Ce se poate spune despre o ecuație de forma $$\sqrt[3]{A}=B$$?

este echivalentă cu $$A=B^3$$, fără nicio condiție

poate avea soluții străine după ridicarea la cub

Cum recunosc pe grafic o soluție străină?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații cu radicali

O soluție străină apare după ridicarea la pătrat: pe grafic, dreapta întâlnește atunci jumătatea inferioară a parabolei culcate $x = y^{2} - 1$ , pe care radicalul nu o desenează. Exemplu: $x + 1 = x - 1$ devine $x + 1 = (x - 1)^{2}$ , adică $x^{2} - 3 x = 0$ , cu $x = 0$ sau $x = 3$ . Pentru $x = 3$ : $4 = 2 = 3 - 1$ , corect. Pentru $x = 0$ : stânga dă $1$ , dreapta $- 1$ , deci $0$ e străină; punctul $(0, - 1)$ are ordonata negativă, deci nu e pe curba radicalului.

O ecuație cu radicali are necunoscuta sub un radical. Primul pas este domeniul: orice expresie aflată sub o rădăcină pătrată are voie să fie doar pozitivă sau nulă, iar toate aceste cerințe se impun simultan. Rădăcina de ordinul trei acceptă orice număr. Aceste inegalități sunt singurele din temă, pentru că la științe ale naturii programa clasei a X-a cere numai ecuațiile.

Ridicarea la pătrat păstrează toate soluțiile, dar poate aduce numere în plus, numite soluții străine: pentru ele, membrii inițiali sunt opuși, nu egali. Pe grafic, o asemenea valoare este un punct al dreptei cu ramura de jos a parabolei culcate, nu cu graficul radicalului. Ca să nu apară, la forma $A = B$ se adaugă condiția $B \geq 0$ , iar radicalul se izolează înainte de fiecare ridicare.

La ordinul trei, egalitatea $3 A = B$ înseamnă exact $A = B^{3}$ , fără condiții. Când o expresie și radicalul ei apar împreună, se notează radicalul cu o literă nenegativă. Oricare ar fi metoda, fiecare candidat se verifică prin înlocuire în ecuația inițială, cea cu radical.

De reținut

$A = B$ înseamnă $B \geq 0$ și $A = B^{2}$
$3 A = B$ înseamnă $A = B^{3}$ , fără condiții
orice candidat se verifică în ecuația inițială, cu radical

Greșeala tipică

Se păstrează toate rădăcinile ecuației ridicate la pătrat fără verificare; la $x + 1 = x - 1$ , valoarea $x = 0$ dă $1 = - 1$ , deci trebuie eliminată.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul ecuației $9 - x + x + 2 = 3$ ?
- a) $[- 9, 2]$
- b) $(- \infty, 9]$
- c) $[- 2, 9]$
- d) $[- 2, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[- 2, 9]$

Cerem simultan $9 - x \geq 0$ și $x + 2 \geq 0$ , adică $x \leq 9$ și $x \geq - 2$ , deci domeniul este $[- 2, 9]$ .
Ce condiție trebuie adăugată pentru ca ecuația $2 x + 7 = x - 1$ să fie echivalentă cu $2 x + 7 = (x - 1)^{2}$ plus acea condiție?
- a) $x \geq - \frac{7}{2}$
- b) $x \geq 0$
- c) nicio condiție
- d) $x \geq 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x \geq 1$

Membrul stâng este nenegativ, deci și membrul drept trebuie să fie: $x - 1 \geq 0$ , adică $x \geq 1$ . Condiția $2 x + 7 \geq 0$ rezultă apoi din egalitatea cu un pătrat.
Ce se poate spune despre o ecuație de forma $3 A = B$ ?
- a) cere condiția $A \geq 0$
- b) cere condiția $B \geq 0$
- c) este echivalentă cu $A = B^{3}$ , fără nicio condiție
- d) poate avea soluții străine după ridicarea la cub
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) este echivalentă cu $A = B^{3}$ , fără nicio condiție

Ridicarea la cub păstrează semnul și două numere cu același cub sunt egale, deci ecuația este echivalentă cu $A = B^{3}$ , fără condiții și fără soluții străine.

Întrebări conexe

Cum rezolv o ecuație cu radical de ordinul 3?

Ridici la cub, fără nicio condiție, pentru că $3 A = B$ înseamnă exact $A = B^{3}$ . De exemplu, $3 2 x + 1 = - 3$ dă $2 x + 1 = - 27$ , deci $x = - 14$ . Verificare: $3 - 27 = - 3$ . Radicalul de ordinul trei poate avea valori negative, deci aici nu apar soluții străine.

Cum folosesc o necunoscută auxiliară la ecuația $x - 5 x + 6 = 0$ ?

Notezi $t = x$ , cu $t \geq 0$ , și ecuația devine $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ , cu $t = 2$ sau $t = 3$ . Ambele valori sunt nenegative, deci $x = 4$ sau $x = 9$ . Probă: $4 - 10 + 6 = 0$ și $9 - 15 + 6 = 0$ . O valoare negativă a lui $t$ s-ar fi eliminat, fiindcă un radical nu poate fi negativ.

Cum aflu masa molară a unui gaz din legea lui Graham?

Legea spune că raportul vitezelor de difuzie este $\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{M _{2}}{M _{1}}$ . Dacă un gaz necunoscut difuzează de $2$ ori mai încet decât heliul, cu $M = 4$ g/mol, atunci $\frac{M}{4} = 2$ , deci $\frac{M}{4} = 4$ și $M = 16$ g/mol, valoare care se potrivește metanului.

Ce condiție pun la $A = B$ ca să nu apară soluții străine?

Ceri $B \geq 0$ înainte de ridicare, fiindcă un radical de ordinul doi nu dă valori negative. La $x + 1 = x - 1$ condiția este $x \geq 1$ , iar ea elimină direct candidatul $x = 0$ . Condiția $A \geq 0$ nu mai trebuie scrisă separat, pentru că $A = B^{2}$ o asigură.

Câte soluții are ecuația $x^{2} + 7 = 4$ ?

Membrul drept este pozitiv, deci ridici la pătrat: $x^{2} + 7 = 16$ , adică $x^{2} = 9$ , cu $x = 3$ sau $x = - 3$ . Ambele verifică: $16 = 4$ . Faptul că $x$ e negativ nu contează, contează semnul membrului drept. Pentru $x^{2} + 7 = - 4$ , în schimb, nu există nicio soluție.

Ce masă corespunde unei suprafețe corporale date în formula lui Mosteller?

Formula este $S = \frac{h \cdot m}{3600}$ m², cu $h$ în centimetri și $m$ în kilograme. Pentru $h = 180$ cm și $S = 1, 8$ m², ridici la pătrat: $3, 24 = \frac{180 m}{3600} = \frac{m}{20}$ , deci $m = 64, 8$ kg. Verificare: $\frac{180 \cdot 64 , 8}{3600} = 3, 24$ și $3, 24 = 1, 8$ .

Oamenii mai întreabă și: soluție străină la ecuația cu radical · de ce apare o soluție falsă după ridicarea la pătrat · ramura de jos a parabolei culcate · cum elimin soluțiile străine