Formularul clasei a XII-a: pe scurt

Formularul este lista rezultatelor pe care le poți folosi fără să le redemonstrezi, fiecare însoțit de condițiile în care e adevărat. Se citește după regula celor trei coloane: enunțul (ce spune), condițiile (unde e valabil) și lecția (de unde vine). Coloana a doua salvează punctele la examen — majoritatea greșelilor de barem nu sunt formule greșite, ci formule corecte folosite în afara condițiilor lor —, iar coloana a treia salvează formula însăși, pentru că o deducere refăcută se ține minte mai bine decât o formulă citită de zece ori. Cele opt tablouri urmează ordinea unităților anului. Firul roșu al structurilor algebrice este forma factorizată $(x-a)(y-a)+a$, din care se citesc deodată partea stabilă, neutrul $e=a+1$, simetricul și izomorfismul $f(x)=x-a$. La conice, elementele se citesc după normalizarea ecuației, iar la parabola $y^2=2px$ focarul stă la distanța $\frac{p}{2}$ de vârf, nu $p$. Cele $16$ rânduri ale tabelului primitivelor sunt tabelul derivatelor citit invers, fiecare cu intervalul lui: rândurile $3$, $11$, $14$ și $16$ cer modul, iar rândul $13$ nu, pentru că argumentul $x+\sqrt{x^2+a^2}$ e strict pozitiv. Integrala definită și aplicațiile ei se sprijină pe două formule-mamă: Leibniz–Newton pentru calcul și $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f$ pentru arie, din care ies volumul, valoarea medie și centrul de greutate.

Exerciții din această mini-lecție

1. „Regula celor trei coloane” din formularul clasei a XII-a spune că orice formulă se citește pe coloanele:

   • a) enunțul / demonstrația / exemplul
   • b) enunțul / condițiile / lecția-sursă
   • c) definiția / teorema / consecința
   • d) formula / exemplul / exercițiul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) enunțul / condițiile / lecția-sursă

   A doua coloană este cea care aduce sau pierde punctele: „pe un interval”, „$f$ continuă”, „$a>0$”, „$p^2-4q<0$”. A treia coloană salvează formula însăși — dacă ai uitat-o, te întorci la lecție și o refaci în două rânduri. Formularul nu ține locul înțelegerii: el este ceea ce rămâne în mână după ce înțelegerea a fost făcută.

2. Dintre rândurile tabelului primitivelor, singurul care nu cere modul în rezultat este:

   • a) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+\mathcal{C}$
   • b) $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+\mathcal{C}$
   • c) $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\mathcal{C}$
   • d) $\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+\mathcal{C}$

   La rândul $13$ argumentul logaritmului, $x+\sqrt{x^2+a^2}$, este strict pozitiv pentru orice $x$ real, pentru că $\sqrt{x^2+a^2}>|x|$; de aceea modulul e de prisos. La rândurile $3$, $11$, $14$ și $16$ argumentul își schimbă semnul pe domeniu, deci modulul rămâne. Scoaterea lui fără justificare este una dintre greșelile constante de barem.

3. $\int \frac{dx}{x^2-16}$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x}{4}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-4}{x+4}\right|+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{1}{8}\ln \left|\frac{x-4}{x+4}\right|+\mathcal{C}$
   • d) $\ln \left|x^2-16\right|+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{8}\ln \left|\frac{x-4}{x+4}\right|+\mathcal{C}$

   Este rândul $11$, cu $a=4$: $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\mathcal{C}$, deci coeficientul este $\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}$, pe un interval care nu conține $\pm 4$. Rândul $12$, cu arctangentă, are la numitor suma $x^2+a^2$ — confuzia dintre cele două rânduri e cea mai frecventă. Ultima variantă ar cere ca numărătorul să fie derivata numitorului.