Evenimentul contrar și complementara sa: pe scurt

Evenimentul contrar $\overline{A}$ al unui eveniment $A$ se produce exact atunci când $A$ nu se produce; împreună acoperă tot spațiul ($A\cup \overline{A}=\Omega$) și nu se pot produce simultan ($A\cap \overline{A}=\varnothing$). De aici, prin numărare, rezultă formula fundamentală

$$P(A)+P(\overline{A})=1,\text{adica˘}P(\overline{A})=1-P(A).$$

Cel mai rentabil folos al ei apare la enunțurile cu „cel puțin unul": contrariul lui este „niciunul", un singur caz de numărat, în loc de mai multe compoziții. Tiparul-cheie: $P(\text{cel puțin unul})=1-P(\text{niciunul})$. La două zaruri, greșeala clasică $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ pentru „cel puțin un $6$" numără de două ori perechea $(6,6)$; corect, prin contrar, $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.

Atenție la negare: contrariul lui „cel puțin doi" nu este „niciunul", ci „cel mult unul" (niciunul sau exact unul); contrariul lui „toate" este „cel puțin unul nu", nu „niciunul". Testul de siguranță: alege un caz concret și verifică dacă se potrivește cu exact unul dintre cele două evenimente. Proba finală, obligatorie: $P(A)+P(\overline{A})$ trebuie să dea mereu $1$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se aruncă $4$ monede corecte. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o stemă?

   • a) $\frac{15}{16}$
   • b) $\frac{7}{8}$
   • c) $\frac{1}{16}$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{15}{16}$

   Cazuri posibile: $2^4=16$. Contrariul «cel puțin o stemă» este «nicio stemă», adică toate patru monede arată pajură — un singur caz. Deci $P(\text{nicio stema˘})=\frac{1}{16}$, iar $P(\text{cel puțin o stema˘})=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

2. O urnă conține $5$ bile galbene și $7$ bile portocalii. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca ea să nu fie galbenă?

   • a) $\frac{5}{12}$
   • b) $\frac{7}{12}$
   • c) $\frac{5}{7}$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{7}{12}$

   Total bile: $5+7=12$, deci $P(\text{galbena˘})=\frac{5}{12}$. Evenimentul cerut este chiar contrarul: $P=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ — confirmat și direct, prin numărarea celor $7$ bile portocalii.

3. Care este evenimentul contrar al lui «cel puțin trei elevi din grupă au luat notă peste $9$»?

   • a) Niciun elev nu a luat notă peste $9$.
   • b) Cel mult doi elevi au luat notă peste $9$.
   • c) Toți elevii au luat notă peste $9$.
   • d) Exact trei elevi au luat notă peste $9$.
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) Cel mult doi elevi au luat notă peste $9$.

   Contrariul lui «cel puțin trei» este «mai puțin de trei», adică «cel mult doi» ($0$, $1$ sau $2$ elevi). Varianta a) elimină greșit și cazurile «exact $1$» și «exact $2$», care nu se potrivesc nici cu evenimentul dat, nici cu propunerea a).