Cu câte zerouri se termină n factorial?
Lecția pe scurt · clasa a X-a · Factorialul
Numărul zerourilor de la final este numărul factorilor din produs, pentru că factorii sunt mereu mai mulți. Îi numeri așa: , unde parantezele pătrate notează partea întreagă. Exemplu: are multipli de și un multiplu de , care aduce un în plus, deci se termină cu zerouri.
Factorialul lui înmulțește numerele naturale de la la , iar convenția completează definiția. Nu îl calculezi de fiecare dată de la zero: fiecare treaptă se obține din cea de dedesubt, , și tot așa se coboară.
Cele mai multe calcule cu factoriale sunt rapoarte sau sume. Un raport de două factoriale se reduce la un produs de numere consecutive: diferența indicilor spune câți factori rămân, iar cel mai mare dintre ei este indicele de sus. La adunare și la scădere nu există simplificare; scoaterea celui mai mic factorial în fața parantezei schimbă însă expresia într-un produs, ușor de comparat și de verificat la divizibilitate.
Ecuațiile cu factoriale se rezolvă cu aceleași gesturi: scrii condițiile, desfaci factorialul mare până la cel mic, împarți la el și cauți două numere consecutive cu produsul dat. Soluția e unică pentru că produsul crește odată cu necunoscuta. Factorialul crește atât de repede încât ordinele de mărime se măsoară în ani, iar de la încolo ultima lui cifră este mereu .
De reținut
- , iar
- zerourile finale ale lui se numără prin factorii :
- de la încolo ultima cifră a factorialului este
Greșeala tipică
Se numără doar multiplii lui și se spune că are zerouri; conține doi factori , de aceea răspunsul corect este .
Exerciții din această mini-lecție
Care dintre egalități este adevărată?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b)
Recurența spune , deci . Adunarea nu apare în recurență, iar .
Câți factori rămân în după simplificare?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: d)
Rămân numerele de la la , adică factori; factorialul de jos se simplifică întreg.
Cu ce este egal ?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a)
Scoți factor comun : . Varianta cu uită să scadă termenul .
Întrebări conexe
Câte zile înseamnă secunde?
, iar o zi are de secunde. Împărțind, obții exact de zile. Un singur pas în plus, , înseamnă de zile, mai mult de un an: factorialul crește mai repede decât orice putere cu bază fixă.
Care este ultima cifră a sumei ?
De la încolo, fiecare factorial se termină cu , deci nu schimbă ultima cifră. Rămâne , iar ultima cifră a sumei este . Aceeași idee arată că suma nu poate fi pătrat perfect, fiindcă niciun pătrat nu se termină cu .
Care este cea mai mare putere a lui care divide ?
Numeri factorii : sunt numere pare până la , multipli de care aduc încă un și un multiplu de care aduce încă unul. Exponentul este , deci divide , dar nu.
Cum rezolv inecuația ?
Factorialul crește, deci cauți ultimul număr care încă verifică inegalitatea: , iar . Soluțiile naturale sunt , adică șapte valori; nu uita , pentru că verifică și el inegalitatea.
Cum scriu produsul cu ajutorul factorialului?
Fiecare dintre cei factori este dublul unui număr natural de la la , așa că scoți câte un din fiecare: . Verificare pentru : și .
Oamenii mai întreabă și: câte zerouri are la final 30 factorial · numărul de zerouri de la sfârșitul lui n! · zerourile finale ale factorialului · cu câte zerouri se termină 25 factorial · factorial ultimele cifre zero