Care egalitate este adevărată pentru orice $$x\in[0,\pi]$$, $$x\ne\frac{\pi}{2}$$?

$$\operatorname{tg}(\pi+x)=\operatorname{tg}x$$

$$\operatorname{tg}(\pi+x)=-\operatorname{tg}x$$

$$\operatorname{tg}(\pi-x)=\operatorname{tg}x$$

$$\operatorname{tg}(\pi+x)=\frac{1}{\operatorname{tg}x}$$

Scrii 3π/4=π- π/4 și folosești tg(π-x)=- tgx. Rezultă tg 3π/4=-1. Verificare pe cerc: punctul are coordonatele (- √2/2, √2/2), iar raportul lor este -1. Tangenta negativă se potrivește cu cadranul II, unde sinusul și cosinusul au semne diferite.

Cât face tg π/6+ tg 5π/6?

Arcul 5π/6 este π- π/6, deci tangenta lui este - √3/3. Suma este √3/3- √3/3=0. Arcele suplementare au tangente opuse, fiindcă razele lor sunt simetrice față de axa verticală.

Ce arce din [0, 2π] au aceeași tangentă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Tangenta lui π + x și π − x

Arcele $x$ și $π + x$ au aceeași tangentă, pentru că punctele lor sunt capetele aceluiași diametru, iar dreapta prin origine are o singură pantă: $tg (π + x) = tg x$ . Exemplu: $tg \frac{π}{3} = tg \frac{4 π}{3} = 3$ . Pe $[0, 2 π]$ , fiecare valoare a tangentei apare de regulă de două ori, o dată în cadranul I sau II și o dată în cadranul opus.

Tangenta unui arc măsoară înclinarea razei trase din centrul cercului spre punctul arcului. Punctul arcului $π + x$ stă pe aceeași dreaptă, în partea opusă originii, deci panta nu se schimbă: $tg (π + x) = tg x$ . Același rezultat se obține din raport, fiindcă numărătorul și numitorul își schimbă amândouă semnul.

Punctul arcului $π - x$ este imaginea punctului inițial în axa verticală. Dreapta lui coboară acolo unde prima urca, iar $tg (π - x) = - tg x$ .

Egalitățile au sens numai când toate tangentele există: pentru arcele din $[0, π]$ excludem $\frac{π}{2}$ . Arcele din ultimul cadran nu primesc o regulă proprie: pe valoarea numerică scazi întâi o jumătate de tură, obții un arc din cadranul al doilea și folosești apoi formula pentru $π - x$ .

Pe intervalul $[0, 2 π]$ , valorile tangentei din cadranul al treilea coincid cu valorile din primul cadran, iar valorile din al patrulea coincid cu cele din al doilea. Două arce cu aceeași tangentă pot avea puncte opuse pe cerc, deci pentru a identifica punctul mai trebuie știut cadranul. În optică, lumina care străbate centrul optic al unei lentile subțiri nu își schimbă panta, iar două direcții simetrice față de o verticală au pante opuse.

De reținut

$tg (π + x) = tg x$
$tg (π - x) = - tg x$
formulele cer $x \neq = \frac{π}{2}$

Greșeala tipică

Se scrie $tg (π + x) = - tg x$ , prin analogie cu sinusul și cosinusul; o jumătate de tură schimbă semnul ambelor coordonate, iar raportul lor rămâne același.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $tg \frac{7 π}{6} - tg \frac{π}{6}$ ?
- a) $\frac{2 3}{3}$
- b) $- \frac{2 3}{3}$
- c) $0$
- d) $\frac{3}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

$\frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ , iar tangenta nu se schimbă după o jumătate de tură, deci diferența este $0$ .
Cât este $tg \frac{5 π}{6}$ ?
- a) $- \frac{3}{3}$
- b) $\frac{3}{3}$
- c) $- 3$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{3}{3}$

$\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , deci tangenta este $- tg \frac{π}{6} = - \frac{3}{3}$ .
Care egalitate este adevărată pentru orice $x \in [0, π]$ , $x \neq = \frac{π}{2}$ ?
- a) $tg (π + x) = - tg x$
- b) $tg (π + x) = tg x$
- c) $tg (π - x) = tg x$
- d) $tg (π + x) = \frac{1}{tg x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $tg (π + x) = tg x$

Punctele lui $x$ și $π + x$ sunt pe aceeași dreaptă prin origine, deci au aceeași pantă.

Întrebări conexe

Cât este $tg \frac{3 π}{4}$ ?

Scrii $\frac{3 π}{4} = π - \frac{π}{4}$ și folosești $tg (π - x) = - tg x$ . Rezultă $tg \frac{3 π}{4} = - 1$ . Verificare pe cerc: punctul are coordonatele $(- \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ , iar raportul lor este $- 1$ . Tangenta negativă se potrivește cu cadranul II, unde sinusul și cosinusul au semne diferite.

Cum calculez tangenta unui arc din cadranul IV, ca $\frac{5 π}{3}$ ?

Scazi o jumătate de tură: $\frac{5 π}{3} - π = \frac{2 π}{3}$ , deci $tg \frac{5 π}{3} = tg \frac{2 π}{3}$ . Apoi $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ , deci tangenta este $- 3$ . Semnul negativ se potrivește cu cadranul IV. Același rezultat vine din câtul $sin \frac{5 π}{3} : cos \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = - 3$ .

Ce pante au malurile simetrice ale unui canal?

Dacă un mal urcă sub unghiul $α$ față de orizontală, malul simetric față de verticala din mijloc are direcția $π - α$ . Pantele sunt $tg α$ și $- tg α$ . Pentru $α = \frac{π}{6}$ , pantele sunt $\frac{3}{3}$ și $- \frac{3}{3}$ .

De ce formulele pentru tangentă nu se aplică la $x = \frac{π}{2}$ ?

În $\frac{π}{2}$ cosinusul este $0$ , deci $tg \frac{π}{2}$ nu există. O egalitate precum $tg (π - x) = - tg x$ are sens doar când ambele tangente există. Pentru $x = \frac{π}{2}$ ambii membri lipsesc, iar formula nu spune nimic.

Cât face $tg \frac{π}{6} + tg \frac{5 π}{6}$ ?

Arcul $\frac{5 π}{6}$ este $π - \frac{π}{6}$ , deci tangenta lui este $- \frac{3}{3}$ . Suma este $\frac{3}{3} - \frac{3}{3} = 0$ . Arcele suplementare au tangente opuse, fiindcă razele lor sunt simetrice față de axa verticală.

Oamenii mai întreabă și: tangenta lui pi plus x · arce cu aceeași tangentă · de ce tangenta se repetă după pi · tg de 4pi supra 3

Ce arce din [0, 2π] au aceeași tangentă?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este tg43π​?

Cum calculez tangenta unui arc din cadranul IV, ca 35π​?

Ce pante au malurile simetrice ale unui canal?

De ce formulele pentru tangentă nu se aplică la x=2π​?

Cât face tg6π​+tg65π​?

Continuă cu

Cât este $tg \frac{3 π}{4}$ ?

Cum calculez tangenta unui arc din cadranul IV, ca $\frac{5 π}{3}$ ?

De ce formulele pentru tangentă nu se aplică la $x = \frac{π}{2}$ ?

Cât face $tg \frac{π}{6} + tg \frac{5 π}{6}$ ?