Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Unghi de referință și semn

Ce semne au deplasările unui cuțit la 150°?

Un segment de lungime $L$ la unghiul $θ$ dă deplasarea orizontală $L cos θ$ și deplasarea verticală $L sin θ$ . Fiecare are semnul cadranului. Exemplu: $L = 25$ mm la $15 0^{\circ}$ , în cadranul II, cu referința $3 0^{\circ}$ : pe orizontală $- 25 \cdot \frac{3}{2} \approx - 21, 65$ mm, pe verticală $25 \cdot \frac{1}{2} = 12, 5$ mm. Proba: $21, 6 5^{2} + 12, 5^{2} \approx 625 = 2 5^{2}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Orice unghi aflat în cadranele II, III sau IV se leagă de un unghi de referință din primul cadran: cel al punctului simetric. Valoarea sinusului, a cosinusului și a tangentei se ia din tabelul unghiurilor de bază, în modul, apoi se pune semnul cadranului. În cadranul II ordonata este pozitivă și abscisa negativă; în III ambele sunt negative; în IV abscisa este pozitivă și ordonata negativă.

Referința se obține scăzând unghiul din $18 0^{\circ}$ în cadranul II, scăzând $18 0^{\circ}$ din unghi în cadranul III și scăzând unghiul din $36 0^{\circ}$ în cadranul IV. Când unghiul trece de $36 0^{\circ}$ , scoți mai întâi turele complete. Pentru complementul unui unghi, adică diferența până la $9 0^{\circ}$ , sinusul devine cosinus și invers, fără alt semn.

Când cunoști o singură valoare, restul vine din faptul că pătratul abscisei plus pătratul ordonatei dă $1$ : afli pătratul valorii căutate, scoți rădăcina și alegi semnul după cadran. Tangenta este ordonata împărțită la abscisă; dacă o ai pe ea, afli întâi pătratul cosinusului.

Capcanele sunt referința scăzută din $27 0^{\circ}$ în loc de $36 0^{\circ}$ , semnul pierdut la fracții, formula scrisă fără pătrate și ambele semne $\pm$ puse fără să te uiți la cadran. Verifici cu suma pătratelor și cu semnele coordonatelor.

De reținut

deplasările unui segment $L$ la unghiul $θ$ : $L cos θ$ și $L sin θ$ , cu semnul cadranului
referința: din 180° în II, minus 180° în III, din 360° în IV
proba: pătratele deplasărilor dau $L^{2}$

Greșeala tipică

Se reduce unghiul de $30 0^{\circ}$ scăzând $27 0^{\circ}$ și se obține referința $3 0^{\circ}$ , deși în cadranul IV referința se măsoară din $36 0^{\circ}$ și este $6 0^{\circ}$ . Deplasarea ar ieși $L \cdot \frac{1}{2}$ în loc de $L \cdot \frac{3}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Acul unui manometru de la un reactor (chimie) a ajuns la $20 0^{\circ}$ față de semiaxa orizontală din dreapta, măsurat în sens trigonometric. Cu care dintre numerele de mai jos este egal $sin 20 0^{\circ}$ ?
- a) $sin 2 0^{\circ}$
- b) $cos 2 0^{\circ}$
- c) $- sin 2 0^{\circ}$
- d) $- sin 7 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- sin 2 0^{\circ}$

Unghiul de $20 0^{\circ}$ este în cadranul III, la $2 0^{\circ}$ după $18 0^{\circ}$ , deci referința este $2 0^{\circ}$ , iar sinusul este negativ: $- sin 2 0^{\circ}$ . Varianta $sin 2 0^{\circ}$ uită semnul; $cos 2 0^{\circ}$ schimbă sinusul cu cosinusul; $- sin 7 0^{\circ}$ ia referința $27 0^{\circ} - 20 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ în loc de $20 0^{\circ} - 18 0^{\circ}$ .
Tensiunea instantanee dintr-un circuit (electric) este $u = 200 sin θ$ , în volți. Cât este $u$ la $θ = 24 0^{\circ}$ ?
- a) $1003$ V
- b) $- 1003$ V
- c) $- 100$ V
- d) $- 1002$ V
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 1003$ V

Unghiul de $24 0^{\circ}$ este în cadranul III, cu referința $6 0^{\circ}$ , iar sinusul este negativ: $200 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1003$ V. Varianta $1003$ V pierde semnul; $- 100$ V este $200 cos 24 0^{\circ}$ , adică cosinusul în loc de sinus; $- 1002$ V folosește valoarea de la $4 5^{\circ}$ .
La reglarea unui far (auto), un aparat afișează pentru un unghi $x$ din cadranul III valoarea $sin x = - \frac{8}{17}$ . Cât este $cos x$ ?
- a) $- \frac{15}{17}$
- b) $\frac{15}{17}$
- c) $- \frac{9}{17}$
- d) $- \frac{225}{289}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{15}{17}$

Din $cos^{2} x = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$ rezultă $cos x = \pm \frac{15}{17}$ , iar în cadranul III cosinusul este negativ: $- \frac{15}{17}$ . Varianta $\frac{15}{17}$ alege semnul pozitiv; $- \frac{9}{17}$ scade $\frac{8}{17}$ din $1$ , fără pătrate; $- \frac{225}{289}$ este pătratul cosinusului, la care nu s-a scos rădăcina.

Întrebări conexe

Ce semn au deplasările când unghiul este în cadranul III?

Ambele sunt negative, pentru că mișcarea merge spre stânga și în jos, față de punctul de plecare. Pentru $L = 38$ mm la $21 0^{\circ}$ , referința este $3 0^{\circ}$ , deci pe orizontală $- 38 \cdot \frac{3}{2} \approx - 32, 91$ mm și pe verticală $- 38 \cdot \frac{1}{2} = - 19$ mm.

Cum aflu direcția unei mișcări din deplasările pe axe?

Împarți deplasarea verticală la cea orizontală și obții tangenta, iar semnele deplasărilor arată cadranul. Pentru $- 6$ mm pe orizontală și $6$ mm pe verticală, tangenta este $- 1$ , referința este $4 5^{\circ}$ , iar cadranul II dă unghiul $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .

Ce fac dacă unghiul din program depășește 360 de grade?

Scazi turele întregi, fiindcă după $36 0^{\circ}$ punctul revine în același loc. Unghiul $40 5^{\circ}$ înseamnă $405 - 360 = 4 5^{\circ}$ , deci deplasările sunt egale, pozitive, și au modulul $L \cdot \frac{2}{2}$ . La fel, $72 0^{\circ}$ înseamnă două ture complete și se reduce la $0^{\circ}$ .

De ce deplasarea orizontală este zero la 90° și la 270°?

La $9 0^{\circ}$ și la $27 0^{\circ}$ punctul este pe axa verticală, deci abscisa lui este zero, iar cosinusul este $0$ . Un segment de $40$ mm la $9 0^{\circ}$ merge doar în sus, $40$ mm, iar la $27 0^{\circ}$ doar în jos, $- 40$ mm.

Când rotunjesc valorile sinusului și cosinusului?

Numai la rezultatul final, nu la valorile de la mijloc. Pentru un segment de $40$ mm la $4 5^{\circ}$ , valoarea $0, 7$ în loc de $\frac{2}{2} \approx 0, 7071$ dă $28, 0$ mm, iar calculul complet dă $28, 28$ mm, adică cu $0, 28$ mm mai mult.

Cum apar unghiurile mari în probele oficiale?

Reducerea la primul cadran a apărut în 27 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la cerința 6 din Subiectul I. Formele cerințelor diferă: o sumă de cosinusuri, un sinus aflat din cosinus, o identitate și o tangentă dedusă dintr-o egalitate.

Oamenii mai întreabă și: semnele deplasărilor la un unghi obtuz · deplasarea pe axe la un unghi din cadranul II · cos și sin pentru un segment înclinat la 150 de grade · unghi mare redus la primul cadran pe strung