Cât face sin² π/7+sin² 5π/14?

Scrii π/7= 2π/14 și observi că 2π/14+ 5π/14= π/2. Deci sin 5π/14=cos π/7, iar suma devine sin² π/7+cos² π/7=1. Fără complement, suma nu se poate calcula exact, fiindcă niciunul dintre arce nu este în tabelul valorilor cunoscute.

Cum se vede pe grafic egalitatea sin(π/2-x)=cos x?

Pe [0, π/2], graficul cosinusului este oglinda graficului sinusului față de verticala x= π/4. De exemplu, sinusoida are înălțimea 1/2 la π/6, iar cosinusoida are aceeași înălțime la π/3, punctul simetric.

Cum calculez cos 2π/3 folosind complementul?

Arcul este în cadranul II, deci îl reduci întâi: cos 2π/3=-cos π/3. Apoi folosești complementul: cos π/3=sin π/6= 1/2. Rezultatul este - 1/2. Ordinea contează: semnul se stabilește la reducere, înainte de schimbul sinus–cosinus.

Cum aflu complementul unui arc în radiani?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sinus și cosinus pentru arce complementare

Scazi arcul din $\frac{π}{2}$ , după ce aduci fracțiile la același numitor. Exemplu: complementul lui $\frac{2 π}{9}$ este $\frac{9 π}{18} - \frac{4 π}{18} = \frac{5 π}{18}$ . Controlul: $\frac{4 π}{18} + \frac{5 π}{18} = \frac{π}{2}$ . Apoi sinusul unuia este cosinusul celuilalt: $sin \frac{2 π}{9} = cos \frac{5 π}{18}$ . Complementul are sens pentru arce din primul cadran; un arc din alt cadran se reduce mai întâi acolo.

Două arce sunt complementare când suma lor este $\frac{π}{2}$ . Pe cercul trigonometric, punctul complementului se obține oglindind punctul arcului dat față de dreapta $y = x$ . Această oglindire schimbă locul coordonatelor, fără să schimbe vreun semn, deci $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ și $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ .

Rețeta are doi pași: afli complementul, aducând $\frac{π}{2}$ la numitorul comun, apoi înlocuiești sinusul cu cosinusul sau invers. Controlul se face adunând arcul cu complementul său.

Formula se folosește la clasa a IX-a numai pentru arce din primul cadran, adică $x \in [0, \frac{π}{2}]$ . Când arcul stă în alt cadran, îl readuci mai întâi acolo cu formulele de reducere cunoscute, care stabilesc semnul, și numai după aceea înlocuiești sinusul cu cosinusul sau invers.

În triunghiul dreptunghic, unghiurile ascuțite se completează la un unghi drept, deci sinusul unuia coincide cu cosinusul celuilalt. Pe primul sfert de tură, graficul cosinusului este imaginea graficului sinusului în dreapta verticală $x = \frac{π}{4}$ . Același tipar apare la orice unghi care poate fi raportat la două direcții perpendiculare între ele, ca latitudinea și unghiul polar.

De reținut

$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ și $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$
arce complementare: suma lor este $\frac{π}{2}$
în triunghiul dreptunghic, $sin B = cos C$

Greșeala tipică

Se calculează complementul lui $\frac{2 π}{9}$ ca $\frac{π}{2} - \frac{2 π}{9} = \frac{π}{7}$ , scăzând numărătorii și numitorii separat; corect, se aduce la numitorul $18$ și rezultă $\frac{5 π}{18}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cu care număr este egal $cos \frac{5 π}{12}$ ?
- a) $sin \frac{5 π}{12}$
- b) $- sin \frac{π}{12}$
- c) $sin \frac{π}{12}$
- d) $cos \frac{π}{12}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $sin \frac{π}{12}$

Complementul lui $\frac{5 π}{12}$ este $\frac{π}{12}$ , iar cosinusul unui arc este sinusul complementului său.
Care este complementul arcului $\frac{2 π}{15}$ ?
- a) $\frac{13 π}{15}$
- b) $\frac{11 π}{30}$
- c) $\frac{4 π}{15}$
- d) $\frac{19 π}{30}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{11 π}{30}$

$\frac{π}{2} = \frac{15 π}{30}$ și $\frac{2 π}{15} = \frac{4 π}{30}$ , iar $\frac{15 π}{30} - \frac{4 π}{30} = \frac{11 π}{30}$ .
În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , $sin B = 0, 43$ . Cât este $cos C$ ?
- a) $0, 57$
- b) $0, 90$
- c) $0, 43$
- d) $- 0, 43$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 43$

Unghiurile ascuțite sunt complementare, $C = \frac{π}{2} - B$ , deci $cos C = sin B = 0, 43$ .

Întrebări conexe

De ce în triunghiul dreptunghic $sin B = cos C$ ?

Unghiurile ascuțite $B$ și $C$ au suma $\frac{π}{2}$ . Cateta opusă lui $B$ este alăturată lui $C$ , deci ambele rapoarte au același numărător și aceeași ipotenuză. Într-un triunghi cu catetele $3$ și $4$ și ipotenuza $5$ , dacă $sin B = \frac{4}{5}$ , atunci și $cos C = \frac{4}{5}$ .

Ce legătură are latitudinea unui loc cu unghiul său polar?

Unghiul polar, măsurat de la axa Pământului, este complementul latitudinii: $9 0^{\circ}$ minus latitudinea. La o latitudine de $44, 4^{\circ}$ , unghiul polar este $45, 6^{\circ}$ . Sinusul latitudinii este egal cu cosinusul unghiului polar, după formula arcelor complementare.

Cât face $sin^{2} \frac{π}{7} + sin^{2} \frac{5 π}{14}$ ?

Scrii $\frac{π}{7} = \frac{2 π}{14}$ și observi că $\frac{2 π}{14} + \frac{5 π}{14} = \frac{π}{2}$ . Deci $sin \frac{5 π}{14} = cos \frac{π}{7}$ , iar suma devine $sin^{2} \frac{π}{7} + cos^{2} \frac{π}{7} = 1$ . Fără complement, suma nu se poate calcula exact, fiindcă niciunul dintre arce nu este în tabelul valorilor cunoscute.

Cum se vede pe grafic egalitatea $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ ?

Pe $[0, \frac{π}{2}]$ , graficul cosinusului este oglinda graficului sinusului față de verticala $x = \frac{π}{4}$ . De exemplu, sinusoida are înălțimea $\frac{1}{2}$ la $\frac{π}{6}$ , iar cosinusoida are aceeași înălțime la $\frac{π}{3}$ , punctul simetric.

Cum calculez $cos \frac{2 π}{3}$ folosind complementul?

Arcul este în cadranul II, deci îl reduci întâi: $cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3}$ . Apoi folosești complementul: $cos \frac{π}{3} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Rezultatul este $- \frac{1}{2}$ . Ordinea contează: semnul se stabilește la reducere, înainte de schimbul sinus–cosinus.

Oamenii mai întreabă și: complementul unui arc · arce complementare în radiani · pi supra 2 minus x · cum calculez complementul lui 2pi supra 9

Cum aflu complementul unui arc în radiani?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce în triunghiul dreptunghic sinB=cosC?

Ce legătură are latitudinea unui loc cu unghiul său polar?

Cât face sin27π​+sin2145π​?

Cum se vede pe grafic egalitatea sin(2π​−x)=cosx?

Cum calculez cos32π​ folosind complementul?

Continuă cu

De ce în triunghiul dreptunghic $sin B = cos C$ ?

Cât face $sin^{2} \frac{π}{7} + sin^{2} \frac{5 π}{14}$ ?

Cum se vede pe grafic egalitatea $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ ?

Cum calculez $cos \frac{2 π}{3}$ folosind complementul?