Unghiuri mari la primul cadran, la tehnologic

Când stropește grâul, fermierul nu se uită doar la cât de tare bate vântul, ci și la partea lui care bate de-a curmezișul benzilor, spre lanul vecin. Ca să o afli, calculezi sinusul unui unghi care trece adesea de 90°. Lecția e o foaie de referință pentru elevii de liceu tehnologic aflați în clasa a IX-a: adună formulele care duc orice unghi mare la primul cadran și regula care leagă sinusul de cosinus. O parte din ele apare la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un fermier tratează un lan de grâu de 36 de hectare cu o stropitoare purtată de tractor, pe benzi paralele cu marginea dinspre parcela vecină. Fișa de lucru a fermei (date din exemplu, nu o prevedere legală) cere ca vântul să nu depășească 4 m/s, iar partea lui perpendiculară pe benzi, care duce picăturile fine spre parcela vecină, să nu depășească 2 m/s. Prognoza dă pentru fiecare oră viteza vântului și direcția din care bate, față de nord. Inginerul agronom a trecut direcțiile în unghiuri măsurate de la direcția de mers a tractorului, în sens trigonometric, și vrea orele de lucru fără să deseneze fiecare situație, fiindcă prognoza se actualizează din oră în oră.

Întrebare: ce parte din vânt bate perpendicular pe benzi la fiecare oră și la care dintre ore se poate stropi?

De la situație la model

Cum aduci un unghi mare în primul cadran?

Un punct din cadranul II, III sau IV are un simetric în cadranul I: față de axa $Oy$, față de origine sau față de axa $Ox$. Simetricul are aceleași coordonate, până la semn. Unghiul de referință este unghiul din primul cadran al acestui simetric, notat $x$. Un unghi mare $\theta$ se scrie atunci $\theta =\pi -x$ în cadranul II, $\theta =\pi +x$ în cadranul III și $\theta =2\pi -x$ în cadranul IV. Valorile le iei din tabelul unghiurilor de bază, iar semnele din cadran: în cadranul II, de pildă, ordonata rămâne pozitivă, iar abscisa trece în negativ.

Ce se întâmplă cu tangenta?

Tangenta e raportul dintre ordonată și abscisă; raportul invers, abscisa împărțită la ordonată, are, la filiera tehnologică, lecția proprie Cotangenta: domeniu, grafic, perioadă. Punctele de la $x$ și de la $\pi +x$ sunt opuse față de origine, deci ambele coordonate își schimbă semnul, iar raportul rămâne același. Punctele de la $x$ și de la $\pi -x$ sunt simetrice față de $Oy$, deci doar abscisa își schimbă semnul, iar raportul își schimbă semnul.

Cum afli un sinus când cunoști cosinusul?

Punctul $M(x)$ e pe cercul de rază 1, deci pătratul abscisei plus pătratul ordonatei fac 1; aceasta este formula fundamentală a trigonometriei. Dacă știi cosinusul, pătratul sinusului este 1 minus pătratul cosinusului, iar semnul sinusului îl alegi după cadran. Dacă știi tangenta, împarți formula la pătratul cosinusului: 1 plus pătratul tangentei este egal cu 1 împărțit la pătratul cosinusului. Egalitatea servește și ca probă: după orice calcul, pătratele coordonatelor trebuie să dea 1 (sau pătratul razei $v$, la raza $v$). Mai e o simetrie, față de dreapta $y=x$, care schimbă între ele abscisa cu ordonata: la complementul unui unghi, sinusul și cosinusul își schimbă locurile. Iar pe primul cadran, când unghiul crește, punctul urcă: sinusul crește, iar cosinusul scade.

Metoda pas cu pas

1. Găsește cadranul unghiului $\theta$ și unghiul de referință $x$: în cadranul II, $x=\pi -\theta$; în III, $x=\theta -\pi$; în IV, $x=2\pi -\theta$, unde $\pi$ înseamnă 180°. Dacă unghiul depășește o tură, scazi mai întâi turele întregi, fiindcă după o tură completă punctul revine în același loc.
2. Scrie valoarea de la unghiul de referință, din tabelul unghiurilor de bază, fără să te uiți încă la semn, apoi pune semnul cadranului: ordonata e pozitivă în cadranele I și II, abscisa în I și IV, iar tangenta e pozitivă când ordonata și abscisa au același semn. La complementul $\frac{\pi }{2}-x$ nu cauți un semn, ci schimbi între ele sinusul și cosinusul.
3. Dacă ai doar o mărime și cadranul, completeaz-o cu formula fundamentală, alegând semnul după cadran, nu la întâmplare; tangenta o obții ca raport, iar dacă ai tangenta, afli întâi pătratul cosinusului și abia apoi cosinusul, cu semnul cadranului.
4. Verifică: pătratele coordonatelor dau 1 (la raza $v$, dau $v^2$), iar semnele se potrivesc cu cadranul; dacă un semn nu se potrivește, ai greșit cadranul sau unghiul de referință, iar dacă suma pătratelor nu iese 1, ai greșit o valoare. La o mărime măsurată, scrie și unitatea, de pildă m/s sau A, apoi compară ordinul de mărime cu cel al datelor: o parte a vântului nu poate depăși viteza vântului întreg, iar un curent instantaneu nu poate depăși valoarea lui de vârf.

Unghiurile de bază sunt în lecția Cercul trigonometric: unghiuri. Sinusul sumei a două unghiuri vine, la filiera tehnologică, în lecția Sinus și cosinus de sumă și diferență, iar restul lecțiilor clasei sunt pe pagina clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\left(\text{abscisa}\right)}^2+{\left(\text{ordonata}\right)}^2=1$$

În tabel, $x$ este unghiul de referință, din primul cadran, iar unghiul mare $\theta$ stă în a doua coloană. Formulele din tabel se aplică pentru $x$ în primul cadran, iar egalitatea de deasupra se aplică la orice unghi, pe cercul de rază 1. Pentru tangentă, cosinusul trebuie să fie nenul, adică unghiul să nu fie $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$. Verificare rapidă, de făcut pe loc: după orice calcul, pătratele coordonatelor dau 1, iar semnele urmează cadranul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Vântul peste direcția de mers

Domeniu: agricol.

Enunț. Reluăm prognoza din situația de pornire. Calculați partea transversală a vântului la fiecare oră, adică $|v\sin \theta |$, și stabiliți la ce ore se poate stropi, cu pragul de 2 m/s.

Rezolvare. Toate vitezele sunt de cel mult 4 m/s, deci decide partea transversală. Aducem fiecare unghi la primul cadran. La 06:00 unghiul de 120° e în cadranul II, cu unghiul de referință 60°, deci $|\sin 120^{\circ }|=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și partea transversală este $3,2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 2,77$ m/s, peste prag. La 07:00, 150° e în cadranul II, cu referința 30°: $4\cdot \frac{1}{2}=2,0$ m/s, exact cât pragul; fiindcă regula spune „nu depășește”, se poate stropi. La 09:00, 225° e în cadranul III, cu referința 45°: $2,6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1,84$ m/s, sub prag. La 11:00, 300° e în cadranul IV, cu referința 60°: $3,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 3,29$ m/s, peste prag. Se poate stropi doar la 07:00 și la 09:00; în rest, tractorul așteaptă.

Partea de pe direcția de mers, $v\cos \theta$, e negativă la primele trei ore (vânt din spate: cosinusul e negativ în cadranele II și III) și pozitivă la 11:00 (vânt din față).

Capcană. Cine reduce 300° scăzând 270° obține referința de 30° și partea transversală $3,8\cdot \frac{1}{2}=1,9$ m/s, adică sub prag. Ar porni stropitul la 11:00, deși vântul transversal real e de 3,29 m/s. În cadranul IV unghiul de referință se măsoară din 360°.

Verificare. Cele două părți ale vântului de la 07:00 trebuie să refacă viteza: ${\left(4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+2^2=12+4=16=4^2$.

Exemplul 2 — Curenții unui motor trifazat

Domeniu: electric.

Enunț. Un analizor de rețea înregistrează curenții instantanei ai unui motor trifazat. În amperi, ei sunt $i_1=14\sin \theta$, $i_2=14\sin (\theta +120^{\circ })$ și $i_3=14\sin (\theta +240^{\circ })$, unde $\theta$ este unghiul de fază. Calculați cei trei curenți la $\theta =60^{\circ }$ și suma lor.

Rezolvare. Pentru fiecare fază se află unghiul din argument, apoi ordonata punctului corespunzător. La $\theta =60^{\circ }$: $i_1=14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}\approx 12,12$ A. Pentru a doua fază, $60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$, iar punctul de la 180° are ordonata 0, deci $i_2=0$. Pentru a treia, $60^{\circ }+240^{\circ }=300^{\circ }$, în cadranul IV, cu unghiul de referință $360^{\circ }-300^{\circ }=60^{\circ }$ și cu ordonata negativă: $i_3=-7\sqrt{3}\approx -12,12$ A. Suma este $12,12+0-12,12=0$.

Capcană. Dacă uiți semnul minus la $\sin 300^{\circ }$, obții $i_3=+12,12$ A și suma aproximativ 24,2 A, fals pentru un motor cu fazele echilibrate.

Verificare. La un motor cu fazele echilibrate, suma curenților instantanei este zero la orice unghi; când o fază trece prin zero, celelalte două au valori opuse, ca aici.

Exemplul 3 — Un traseu al cuțitului de strung

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un strungar programează un strung cu comandă numerică pentru o canelură a unui ax de oțel. Cuțitul parcurge un segment de 18,4 mm, înclinat la 135° față de axa strungului, $Oz$, în sens trigonometric. Calculați deplasările pe $Oz$ și pe direcția perpendiculară $Ox$, în milimetri, rotunjite la 0,01 mm, așa cum le scrie în program.

Rezolvare. Deplasarea pe fiecare axă este lungimea segmentului înmulțită cu o coordonată a punctului de pe cerc. Unghiul de 135° e în cadranul II, cu referința de 45°. Deplasarea pe $Oz$ este $18,4\cdot \cos 135^{\circ }=-18,4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -13,01$ mm, adică spre mandrină, iar pe $Ox$ este $18,4\cdot \sin 135^{\circ }=18,4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 13,01$ mm, adică dinspre axa piesei spre exterior.

Capcană. Rotunjirea la jumătatea calculului strică precizia: dacă iei $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7$, obții $18,4\cdot 0,7=12,88$ mm, cu 0,13 mm mai puțin decât valoarea corectă. Rotunjești abia rezultatul final, ca să nu se adune erorile de la un pas la altul.

Verificare. Cele două deplasări trebuie să refacă segmentul: $13,01^2+13,01^2\approx 338,52$, iar $18,4^2=338,56$, deci diferența vine doar din rotunjire.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: unghi mare și cosinus din sinus

Domeniu: mediu.

Enunț. Cerința 6 din Subiectul I se poate pune în două forme, ca mai jos. a) Calculați $\cos 120^{\circ }-\sin 150^{\circ }$. b) Calculați $\cos x$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\sin x=\frac{3}{10}$. La b), $x$ este unghiul cu orizontala al benzii transportoare înclinate a unei stații de compostare: pe 10 m de bandă, materialul urcă 3 m.

Rezolvare. Cerința a) cere reducerea la primul cadran, iar b) formula fundamentală. a) Unghiul de 120° e în cadranul II, cu referința 60°, deci $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Unghiul de 150° are referința 30°, deci $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Diferența este $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$. b) Pătratele coordonatelor dau 1, deci ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{100}=\frac{91}{100}$. Cum $x$ e în primul cadran, cosinusul e pozitiv, deci $\cos x=\frac{\sqrt{91}}{10}\approx 0,95$. Pe orizontală, cei 10 m de bandă ocupă $10\cdot \frac{\sqrt{91}}{10}=\sqrt{91}\approx 9,54$ m.

Capcană. La a), cine scrie $\cos 120^{\circ }=+\frac{1}{2}$ obține diferența $0$ în loc de $-1$. În cadranul II cosinusul e negativ, iar semnul se pierde ușor când valoarea e în fracție.

Verificare. La b), ${\left(\frac{3}{10}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)}^2=\frac{9+91}{100}=1$, iar pe bandă $3^2+9,54^2\approx 100=10^2$. La a), cosinusul lui $120^{\circ }$ este negativ, iar sinusul lui $150^{\circ }$ este pozitiv, deci rezultatul $-1$ are semnele corecte.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $\sin 210^{\circ }$, $\cos 330^{\circ }$, $\mathrm{tg}135^{\circ }$ și $\cos \frac{5\pi }{6}$.

2. Cosinusul lui $x$ este $\frac{7}{9}$, iar $x$ este în cadranul IV. Calculează sinusul și tangenta lui $x$.

3. Tangenta lui $x$ este $\frac{5}{3}$, iar $x$ este în cadranul III. Calculează cosinusul și sinusul lui $x$.

4. Compară numerele $\cos 0,3$ și $\sin 1,1$ (unghiuri în radiani), scriind cosinusul ca sinusul complementului lui.

Nivelul 2 — situații

5. Un ghid de rafting conduce o barcă pneumatică ce traversează un râu. Curentul, de 1,8 m/s, curge pe o direcție care face 135° cu direcția de mers a bărcii. Calculează partea curentului pe direcția de mers și partea transversală, rotunjite la sutimi, și spune dacă curentul încetinește barca.

6. Pe un șantier de canalizare, două conducte ale rețelei au direcțiile de 150° și 330° față de axa $Ox$, măsurate pe planul de situație. Arată că sunt paralele, calculând tangenta fiecărui unghi.

7. Un anemometru ultrasonic de la o stație de epurare măsoară vântul pe două axe perpendiculare ale aparatului. Viteza vântului este de 5,4 m/s, iar componenta pe axa $Ox$ a aparatului este de $-2,3$ m/s. Calculează componenta pe axa $Oy$, în modul, rotunjită la sutimi, și spune în ce cadrane poate fi unghiul vântului, după semnul componentei pe $Ox$.

8. Într-o sală de muls rotativă (carusel), locul unei vaci se află pe platformă la 4,6 m de centrul ei. Pe planul fermei, centrul e originea, axa $Ox$ arată spre est, iar axa $Oy$ spre nord. Platforma se oprește, pe rând, cu acest loc la unghiurile $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{7\pi }{6}$, măsurate de la $Ox$ în sens trigonometric. Fără calculator, află cât de la nord sau de la sud de centru e locul în fiecare poziție și spune care poziții dau aceeași distanță și care dau distanțe opuse.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați $\sin 225^{\circ }+\sin 45^{\circ }$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați $\sin x$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și că cosinusul lui $x$ este $\frac{1}{9}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În triunghiul ascuțitunghic $ABC$ avem $\sin 45^{\circ }\cdot \sin A=\cos 60^{\circ }\cdot \cos A$. Calculați $\mathrm{tg}A$.

12. (Sinteză.) Un vânt de 3 m/s face cu direcția de mers un unghi $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, iar cosinusul lui $x$ este $-\frac{11}{12}$. a) Calculați sinusul lui $x$. b) Calculați partea vântului pe direcția de mers și partea transversală, rotunjită la sutimi. c) Se poate stropi, cu pragul de 2 m/s? d) Ce parte transversală ar avea același vânt la unghiul $2\pi -x$, adică simetric față de direcția de mers?

Răspunsuri și verificări

1. $\sin 210^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$, $\cos 330^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\mathrm{tg}135^{\circ }=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$ și $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Verificare: 210° e în cadranul III (sinus negativ), iar 330° în cadranul IV (cosinus pozitiv).

2. ${\sin }^{2}x=1-\frac{49}{81}=\frac{32}{81}$; în cadranul IV sinusul e negativ, deci $\sin x=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$, iar $\mathrm{tg}x=-\frac{4\sqrt{2}}{9}:\frac{7}{9}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$. Verificare: $\frac{49}{81}+\frac{32}{81}=1$.

3. Pătratul cosinusului este $\frac{1}{1+25/9}=\frac{9}{34}$; în cadranul III cosinusul e negativ, deci $\cos x=-\frac{3}{\sqrt{34}}=-\frac{3\sqrt{34}}{34}$, iar sinusul este $\frac{5}{3}\cdot \cos x=-\frac{5\sqrt{34}}{34}$. Verificare: $\frac{9}{34}+\frac{25}{34}=1$.

4. Cosinusul lui 0,3 este sinusul complementului: $\cos 0,3=\sin \left(\frac{\pi }{2}-0,3\right)\approx \sin 1,2708$. Sinusul crește pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, unde $1,1<1,2708<1,5708$, deci $\cos 0,3>\sin 1,1$. Verificare: 0,9553 și 0,8912.

5. $1,8\cdot \cos 135^{\circ }=-1,8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -1,27$ m/s și partea transversală este $1,8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1,27$ m/s. Unghiul dă direcția în care curge apa, deci minusul arată că apa trage barca înapoi: o încetinește. Verificare: $1,27^2+1,27^2=3,2258$, aproape de $1,8^2=3,24$.

6. $\mathrm{tg}150^{\circ }=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $330^{\circ }=150^{\circ }+180^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}330^{\circ }=\mathrm{tg}150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Tangentele egale înseamnă drepte paralele. Verificare: 330° e în cadranul IV (tangentă negativă), cu referința 30°.

7. Cosinusul unghiului este $-\frac{2,3}{5,4}$, deci pătratul sinusului este $1-\frac{5,29}{29,16}=\frac{23,87}{29,16}$, iar componenta pe $Oy$ are modulul $\sqrt{23,87}\approx 4,89$ m/s. Cosinusul e negativ, deci unghiul poate fi în cadranul II sau în III. Verificare: $2,3^2+4,89^2\approx 29,2\approx 5,4^2$.

8. Distanța față de axa $Ox$ este $4,6\sin \theta$: la $\frac{\pi }{6}$, $4,6\cdot \frac{1}{2}=2,3$ m nord; la $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, același sinus, tot 2,3 m nord; la $\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$, sinusul opus, 2,3 m sud. Primele două poziții dau aceeași distanță, iar fiecare dintre ele e opusă celei de-a treia. Verificare: punctele de la $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{6}$ au aceeași ordonată, iar cele de la $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{7\pi }{6}$ sunt opuse.

9. $\sin 225^{\circ }=\sin (180^{\circ }+45^{\circ })=-\sin 45^{\circ }$. $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\sin 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suma este $-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$. Verificare: 45° și 225° sunt opuse față de origine, deci ordonatele au suma zero.

10. Pătratele coordonatelor dau 1, deci ${\sin }^{2}x=1-\frac{1}{81}=\frac{80}{81}$. Cum $x$ e în primul cadran, sinusul e pozitiv, deci $\sin x=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$. Verificare: $\frac{1}{81}+\frac{80}{81}=1$, iar $\frac{4\sqrt{5}}{9}\approx 0,994$ e sub 1.

11. Valorile sunt $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Egalitatea devine $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin A=\frac{1}{2}\cos A$; cum $A$ e ascuțit, $\cos A\ne 0$ și împărțim la $\cos A$. Rezultă $\mathrm{tg}A=\frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Verificare: pătratul tangentei este $\frac{1}{2}$, deci pătratele sinusului și cosinusului sunt $\frac{1}{3}$ și $\frac{2}{3}$. Pătratele membrilor sunt $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ și $\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{6}$, iar membrii sunt pozitivi.

12. a) Pătratul sinusului este $1-\frac{121}{144}=\frac{23}{144}$ și, în cadranul III, sinusul este negativ, deci $\sin x=-\frac{\sqrt{23}}{12}$. b) Pe direcția de mers: $3\cdot \left(-\frac{11}{12}\right)=-2,75$ m/s (vânt din spate). Transversal: $3\cdot \frac{\sqrt{23}}{12}=\frac{\sqrt{23}}{4}\approx 1,20$ m/s. c) 1,20 m/s nu depășește 2 m/s, deci se poate stropi. d) Unghiul $2\pi -x$ e simetricul lui $x$ față de axa $Ox$, în cadranul II, iar sinusul lui este opusul sinusului lui $x$, deci partea transversală e tot de 1,20 m/s. Verificare: $2,75^2+{\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)}^2=7,5625+1,4375=9=3^2$.

Așa vine la Bac M3

Reducerea la primul cadran face parte din programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), la clasa a IX-a. Formula fundamentală nu e numită în programa de examen, dar rezolvările oficiale a 16 din cele 27 de probe în care a apărut tema o scriu explicit. Subiectul I, cerința 6, a avut la fiecare dintre cele 27 de probe câte 5 puncte. Cele patru cerințe de mai jos vin din probe diferite și arată cum se folosește foaia:

• Iunie 2013, Subiectul I, exercițiul 6: se cere suma dintre cosinusul lui 45° și cosinusul lui 135°, deci la pasul 1 duci 135° la referința 45°, iar la pasul 2 pui semnul minus (baremul probei dă 2 puncte pentru cosinusul lui 45°, 2 puncte pentru cosinusul lui 135° și 1 punct pentru sumă).
• Modelul din 2016, Subiectul I, exercițiul 6: se dă cosinusul $\frac{4}{5}$ în primul cadran și se cere sinusul $\frac{3}{5}$, deci la pasul 3 scrii pătratul sinusului ca 1 minus pătratul cosinusului (3 puncte în baremul probei), apoi alegi rădăcina pozitivă (2 puncte).
• Modelul din 2019, Subiectul I, exercițiul 6: se cere o identitate cu pătratul sumei și pătratul diferenței dintre sinus și cosinus, valabilă pentru orice $x$, deci la pasul 3 desfaci parantezele (2 puncte în baremul probei) și folosești suma pătratelor, egală cu 1 (3 puncte).
• Modelul din 2022, Subiectul I, exercițiul 6: într-un triunghi ascuțitunghic se dă o egalitate între două produse cu valori de bază și se cere tangenta unghiului $A$, deci la pasul 2 scrii valorile de bază (2 puncte în baremul probei), apoi sinusul egal cu cosinusul dă tangenta 1 (3 puncte).

Cerințele sunt scurte, iar greutatea stă în semn: la cosinusul lui 135° și la rădăcina din sinus. Exercițiile 9–11 din lecția aceasta au trei dintre aceste forme.

Greșeli care costă puncte

• Reduci 300° scăzând 270°, nu din 360° → cum o prinzi: în cadranul IV unghiul de referință se scade din 360°; sinusul de la 300° trebuie să fie negativ și să aibă modulul sinusului de la 60°.
• Uiți semnul minus la cosinusul din cadranul II sau III → cum o prinzi: la 150° vântul bate din spate, deci partea de pe direcția de mers e negativă.
• Scrii că cosinusul este 1 minus sinusul, fără pătrate → cum o prinzi: la sinusul $\frac{3}{10}$ ar ieși cosinusul $\frac{7}{10}$, dar $\frac{9}{100}+\frac{49}{100}=\frac{58}{100}$, nu 1.
• Pui ambele semne, $\pm$, la sinus, fără să te uiți la cadran → cum o prinzi: citești cadranul din enunț, iar semnul se alege odată cu el.
• Spui că tangenta de la $\pi -x$ este egală cu cea de la $x$ → cum o prinzi: scrii tangenta ca raport și vezi că numitorul își schimbă semnul, deci tangenta își schimbă semnul.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, tema formulelor trigonometrice de bază face parte din programa de examen doar în parte: reducerea la primul cadran se cere, iar formula fundamentală nu e numită. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 27 de probe.

Întrebări frecvente

Cum verifici dacă ai calculat bine părțile vântului de la 07:00? Ridici la pătrat cele două părți și le aduni: trebuie să obții pătratul vitezei. La 07:00, partea pe direcția de mers e $-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}\approx -3,46$ m/s, iar partea transversală e 2,0 m/s. Suma pătratelor este $12+4=16$, adică $4^2$, cât pătratul vitezei vântului.

Ce se schimbă dacă fișa fermei acceptă până la 3 m/s transversal? La 06:00 partea transversală e 2,77 m/s, deci intră sub prag, alături de 07:00, cu 2,0 m/s, și de 09:00, cu 1,84 m/s. Rămâne în afară doar ora 11:00, cu 3,29 m/s. Cu pragul de 3 m/s, prognoza din lecție lasă trei ore de lucru din patru.

De ce la 11:00 vântul bate din față, iar la 07:00 din spate? Direcția de mers e semiaxa $Ox$, iar semnul cosinusului unghiului dă semnul părții de pe direcția de mers. La 300° cosinusul e pozitiv, fiindcă punctul e în cadranul IV, deci vântul bate din față. La 150° cosinusul e negativ, fiindcă punctul e în cadranul II, deci vântul bate din spate.

Ce parte transversală ar avea vântul de 2,6 m/s de la 09:00 dacă unghiul ar fi 135°, nu 225°? Aceeași: 135° are unghiul de referință 45°, ca și 225°. Sinusul lui 135° este $\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci partea transversală e $2,6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1,84$ m/s. Se schimbă doar semnul sinusului, care contează pentru partea din care vine vântul, nu pentru mărimea lui.

Se cere formula fundamentală la Bacalaureatul M3? Programa de examen M_tehnologic nu o numește, dar rezolvările oficiale a 16 din cele 27 de probe cu tema aceasta o scriu, la sinusul aflat din cosinus și la identitățile cu pătratul sumei. Cerințele sunt la Subiectul I, cerința 6, notate cu 5 puncte.

Mai e nevoie de calcul dacă vântul bate exact din lateral? Nu. La 90° și la 270° punctul e pe axa $Oy$, deci sinusul e 1, respectiv $-1$, iar partea transversală este chiar viteza vântului. Un vânt de 4 m/s din lateral ar da 4 m/s transversal, dublul pragului de 2 m/s, iar stropitul s-ar opri.