , unde $d$ e diametrul interior. Lucrezi în milimetri: 18 m³/h înseamnă $5 \cdot 1 0^{6}$ mm³/s, iar 1,5 m/s înseamnă 1500 mm/s. a) Scrie ecuația în $d$ , cu $π \approx 3, 14$ , sub forma $a d^{2} + c = 0$ . b) Află diametrul minim, rotunjit la zecimi de milimetru. c) Din diametrele interioare disponibile, 60, 65, 70 și 80 mm, care e cel mai mic ce respectă viteza maximă?

6. Pe un șantier, tavanul de beton al unui pasaj subteran e parabolic: înălțimea liberă la $x$ metri de peretele din stânga este $h (x) = - 0, 16 x^{2} + 1, 44 x + 2, 16$ , în metri, pe lățimea $x \in [0; 9]$ a pasajului. a) La ce distanțe de perete înălțimea liberă este exact 4,2 m? b) Ce lățime are zona pe unde trece un transport de 4,2 m înălțime? c) Poate avea pasajul înălțimea liberă de 5,7 m? Ce arată semnul lui Δ?

7. Într-un atelier, o grindă din oțel, cu deschiderea de 8 m, e rezemată la capete și încărcată uniform cu 5 kN/m. La $x$ metri de un reazem, momentul încovoietor e $M (x) = 2, 5 x (8 - x)$ , în kN·m. a) În ce puncte momentul e 36 kN·m? b) Pentru ce valoare $m$ ecuația $M (x) = m$ are o singură soluție, și ce înseamnă ea pentru grindă? c) Poate atinge momentul 42 kN·m?

8. Un arc de supapă de la un service auto are constanta elastică $k = 30$ N/mm și e precomprimat la montaj cu 9 mm. La o comprimare suplimentară de $x$ mm, energia lui crește cu $W = \frac{k}{2} [(9 + x)^{2} - 9^{2}]$ , în N·mm. Spirele se ating la o comprimare totală de 14 mm. a) Scrie ecuația pentru $W = 1, 32$ J, adică 1320 N·mm, în forma generală. b) Rezolvă-o, alege soluția cu sens și află forța $F = k \cdot (9 + x)$ . c) Poate energia arcului să crească, față de montaj, cu 1,8 J?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(6 x - 13)^{2} = 81$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 13 x - 7$ și $g (x) = - 2 x + 19$ . Determinați numerele reale $a$ pentru care $f (a) = g (a)$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $a$ pentru care punctul $A (a, a)$ aparține graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 16$ .

12. (Sinteză.) Un tinichigiu face din 6,8 m² de tablă, fără pierderi, un rezervor cilindric fără capac, înalt de 1,1 m. Aria tablei e aria bazei plus aria laterală, $π r^{2} + 2 π r h$ , cu raza $r$ și înălțimea $h$ în metri. a) Scrie ecuația în $r$ , cu $π \approx 3, 14$ , și adu-o la forma $r^{2} + 2, 2 r - 2, 17 = 0$ . b) Rezolvă-o și alege soluția cu sens, rotunjită la centimetri. c) Ce volum are rezervorul, în metri cubi, rotunjit la zecimi?

Răspunsuri și verificări

1. a) $Δ = 361 + 168 = 529 = 2 3^{2}$ , deci $x = \frac{- 19 \pm 23}{6}$ , adică $x = \frac{2}{3}$ și $x = - 7$ . b) $Δ = 3600 - 3600 = 0$ : o singură soluție, $x = \frac{5}{6}$ . c) $Δ = 16 - 84 = - 68$ : nicio soluție reală. Verificare: la a), $3 \cdot 49 - 133 - 14 = 0$ ; la b), membrul stâng e $(6 x - 5)^{2}$ .

2. $(2 x + 3) (3 x - 1) = 6 x^{2} + 7 x - 3$ , deci ecuația e $6 x^{2} + 9 x - 11 = 0$ , cu $Δ = 81 + 264 = 345$ . Soluțiile sunt $x = \frac{- 9 \pm 345}{12}$ , adică $x \approx 0, 80$ și $x \approx - 2, 30$ . Verificare: la $x \approx 0, 798$ ambii membri dau $\approx 6, 4$ .

3. a) $6 x (x - 9) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 9$ ; împărțind cu $x$ , pierzi soluția 0. b) $x^{2} = 16$ , deci $x = \pm 4$ . c) $4 x^{2} = - 25$ : nicio soluție reală, pătratul nefiind negativ. Verificare: $6 \cdot 81 - 54 \cdot 9 = 0$ , $5 \cdot 16 - 80 = 0$ și $4 x^{2} + 25 \geq 25$ .

4. Înmulțești cu 10: $12 x^{2} - 29 x - 8 = 0$ , cu $Δ = 841 + 384 = 1225 = 3 5^{2}$ și $x = \frac{29 \pm 35}{24}$ , adică $x = \frac{8}{3}$ și $x = - \frac{1}{4}$ . Verificare: cu zecimale, $1, 2 \cdot 0, 0625 + 2, 9 \cdot 0, 25 - 0, 8 = 0$ și $1, 2 \cdot \frac{64}{9} - 2, 9 \cdot \frac{8}{3} - 0, 8 = \frac{128 - 116 - 12}{15} = 0$ .

5. a) Din $\frac{3 , 14 d ^{2}}{4} \cdot 1500 = 5 \cdot 1 0^{6}$ rezultă $1177, 5 d^{2} - 5 \cdot 1 0^{6} = 0$ . b) $d^{2} \approx 4246, 3$ , deci $d \approx 65, 2$ mm. c) La 65 mm, viteza e de aproximativ 1508 mm/s, peste limită; la 70 mm, de aproximativ 1300 mm/s. Alegi 70 mm. Verificare: $65 < 65, 2$ .

6. a) Ecuația $- 0, 16 x^{2} + 1, 44 x + 2, 16 = 4, 2$ , înmulțită cu $- 25$ , devine $4 x^{2} - 36 x + 51 = 0$ , cu $Δ = 1296 - 816 = 480$ ; deci $x = \frac{9 \pm 30}{2}$ , adică $x \approx 1, 76$ m și $x \approx 7, 24$ m. b) Zona dintre ele are lățimea $30 \approx 5, 48$ m. c) Din $h (x) = 5, 7$ rezultă $8 x^{2} - 72 x + 177 = 0$ , cu $Δ = 5184 - 5664 = - 480 < 0$ : nicio soluție, înălțimea nu ajunge la 5,7 m. Verificare: în mijloc, $h (4, 5) = 5, 4$ m, sub 5,7 m.

7. a) $2, 5 x (8 - x) = 36$ dă $5 x^{2} - 40 x + 72 = 0$ , cu $Δ = 160$ și $x = \frac{40 \pm 160}{10} \approx 2, 74$ m și $5, 26$ m. b) $2, 5 x^{2} - 20 x + m = 0$ are $Δ = 400 - 10 m$ , nul la $m = 40$ ; atunci $x = 4$ m, mijlocul grinzii. c) La $m = 42$ , $Δ = - 20 < 0$ : nicio soluție, momentul nu atinge 42 kN·m. Verificare: $M (4) = 2, 5 \cdot 4 \cdot 4 = 40$ .

8. a) $15 [(9 + x)^{2} - 81] = 1320$ dă $x^{2} + 18 x - 88 = 0$ . b) $Δ = 324 + 352 = 676 = 2 6^{2}$ , deci $x = \frac{- 18 \pm 26}{2}$ , adică $x = 4$ sau $x = - 22$ ; arcul lucrează numai comprimat, deci $x = 4$ mm. Totalul de 13 mm e sub limita de 14 mm, iar $F = 30 \cdot 13 = 390$ N. c) La 1800 N·mm: $x^{2} + 18 x - 120 = 0$ , $Δ = 804 > 0$ , $x \approx 5, 18$ mm, dar totalul de 14,18 mm depășește limita de 14 mm: arcul se blochează. Verificare: $15 \cdot (169 - 81) = 1320$ N·mm; la $x = 5$ , $15 \cdot (196 - 81) = 1725$ N·mm, sub 1800.

9. Partea stângă e un pătrat, deci $6 x - 13 = 9$ sau $6 x - 13 = - 9$ . Rezultă $x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$ sau $x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . Verificare: $(6 \cdot \frac{11}{3} - 13)^{2} = 9^{2} = 81$ și $(6 \cdot \frac{2}{3} - 13)^{2} = (- 9)^{2} = 81$ .

10. Egalezi: $a^{2} - 13 a - 7 = - 2 a + 19$ , adică $a^{2} - 11 a - 26 = 0$ . Atunci $Δ = 121 + 104 = 225$ , deci $a = \frac{11 \pm 15}{2}$ , adică $a = 13$ sau $a = - 2$ . Verificare: $f (13) = - 7 = g (13)$ și $f (- 2) = 23 = g (- 2)$ .

11. Punctul $A (a, a)$ e pe grafic dacă $f (a) = a$ , adică $3 a^{2} - 12 a - 16 = a$ , deci $3 a^{2} - 13 a - 16 = 0$ . Atunci $Δ = 169 + 192 = 361$ , deci $a = \frac{13 \pm 19}{6}$ , adică $a = \frac{16}{3}$ sau $a = - 1$ . Verificare: $f (- 1) = 3 + 12 - 16 = - 1$ , iar $f (\frac{16}{3}) = \frac{256}{3} - 64 - 16 = \frac{16}{3}$ .

12. a) $3, 14 r^{2} + 2 \cdot 3, 14 \cdot 1, 1 r = 6, 8$ ; împărțind cu $3, 14$ și rotunjind la sutimi, $r^{2} + 2, 2 r - 2, 17 = 0$ . b) $Δ = 4, 84 + 8, 68 = 13, 52$ și $Δ \approx 3, 68$ , deci $r = \frac{- 2 , 2 \pm 3 , 68}{2}$ , adică $r \approx 0, 74$ sau $r \approx - 2, 94$ . Raza nu e negativă, deci $r \approx 0, 74$ m. c) $V = 3, 14 \cdot 0, 7 4^{2} \cdot 1, 1 \approx 1, 9$ m³. Verificare: aria tablei e $3, 14 \cdot 0, 5476 + 2 \cdot 3, 14 \cdot 0, 74 \cdot 1, 1 \approx 1, 72 + 5, 11 = 6, 83$ m², aproape 6,8 m²; diferența vine din rotunjirea razei.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) trece în blocul clasei a IX-a ecuația $f (x) = 0$ a funcției de gradul al II-lea, alături de relațiile lui Viète și de semnul funcției. Cele patru cerințe de mai jos sunt toate de la Subiectul I și au forme diferite; în fiecare, ecuația nu apare în forma simplă $a x^{2} + b x + c = 0$ , ci trebuie adusă la ea.

Modelul din 2013, Subiectul I, exercițiul 1: se cere să rezolvi în mulțimea numerelor reale o ecuație în care o paranteză ridicată la pătrat e egală cu un număr, ca la drumul scurt din pasul 2; baremul probei desface paranteza și ajunge la o ecuație fără termen liber (3 puncte), apoi scrie cele două soluții (2 puncte).
Simularea din 2018, Subiectul I, exercițiul 2: se cere numărul real $a$ pentru care un punct cu o coordonată necunoscută aparține graficului unei funcții de gradul al doilea; punctul de pe grafic înseamnă $f (a)$ egal cu a doua coordonată, ca la pasul 1; baremul scrie o ecuație al cărei membru stâng e un pătrat perfect (3 puncte) și soluția unică (2 puncte), caz cu $Δ = 0$ .
Modelul din 2019, Subiectul I, exercițiul 2: se cer numerele reale $a$ pentru care punctul cu ambele coordonate egale cu $a$ aparține graficului unei funcții; condiția e $f (a) = a$ , ca la pasul 1; baremul aduce ecuația la forma simplă (3 puncte), apoi dă cele două soluții (2 puncte).
Simularea din 2022, Subiectul I, exercițiul 2: se cer numerele reale $a$ pentru care două funcții iau aceeași valoare, adică $f (a) = g (a)$ , ca la pasul 1; baremul reduce egalitatea la o ecuație fără termen liber (3 puncte), apoi dă cele două soluții (2 puncte).

În toate patru alegi între drumul scurt și Δ, iar soluțiile se verifică în enunț. Pe foaia de examen, ecuația adusă la forma simplă și soluțiile se scriu pe rânduri separate. Trei dintre formele de mai sus se exersează în exercițiile 9–11, cu numere proprii; exercițiul 12 pleacă de la o piesă de tinichigerie. Pentru restul temelor de la Subiectul I, deschide traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Citești $c$ fără minus, $- 21$ ca $+ 21$ → cum o prinzi: scrii $a$ , $b$ , $c$ pe rând, cu semn, înainte de Δ; un Δ negativ la o problemă despre care știi că are soluție cere recitirea lui $c$ .
Împarți cu $x$ la $a x^{2} + b x = 0$ → cum o prinzi: înlocuiești $x = 0$ în ecuația inițială; dacă dă $0 = 0$ , ai pierdut o soluție.
Scrii o singură soluție, deși $Δ > 0$ → cum o prinzi: la Δ pozitiv numeri două soluții, câte una pentru fiecare semn din $\pm$ ; dacă ai doar una, rămâne celălalt semn de calculat.
Împarți la $2 a$ doar radicalul, $- 8 \pm \frac{20}{8}$ în loc de $\frac{- 8 \pm 20}{8}$ → cum o prinzi: înlocuiești soluția în ecuația inițială; cea greșită nu o verifică.
Păstrezi o soluție care nu are sens, o adâncime negativă sau o săgeată mai mare decât raza → cum o prinzi: citești unitatea și limitele din enunț, ca la pasul 5, și compari fiecare soluție cu ele.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea ecuației de gradul al II-lea face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 36 de probe, la Subiectul I, Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă terenul cere un taluz mai lin, de 1 m pe orizontală la 1 m adâncime? Baza mare devine $1 + 2 x$ , iar aria $x + x^{2} = 2, 625$ , adică $8 x^{2} + 8 x - 21 = 0$ , cu $Δ = 736$ . Soluția pozitivă e $x = \frac{- 8 + 736}{16} \approx 1, 196$ m, deci sub cerința de 1,2 m. Cu pereți mai lini, cei 105 m³ nu mai ajung: la 1,2 m ar trebui $40 \cdot (1, 2 + 1, 44) = 105, 6$ m³.

Ce se întâmplă dacă taluzul e vertical? Cu pereții verticali, șanțul e un dreptunghi cu aria $1 \cdot x$ , iar ecuația devine $x = 2, 625$ , de gradul I: termenul cu $x^{2}$ dispare. Tocmai de aceea definiția cere $a \neq = 0$ . Fără acest termen n-ai nevoie de Δ, ci de o împărțire; șanțul cu pereți verticali ar avea adâncimea de 2,625 m.

Pot folosi Δ la o ecuație incompletă? Da. La $7 x^{2} - 91 x = 0$ ai $a = 7$ , $b = - 91$ și $c = 0$ , deci $Δ = 8281 = 9 1^{2}$ , iar $x = \frac{91 \pm 91}{14}$ dă $x = 13$ sau $x = 0$ . Factorul comun duce la același rezultat în două rânduri și are mai puține locuri de greșit, așa că la examen alege drumul scurt când forma îl permite.

Ce spune Δ = 0 la șablonul de lemn? La coarda de 130 cm, Δ e zero și săgeata are o singură valoare, 65 cm, egală cu raza. Geometric, coarda e atunci diametrul, iar arcul e semicerc. La o coardă mai lungă, Δ devine negativ și șablonul nu se poate desena, iar o coardă mai scurtă dă două săgeți, una pentru arcul mic și una pentru arcul mare.

Ce adâncime ar avea șanțul dacă devizul ar trece 112 m³? Aria secțiunii devine $112 : 40 = 2, 8$ m², iar $x + 0, 5 x^{2} = 2, 8$ se aduce la $5 x^{2} + 10 x - 28 = 0$ , cu $Δ = 660$ , care nu e pătrat perfect. Lași radicalul până la capăt: $x = \frac{- 10 + 660}{10} \approx 1, 57$ m, cealaltă soluție fiind negativă. Cu 7 m³ în plus, șanțul se adâncește cu aproape 7 cm.

În ce forme a apărut ecuația de gradul II în probele de M_tehnologic? Programa de examen trece ecuația $f (x) = 0$ a funcției de gradul al II-lea în blocul clasei a IX-a, iar în 36 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 există cel puțin o cerință care se rezolvă cu ea. În cele patru cerințe din lecție, toate de la Subiectul I, ea apare ca pătrat egal cu un număr, ca punct de pe grafic și ca egalitate de funcții.