Când sunt disjuncte două evenimente $$A$$ și $$B$$?

când $$A \cap B = \varnothing$$

când fiecare conține cel puțin un rezultat

Care este contrarul evenimentului „planta aleasă are flori și are fructe”?

„planta nu are flori sau nu are fructe”

„planta nu are nici flori, nici fructe”

„planta are fructe, dar nu are flori”

„planta are flori sau fructe”

Care este contrarul evenimentului „A și B”?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Evenimente disjuncte, Venn

Contrarul lui „ $A$ și $B$ ” este „nu $A$ sau nu $B$ ”: $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ . Pe diagrama Venn, el ocupă tot dreptunghiul, mai puțin zona comună a cercurilor, adică trei regiuni. Exemplu: pentru $Ω = {1, \dots, 10}$ , $A$ = „număr par” și $B$ = „mai mare decât $6$ ”, avem $A \cap B = {8, 10}$ . Contrarul are $8$ rezultate: ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}$ .

Două evenimente sunt disjuncte când nu au niciun rezultat comun: $A \cap B = \emptyset$ , deci nu se pot produce la aceeași încercare. Ca să arăți că nu sunt disjuncte ajunge un singur rezultat comun; ca să arăți că sunt, cauți un argument care exclude orice rezultat comun, fără să scrii neapărat listele.

Desenul. Pe o diagramă Venn, dreptunghiul este $Ω$ , iar fiecare eveniment este un cerc. Fiecare rezultat stă într-o singură regiune, iar numărul rezultatelor din toate regiunile dă $card (Ω)$ . Zona din afara cercurilor, dar din dreptunghi, cuprinde rezultatele care nu realizează niciun eveniment desenat.

Legăturile din propoziții. „Și” se citește ca intersecție, „sau” ca reuniune, „dar nu” ca diferență, iar „nu” ca eveniment contrar, $\overline{A} = Ω ∖ A$ . Negația unei propoziții cu „și” este o propoziție cu „sau”.

Mai multe evenimente. Trei sau mai multe evenimente sunt disjuncte două câte două când fiecare pereche are intersecția vidă; dacă, în plus, acoperă tot $Ω$ , ele formează o partiție. Un cerc desenat în interiorul altuia arată o incluziune, iar pentru numărare se folosește formula reuniunii cu intersecția scăzută.

De reținut

disjuncte: $A \cap B = \emptyset$
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ : negația lui „și” este „sau”
„ $A$ , dar nu $B$ ” este $A ∖ B$

Greșeala tipică

Se neagă „ $A$ și $B$ ” ca „nici $A$ , nici $B$ ”, adică doar zona din afara cercurilor; contrarul corect cuprinde și rezultatele care realizează numai unul dintre evenimente.

Exerciții din această mini-lecție

Când sunt disjuncte două evenimente $A$ și $B$ ?
- a) când $A \cup B = Ω$
- b) când $A \cap B = \emptyset$
- c) când $A \subseteq B$
- d) când fiecare conține cel puțin un rezultat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) când $A \cap B = \emptyset$

Disjuncte înseamnă fără rezultat comun, adică intersecția lor este mulțimea vidă.
Pentru $Ω = {1, 2, \dots, 10}$ se desenează cercurile $A = {2, 3, 5, 7}$ și $B = {1, 3, 5, 7, 9}$ . Ce rezultate stau în afara ambelor cercuri?
- a) ${4, 6, 8}$
- b) ${3, 5, 7}$
- c) ${1, 2, 9}$
- d) ${4, 6, 8, 10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${4, 6, 8, 10}$

Cercurile cuprind împreună $1, 2, 3, 5, 7, 9$ ; în dreptunghi rămân $4, 6, 8, 10$ .
Care este contrarul evenimentului „planta aleasă are flori și are fructe”?
- a) „planta nu are flori sau nu are fructe”
- b) „planta nu are nici flori, nici fructe”
- c) „planta are fructe, dar nu are flori”
- d) „planta are flori sau fructe”
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) „planta nu are flori sau nu are fructe”

Negația lui „și” este „sau” cu fiecare parte negată: $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ , adică trei regiuni ale diagramei.

Întrebări conexe

Ce înseamnă „ $A$ , dar nu $B$ ” pe o diagramă Venn?

Este diferența $A ∖ B$ : partea cercului $A$ care nu e acoperită de cercul $B$ . Cu $A$ = „număr par” și $B$ = „mai mare decât $6$ ” în ${1, \dots, 10}$ , rezultă $A ∖ B = {2, 4, 6}$ , adică numerele pare care nu depășesc $6$ .

Ce arată un cerc desenat în interiorul altuia?

Arată o incluziune: fiecare rezultat al evenimentului mic realizează și evenimentul mare. „Multiplu de $4$ ” este inclus în „număr par”, pentru că orice multiplu de $4$ e par. Invers nu: $6$ e par, dar nu e multiplu de $4$ .

Ce este o partiție a mulțimii rezultatelor?

Este o împărțire a lui $Ω$ în evenimente disjuncte două câte două care, împreună, acoperă tot. La aruncarea unui zar, ${1, 2}$ , ${3, 4}$ și ${5, 6}$ formează o partiție: orice față aparține exact unuia dintre ele.

Cum arăt că două evenimente nu sunt disjuncte?

Ajunge un singur rezultat comun. Pentru un număr ales din ${1, \dots, 20}$ , evenimentele „număr prim” și „număr par” nu sunt disjuncte, fiindcă $2$ le realizează pe amândouă. Faptul că descrierile par fără legătură nu dovedește nimic.

Câte rezultate realizează exact unul dintre două evenimente?

Aduni cardinalele și scazi de două ori partea comună: $n (A) + n (B) - 2 n (A \cap B)$ . Cu $A$ = „par” și $B$ = „mai mare decât $6$ ” în ${1, \dots, 10}$ : $5 + 4 - 2 \cdot 2 = 5$ rezultate, adică $2$ , $4$ , $6$ , $7$ și $9$ .

Oamenii mai întreabă și: negația lui și la evenimente · contrarul intersecției a două evenimente · regula lui De Morgan pentru evenimente · nu A sau nu B diagrama Venn