Formulele pentru tangentă (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O rază de lumină care trece prin centrul optic al unei lentile subțiri nu se abate: iese pe aceeași dreaptă pe care a intrat. Dacă alegem centrul optic drept origine, un punct al razei dinaintea lentilei și unul de după ea sunt de o parte și de alta a originii, iar dreapta lor are o singură pantă. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această observație devine formula $tg (π + x) = tg x$ , iar oglindirea față de axa verticală dă a doua formulă, pentru $π - x$ . Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen conține funcția tangentă și „Reducerea la primul cadran”, în capitolul „Elemente de trigonometrie”; modelul oficial publicat nu are o cerință despre tangentă.

Lecția folosește definiția din funcția tangentă pe [0, 2π] și domeniul ei: tangenta este panta dreptei care unește originea cu punctul de pe cerc. Mai folosim formulele pentru $π - x$ din reducerea la primul cadran și pe cele pentru $π + x$ din lecția precedentă. Toate calculele rămân pe intervalul $[0, 2 π]$ , fără cele două valori în care tangenta nu există.

Ce vei învăța

Vei explica, prin panta dreptei $O M$ , de ce tangenta nu se schimbă după o jumătate de tură.
Vei obține $tg (π + x) = tg x$ și $tg (π - x) = - tg x$ și ca cât, pornind de la reducerile sinusului și ale cosinusului.
Vei preciza pentru ce arce au sens formulele și vei scrie condiția $x \neq = \frac{π}{2}$ .
Vei calcula tangenta arcelor din cadranele al doilea și al treilea cu câte o formulă, iar pe cea a unui arc numeric din cadranul al patrulea în doi pași.
Vei citi formulele pe cercul trigonometric, pe axa tangentelor și pe graficul tangentei.
Vei folosi pantele opuse și pantele egale în modele din optică și din inginerie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se întâmplă cu panta dreptei OM după o jumătate de tură?

În lecția despre funcția tangentă ai văzut că $tg x$ este panta dreptei $O M$ , unde $M = M (x)$ este punctul de pe cercul trigonometric. Punctul lui $π + x$ este diametral opus lui $M$ : dreapta $O M$ , prelungită dincolo de origine, trece chiar prin el. O dreaptă are o singură pantă, oricare două puncte ale ei am alege.

Formula de reducere a tangentei pentru π + x este egalitatea $tg (π + x) = tg x$ , adevărată pentru orice $x \in [0, π]$ cu $x \neq = \frac{π}{2}$ ; în aceste condiții și $π + x$ aparține domeniului tangentei pe $[0, 2 π]$ .

Pe axa tangentelor, dreapta $x = 1$ , formula se vede direct. Prelungită până la această dreaptă verticală, dreapta $O M$ o întâlnește o dată, în punctul $T$ , iar înălțimea lui $T$ dă tangenta pentru ambele arce, $x$ și $π + x$ . Figura arată situația pentru un arc din primul cadran și, în plus, oglinditul lui față de axa verticală, care duce la a doua formulă.

M(x) și M(π + x) dau același T; M(π − x) dă T′, cu ordonata opusă (x = 25°).

2. Cum se obține aceeași formulă din sinus și cosinus?

Pornim de la definiția tangentei ca raport și folosim formulele din lecția precedentă, $sin (π + x) = - sin x$ și $cos (π + x) = - cos x$ . Pentru $x \neq = \frac{π}{2}$ , numitorul nu este zero, iar

$tg (π + x) = \frac{sin ( π + x )}{cos ( π + x )} = \frac{- sin x}{- cos x} = tg x .$

Un cât nu se schimbă dacă înlocuim și deîmpărțitul, și împărțitorul cu opusele lor. Argumentul prin pantă și cel prin cât ajung la aceeași concluzie din direcții diferite: primul privește dreapta, al doilea coordonatele punctului.

O consecință utilă pentru calcul: un arc din cadranul al treilea are aceeași tangentă ca arcul din primul cadran aflat cu o jumătate de tură înaintea lui. De exemplu, $π + \frac{π}{9}$ și $\frac{π}{9}$ au aceeași tangentă, deși sinusurile și cosinusurile lor sunt opuse.

3. De ce la π − x tangenta își schimbă semnul?

Punctul lui $π - x$ este oglinditul lui $M (x)$ față de axa $O y$ : are aceeași ordonată și abscisa opusă. Dreapta care îl unește cu originea este oglindirea dreptei $O M$ față de axa verticală. O astfel de oglindire păstrează înclinarea în valoare absolută, dar inversează sensul: o dreaptă care urca spre dreapta devine una care coboară spre dreapta.

Din formulele pentru $π - x$ , $sin (π - x) = sin x$ și $cos (π - x) = - cos x$ , obținem, pentru $x \neq = \frac{π}{2}$ ,

$tg (π - x) = \frac{sin x}{- cos x} = - tg x .$

Acum doar împărțitorul trece la opus, iar un cât al cărui împărțitor își schimbă semnul devine opusul câtului inițial. Pe axa tangentelor, dreapta oglindită taie axa într-un punct $T^{'}$ , simetric față de axa $O x$ cu punctul $T$ al arcului inițial.

4. Pentru ce arce au sens formulele?

Tangenta există numai dacă cosinusul este nenul, adică, pe $[0, 2 π]$ , pentru arcele diferite de $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ . Formulele leagă tangenta lui $x$ de tangenta altui arc, deci ambele trebuie să existe. Pentru $x \in [0, π]$ , singurul arc exclus este $\frac{π}{2}$ : atunci $π + x$ ar fi $\frac{3 π}{2}$ , iar $π - x$ ar fi tot $\frac{π}{2}$ .

La capetele intervalului, formulele dau valori cunoscute. Pentru $x = 0$ obținem $tg π = tg 0 = 0$ , iar pentru $x = π$ obținem $tg 2 π = tg π = 0$ . Punctele sunt pe axa $O x$ , deci dreapta $O M$ este chiar axa orizontală, cu panta zero.

În grade, aceeași condiție se scrie $x \neq = 9 0^{\circ}$ : pentru un unghi de $9 0^{\circ}$ , dreapta $O M$ este chiar axa verticală, paralelă cu axa tangentelor, și nu o întâlnește. Nicio formulă nu poate da o valoare acolo unde punctul de intersecție lipsește.

Când scrii o egalitate cu tangente care conține o literă, precizează condiția. Scrierea completă este „pentru orice $x \in [0, π]$ , $x \neq = \frac{π}{2}$ ”. Fără ea, egalitatea ar pretinde ceva și despre un arc în care niciun membru nu există.

5. Cum obținem tangenta unui arc din cadranul al patrulea?

Programa dă pentru tangentă numai două formule, pentru $π + x$ și pentru $π - x$ . Pentru un arc din cadranul al patrulea nu există o a treia formulă: lucrăm pe valoarea lui numerică și aplicăm pe rând formulele pe care le avem. Arcul se scrie ca $π$ plus un arc din cadranul al doilea, iar acesta se scrie apoi ca $π$ minus un arc din primul cadran.

Drumul pe unghiul de $34 0^{\circ}$ . Primul pas: $34 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 16 0^{\circ}$ , deci, după formula pentru $π + x$ , $tg 34 0^{\circ} = tg 16 0^{\circ}$ . Al doilea pas: $16 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 2 0^{\circ}$ , deci, după formula pentru $π - x$ , $tg 16 0^{\circ} = - tg 2 0^{\circ}$ . Rezultatul este $tg 34 0^{\circ} = - tg 2 0^{\circ}$ , un număr negativ.

Controlul vine din cerc. Punctul unghiului de $34 0^{\circ}$ este în cadranul al patrulea, cu abscisa pozitivă și ordonata negativă, deci raportul lor este negativ, cum a ieșit. Nu am enunțat nicio egalitate nouă cu literă: am folosit de două ori formulele din programă, pe un număr dat. Aceeași ordine a pașilor funcționează pentru orice arc numeric din cadranul al patrulea.

Rezumatul pe cadrane, pentru un arc $t$ din primul cadran: în cadranul al doilea, $tg (π - t) = - tg t$ ; în al treilea, $tg (π + t) = tg t$ ; în al patrulea, cei doi pași de mai sus. Semnele se potrivesc cu regula semnelor din lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane.

6. Ce vedem pe graficul tangentei?

Pe intervalul $[0, 2 π]$ , graficul tangentei are trei bucăți. Formula pentru $π + x$ spune că porțiunea de pe $[π, \frac{3 π}{2})$ are exact înălțimile porțiunii de pe $[0, \frac{π}{2})$ : dacă muți bucata din stânga cu $π$ spre dreapta, ea se suprapune peste porțiunea de după $π$ . La fel, porțiunea de pe $(\frac{3 π}{2}, 2 π]$ repetă înălțimile de pe $(\frac{π}{2}, π]$ .

Formula pentru $π - x$ spune altceva: punctele $(x, tg x)$ și $(π - x, - tg x)$ sunt simetrice față de punctul $(\frac{π}{2}, 0)$ . Ele au abscisele la aceeași distanță de $\frac{π}{2}$ și ordonatele opuse. Pe grafic, o valoare pozitivă la stânga lui $\frac{π}{2}$ are perechea ei negativă la dreapta. Graficul confirmă, așadar, ce spun formulele, fără niciun calcul nou.

Aceste observații rămân în interiorul intervalului $[0, 2 π]$ , cum cere programa. Descrierea tangentei pe toată axa numerelor reale, cu repetarea valorilor la nesfârșit, aparține clasei a X-a.

7. Ce spun formulele despre o rază care trece prin centrul unei lentile?

Pentru o lentilă subțire, o rază care trece prin centrul optic își păstrează direcția. Alegem un reper cu originea în centrul optic și cu axa $O x$ de-a lungul axei optice principale. Raza este atunci o dreaptă prin origine, iar punctele ei de o parte și de alta a lentilei corespund, pe cerc, unor arce $x$ și $π + x$ .

Formula $tg (π + x) = tg x$ exprimă exact faptul că înclinarea razei măsurată înainte de lentilă este aceeași cu cea măsurată după ea. Pentru o rază care nu trece prin centru, lentila schimbă direcția, iar formula nu mai descrie drumul luminii; modelul se referă numai la raza centrală și la o lentilă subțire.

În practică, coordonatele se măsoară în centimetri sau în milimetri, dar panta nu are unitate: este un raport între două lungimi măsurate în aceeași unitate. Dacă schimbi centimetrii cu milimetrii, ambele coordonate se înmulțesc cu zece, iar raportul rămâne același. De aceea tangenta arcului de direcție descrie raza independent de scara desenului, cu condiția ca ambele axe să aibă aceeași unitate.

Oglindirea față de axa verticală are și ea un corespondent practic: două direcții simetrice față de o verticală, cum sunt pereții unui profil simetric, au pante opuse. Formula pentru $π - x$ dă semnul fără alt calcul.

8. Valori digitale și controlul lor

Pentru arcele care nu sunt valori de bază, un calculator dă tangenta direct. Formulele sunt utile ca verificare. De exemplu, aplicația setată în radiani dă $tg 1 \approx 1, 5574$ ; formula pentru $π + x$ spune că $tg (π + 1)$ are aceeași valoare, iar punctul lui $π + 1 \approx 4, 1416$ se află în cadranul al treilea, unde tangenta este pozitivă.

Atenție la arcele apropiate de valorile interzise. Acolo tangenta ia valori foarte mari în modul, iar o eroare mică de introducere schimbă mult rezultatul. Reducerea mută calculul în primul cadran, unde îl poți compara cu ce știi despre creșterea tangentei.

Valorile se rotunjesc, nu se trunchiază, iar semnul $\approx$ rămâne până la răspuns. Un rezultat digital confirmă un caz; dovada formulelor rămâne cea geometrică și cea prin raport, din secțiunile 1–3.

Un rezultat se controlează rapid în trei feluri. Primul control este semnul. În cadranele întâi și al treilea, abscisa și ordonata au același semn, deci tangenta este pozitivă; în cadranele al doilea și al patrulea, ele au semne diferite, deci tangenta este negativă. Dacă formula ți-a dat un semn diferit de cel al cadranului, ai ales greșit forma arcului.

Al doilea control este mărimea. Pentru arcele din primul cadran, tangenta este mai mică decât $1$ înainte de $\frac{π}{4}$ și mai mare după. Reducerea păstrează valoarea absolută, deci un arc din cadranul al treilea aflat la mai puțin de $\frac{π}{4}$ după $π$ are tangenta între $0$ și $1$ . Un rezultat de ordinul zecilor pentru un astfel de arc arată o greșeală de calcul.

Al treilea control este existența. Înainte de a aplica o formulă, verifică dacă arcul este diferit de $\frac{π}{2}$ și de $\frac{3 π}{2}$ . Dacă nu este, expresia nu are valoare, iar o egalitate cu ea nu are sens. Controalele acestea durează câteva secunde și se fac înainte ca rezultatul să intre într-un calcul mai lung.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O sumă de tangente

Calculează $tg \frac{7 π}{6} + tg \frac{3 π}{4}$ .

Rezolvare. Arcul $\frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ este în cadranul al treilea, deci $tg \frac{7 π}{6} = tg \frac{π}{6} = \frac{3}{3}$ . Arcul $\frac{3 π}{4} = π - \frac{π}{4}$ este în cadranul al doilea, deci $tg \frac{3 π}{4} = - tg \frac{π}{4} = - 1$ .

Suma este $tg \frac{7 π}{6} + tg \frac{3 π}{4} = \frac{3}{3} - 1$ , un număr negativ, de aproximativ $- 0, 4226$ . Primul termen este pozitiv, deși sinusul și cosinusul arcului sunt negative: împărțind două numere cu același semn, obținem un rezultat pozitiv.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev calculează: $tg \frac{5 π}{6} = \frac{1/2}{3 /2} = \frac{3}{3}$ . Unde greșește și care este valoarea corectă?

Rezolvare. Elevul a folosit pentru cosinus valoarea din primul cadran, fără semn. Arcul $\frac{5 π}{6}$ este în cadranul al doilea, unde cosinusul este negativ: $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ . Raportul corect este negativ.

Cu formula lecției, drumul este mai scurt: $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , deci $tg \frac{5 π}{6} = - tg \frac{π}{6} = - \frac{3}{3}$ . Formula pune semnul automat; calculul prin raport cere grijă la semnul fiecărei coordonate.

Exemplul 3 — Raza prin centrul optic

Într-un reper cu originea în centrul optic al unei lentile subțiri, o rază trece prin punctul $Q (9, 4)$ , după lentilă, și prin punctul $P (- 18, - 8)$ , înainte de lentilă, coordonatele fiind în centimetri. Arată că panta razei este aceeași măsurată din fiecare punct și explică legătura cu formula $tg (π + x) = tg x$ .

Rezolvare. Panta dreptei $O Q$ este $\frac{4}{9}$ , iar panta dreptei $O P$ este $\frac{- 8}{- 18} = \frac{4}{9}$ . Punctele $P$ și $Q$ sunt coliniare cu originea și se află de o parte și de alta a ei.

Dacă direcția lui $Q$ corespunde arcului $x$ din primul cadran, cu $tg x = \frac{4}{9}$ , direcția lui $P$ corespunde arcului $π + x$ din cadranul al treilea. Formula lecției garantează că $tg (π + x) = tg x = \frac{4}{9}$ , adică raza nu și-a schimbat înclinarea la trecerea prin lentilă. Modelul presupune o lentilă subțire și o rază care trece chiar prin centrul ei.

Exemplul 4 — Citește figura

În figura din secțiunea 1, arcul $x = 2 5^{\circ}$ are punctul $T$ pe axa tangentelor cu ordonata aproximativ $0, 4663$ . Folosind figura și formulele lecției, scrie tangentele arcelor de $20 5^{\circ}$ , $15 5^{\circ}$ și $33 5^{\circ}$ .

Rezolvare. Punctul lui $20 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + 2 5^{\circ}$ este diametral opus, coliniar cu $M (2 5^{\circ})$ și cu originea, deci $tg 20 5^{\circ} = tg 2 5^{\circ} \approx 0, 4663$ . Punctul lui $15 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - 2 5^{\circ}$ este oglinditul față de axa verticală, iar dreapta lui taie axa tangentelor în $T^{'}$ , deci $tg 15 5^{\circ} \approx - 0, 4663$ .

Arcul $33 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + 15 5^{\circ}$ este diametral opus lui $15 5^{\circ}$ , pe aceeași dreaptă, deci $tg 33 5^{\circ} = tg 15 5^{\circ} \approx - 0, 4663$ . Figura dă cifrele; formulele spun care dintre cele două puncte, $T$ sau $T^{'}$ , corespunde fiecărui arc.

Exemplul 5 — O valoare digitală mare, aproape de 3π/2

Un elev obține pe calculator, în radiani, $tg 4, 7 \approx 80, 7128$ și crede că a greșit. Are dreptate? Folosește formula pentru $π + x$ ca să explici rezultatul.

Rezolvare. Arcul $4, 7$ este între $π \approx 3, 1416$ și $\frac{3 π}{2} \approx 4, 7124$ , deci în cadranul al treilea, foarte aproape de valoarea interzisă. Scriem $4, 7 = π + (4, 7 - π)$ , cu $4, 7 - π \approx 1, 5584$ , un arc din primul cadran foarte aproape de $\frac{π}{2}$ .

Tangenta lui $4, 7$ este egală cu tangenta acestui arc, iar lângă $\frac{π}{2}$ tangenta ia valori foarte mari. Rezultatul pozitiv și mare este corect. O valoare negativă ar fi arătat o eroare, fiindcă în cadranul al treilea tangenta este pozitivă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $tg \frac{2 π}{3} \cdot tg \frac{5 π}{3} = 3$ .

Rezolvare. Arcul $\frac{5 π}{3}$ este în cadranul al patrulea; îl scriem $π + \frac{2 π}{3}$ , iar formula pentru $π + x$ dă $tg \frac{5 π}{3} = tg \frac{2 π}{3}$ . Produsul devine $tg^{2} \frac{2 π}{3}$ , fără alt calcul. Apoi $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ , deci $tg \frac{2 π}{3} = - tg \frac{π}{3} = - 3$ .

Produsul este $(- 3)^{2} = 3$ . Ambii factori sunt negativi, cum cer cadranele al doilea și al patrulea, iar produsul lor este pozitiv. Enunțul este construit în stilul cerințelor „arătați că” de la Subiectul I, fără a fi preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie mai întâi forma arcului ( $π + t$ , $π - t$ sau o combinație), apoi aplică formula. La expresiile cu literă, precizează condiția $x \neq = \frac{π}{2}$ .

1. Calculează $tg \frac{5 π}{4} + tg \frac{2 π}{3}$ .

2. Calculează $tg 21 0^{\circ} - tg 13 5^{\circ}$ .

3. Calculează $tg \frac{11 π}{6} \cdot tg \frac{π}{3}$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $x \in (\frac{π}{2}, π)$ , atunci $tg (π + x) < 0$ .

5. Simplifică $tg (π - x) cos x + 3 sin x$ , pentru $x \in [0, π]$ , $x \neq = \frac{π}{2}$ .

6. Pentru un arc $x$ din primul cadran se știe că $tg (π + x) = \frac{9}{40}$ . Află $tg x$ și $tg (π - x)$ și precizează cadranele punctelor lui $π + x$ și $π - x$ .

7. Pentru ce valori ale lui $x \in [0, π]$ sunt definite expresiile $tg (π + x)$ și $tg (π - x)$ ? Justifică.

8. Știind că $tg 1, 2 \approx 2, 5722$ , estimează $tg (π - 1, 2)$ și $tg (π + 1, 2)$ și precizează cadranele punctelor asociate.

9. (Problemă aplicată.) Secțiunea unui canal de irigație are fundul orizontal, lat de $2$ m, și două maluri drepte, simetrice față de verticala care trece prin mijlocul fundului. Malul drept urcă spre dreapta cu panta $1, 5$ . Ce pantă are malul stâng, citit de la stânga la dreapta? Cât de lat este canalul la suprafața apei, când adâncimea ei este $0, 9$ m?

10. Punctul $(0, 4; tg 0, 4)$ se află pe graficul tangentei, cu $tg 0, 4 \approx 0, 4228$ . Scrie coordonatele punctului graficului care are aceeași ordonată pe bucata din mijloc și ale punctului care are ordonata opusă, pe aceeași bucată.

11. Ordonează crescător, fără calculator, numerele $tg 10 0^{\circ}$ , $tg 17 0^{\circ}$ , $tg 19 0^{\circ}$ și $tg 26 0^{\circ}$ .

12. Un elev calculează: „ $tg 32 0^{\circ} = tg (18 0^{\circ} + 14 0^{\circ}) = tg 14 0^{\circ} = tg 4 0^{\circ}$ ”. Găsește pasul greșit și scrie rezultatul corect cu ajutorul lui $tg 4 0^{\circ}$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $tg \frac{2 π}{3} + 2 sin \frac{π}{3} = 0$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $tg 19 5^{\circ} + tg 16 5^{\circ} = 0$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\frac{tg ( π + x )}{tg ( π - x )} = - 1$ , pentru orice $x \in (0, π)$ , $x \neq = \frac{π}{2}$ .

16. Fără calculator, stabilește semnul lui $tg 4, 2$ și al lui $tg 5, 5$ , scriind fiecare arc ca $π + t$ .

17. Arată, fără calculator, că $tg \frac{π}{18} \cdot tg \frac{19 π}{18} = tg \frac{17 π}{18} \cdot tg \frac{35 π}{18}$ . Pentru ultimul factor scrie arcul ca $π$ plus un arc din cadranul al doilea.

18. (Provocare.) O bilă se deplasează pe o masă, în linie dreaptă, cu direcția arcului $x$ din primul cadran, unde $tg x = 0, 5$ . Ea ricoșează întâi dintr-un perete vertical, care îi schimbă direcția în $π - x$ , apoi dintr-un perete orizontal, care schimbă direcția $π - x$ în $2 π - (π - x)$ . Arată că, la final, bila se mișcă pe o direcție paralelă cu cea inițială și precizează panta.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{5 π}{4} = π + \frac{π}{4}$ dă $tg \frac{5 π}{4} = 1$ , iar $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ dă $tg \frac{2 π}{3} = - 3$ . Suma este $tg \frac{5 π}{4} + tg \frac{2 π}{3} = 1 - 3$ , aproximativ $- 0, 7321$ .

2. $21 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}$ dă $tg 21 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , iar $13 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}$ dă $tg 13 5^{\circ} = - 1$ . Diferența este $tg 21 0^{\circ} - tg 13 5^{\circ} = \frac{3}{3} + 1$ .

3. $\frac{11 π}{6} = π + \frac{5 π}{6}$ , deci $tg \frac{11 π}{6} = tg \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{3}$ . Produsul este $- \frac{3}{3} \cdot 3 = - 1$ .

4. Adevărat. Pentru $x$ din cadranul al doilea, $tg x < 0$ , iar $tg (π + x) = tg x$ . Geometric, $π + x$ ajunge în cadranul al patrulea, unde tangenta este negativă. De exemplu, pentru $x = \frac{2 π}{3}$ obținem $tg \frac{5 π}{3} = - 3$ .

5. $tg (π - x) = - \frac{s i n x}{c o s x}$ , deci primul termen este $- sin x$ , iar expresia devine $- sin x + 3 sin x$ : $tg (π - x) cos x + 3 sin x = 2 sin x$ pentru orice $x$ din domeniul precizat. Cosinusul se simplifică fiindcă este nenul pentru $x \neq = \frac{π}{2}$ .

6. Jumătatea de tură nu schimbă tangenta, deci $tg x = tg (π + x) = \frac{9}{40}$ . Apoi $tg (π - x) = - tg x = - \frac{9}{40}$ . Punctul lui $π + x$ este în cadranul al treilea, unde tangenta e pozitivă, iar cel al lui $π - x$ în cadranul al doilea, unde e negativă.

7. $tg (π + x)$ cere $cos (π + x) \neq = 0$ , adică $cos x \neq = 0$ ; $tg (π - x)$ cere la fel $cos x \neq = 0$ . Pe $[0, π]$ , cosinusul se anulează numai în $\frac{π}{2}$ , deci ambele expresii sunt definite pentru toate valorile din interval, cu excepția lui $\frac{π}{2}$ .

8. $tg (π - 1, 2) = - tg 1, 2 \approx - 2, 5722$ , cu punctul în cadranul al doilea, fiindcă $π - 1, 2 \approx 1, 9416$ . $tg (π + 1, 2) = tg 1, 2 \approx 2, 5722$ , cu punctul în cadranul al treilea, fiindcă $π + 1, 2 \approx 4, 3416$ .

9. Direcția malului drept corespunde unui arc $x$ din primul cadran, cu $tg x = 1, 5$ . Malul stâng este oglinditul lui față de verticală, deci direcția lui corespunde arcului $π - x$ , cu panta $- 1, 5$ . Fiecare mal se lărgește pe orizontală cu $\frac{0 , 9}{1 , 5} = 0, 6$ m până la adâncimea apei, deci lățimea la suprafață este $2 + 2 \cdot 0, 6 = 3, 2$ m. Modelul presupune maluri drepte și apa în repaus.

10. Pe bucata din mijloc, punctul cu aceeași ordonată are abscisa $π + 0, 4 \approx 3, 5416$ și ordonata aproximativ $0, 4228$ , după formula pentru $π + x$ . Punctul cu ordonata opusă are abscisa $π - 0, 4 \approx 2, 7416$ și ordonata aproximativ $- 0, 4228$ , după formula pentru $π - x$ . Ambele abscise sunt între $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ .

11. $tg 10 0^{\circ} = - tg 8 0^{\circ}$ , $tg 17 0^{\circ} = - tg 1 0^{\circ}$ , $tg 19 0^{\circ} = tg 1 0^{\circ}$ și $tg 26 0^{\circ} = tg 8 0^{\circ}$ . Pe primul cadran tangenta crește, deci $tg 1 0^{\circ} < tg 8 0^{\circ}$ . Ordinea este $tg 10 0^{\circ} < tg 17 0^{\circ} < tg 19 0^{\circ} < tg 26 0^{\circ}$ .

12. Primul pas este corect: jumătatea de tură nu schimbă tangenta. Greșit este al doilea: $14 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ}$ este în cadranul al doilea, iar formula pentru $π - x$ schimbă semnul, deci $tg 14 0^{\circ} = - tg 4 0^{\circ}$ . Rezultatul corect este $tg 32 0^{\circ} = - tg 4 0^{\circ}$ , negativ, cum cere cadranul al patrulea, unde se află unghiul de $32 0^{\circ}$ .

13. $tg \frac{2 π}{3} = - tg \frac{π}{3} = - 3$ , iar $2 sin \frac{π}{3} = 3$ . Suma este $- 3 + 3 = 0$ .

14. $tg 19 5^{\circ} = tg (18 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = tg 1 5^{\circ}$ , iar $tg 16 5^{\circ} = tg (18 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = - tg 1 5^{\circ}$ . Suma este $tg 1 5^{\circ} - tg 1 5^{\circ} = 0$ , fără să fie nevoie de valoarea lui $tg 1 5^{\circ}$ .

15. Numărătorul este $tg x$ , numitorul este $- tg x$ . Pentru $x \in (0, π)$ , $x \neq = \frac{π}{2}$ , tangenta lui $x$ este nenulă, deci raportul este $- 1$ . Capetele $0$ și $π$ sunt excluse fiindcă acolo numitorul ar fi zero.

16. $4, 2 - π \approx 1, 0584$ , un arc din primul cadran, deci $tg 4, 2 = tg (4, 2 - π) > 0$ . $5, 5 - π \approx 2, 3584$ , un arc din cadranul al doilea, deci $tg 5, 5 = tg (5, 5 - π) < 0$ . Controlul cu cadranele: $4, 2$ este în cadranul al treilea, $5, 5$ în al patrulea.

17. Notăm $t = tg \frac{π}{18}$ . Membrul stâng: $\frac{19 π}{18} = π + \frac{π}{18}$ , deci produsul este $t \cdot t = t^{2}$ . Membrul drept: $\frac{17 π}{18} = π - \frac{π}{18}$ dă $- t$ , iar $\frac{35 π}{18} = π + \frac{17 π}{18}$ dă tot $tg \frac{17 π}{18} = - t$ . Produsul drept este $(- t) (- t) = t^{2}$ , egal cu cel stâng.

18. După primul ricoșeu, panta este $tg (π - x) = - 0, 5$ . După al doilea, direcția este $2 π - (π - x) = π + x$ , iar panta este $tg (π + x) = tg x = 0, 5$ . Panta finală este egală cu cea inițială, deci direcțiile sunt paralele; bila se întoarce în sens opus, pe o dreaptă paralelă cu cea de plecare. Modelul presupune ricoșeuri perfect elastice și fără efect de rotație.

De reținut

Pentru $x \in [0, π]$ , $x \neq = \frac{π}{2}$ : $tg (π + x) = tg x$ (același punct $T$ pe axa tangentelor) și $tg (π - x) = - tg x$ (oglindire în axa $O y$ ).
O dreaptă prin origine taie cercul în două puncte opuse, cu aceeași tangentă; tangente egale nu înseamnă același punct.
Un arc numeric din cadranul al patrulea se reduce în doi pași: întâi ca $π$ plus un arc din cadranul al doilea, apoi acesta ca $π$ minus un arc din primul cadran.
Când calculezi tangenta ca cât, fiecare coordonată își păstrează semnul cadranului; formula de reducere controlează semnul rezultatului.
Lângă $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ valorile digitale sunt foarte mari în modul; reducerea la primul cadran le explică și le verifică.

Greșeli frecvente

Cosinusul luat fără semn în raport. La un arc din cadranul al doilea, $cos x$ este negativ; folosirea valorii din tabelul primului cadran dă o tangentă pozitivă greșită.
Axa tangentelor citită de partea punctului. Pentru un arc din cadranul al doilea sau al treilea, dreapta $O M$ se prelungește dincolo de origine până la dreapta $x = 1$ . Cine citește înălțimea pe dreapta $x = - 1$ , lângă punct, obține opusul tangentei.
Raportul întors la reducere. Se scrie $tg (π - x) = - \frac{1}{tg x}$ . Reducerea schimbă cel mult semnul tangentei, nu inversează raportul.
Unghiul de înclinare confundat cu arcul direcției. Malul stâng al unui canal face cu orizontala tot un unghi ascuțit, dar direcția lui, citită de la stânga la dreapta, corespunde arcului $π - x$ , iar panta lui este negativă.
Aceeași tangentă luată drept același punct. Din $tg a = tg b$ nu rezultă că arcele au același punct pe cerc; punctele pot fi diametral opuse, coliniare cu originea.

Aplică acasă

Într-o aplicație de geometrie dinamică, reprezintă tangenta pe intervalul de la $0$ la $2 π$ . Pune un punct $P$ pe prima bucată a graficului, legat de un cursor, și construiește punctul cu abscisa mărită cu $π$ și aceeași ordonată. Verifică, mișcând cursorul, că punctul construit rămâne pe grafic. Repetă cu punctul de abscisă $π - x$ și ordonată opusă.
Pe hârtie milimetrică, desenează trei drepte prin origine, cu pantele $\frac{1}{3}$ , $2$ și $- \frac{3}{4}$ . Pe fiecare, marchează câte un punct de o parte și de alta a originii și calculează panta din coordonatele fiecărui punct. Notează în ce cadrane sunt punctele și ce arce le corespund pe cerc.
Fotografiază din față o scară dublă deschisă, în formă de litera A. Pe fotografie, alege un reper cu originea la baza unuia dintre picioare și măsoară pantele celor două brațe. Verifică dacă sunt aproape opuse și explică legătura cu formula pentru $π - x$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie formulele de reducere din programa de științe cu cele două formule pentru tangentă. Ambele se argumentează pe cerc, prin panta dreptei $O M$ , și se verifică prin raportul dintre sinus și cosinus. Tangenta unui arc numeric din cadranul al patrulea se calculează aplicând de două ori formulele din programă; lecția nu enunță o a treia formulă.

Merită urmărite condițiile de existență și semnul cosinusului în calculele prin raport. Programa studiază tangenta pe intervalul $[0, 2 π]$ , fără $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ ; de aceea lecția nu folosește descrierea pe toată axa reală, care aparține clasei a X-a. Întrebări utile: „Pe ce dreaptă se află punctul lui $π + x$ ?”, „Ce se întâmplă cu panta la o oglindire față de axa verticală?”, „Există ambii membri ai egalității pentru acest arc?”.

Programa și examenul. Formulele $tg (π + x) = tg x$ și $tg (π - x) = - tg x$ sunt cerute explicit în programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (OMEC nr. 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, cu nota că toate formulele se argumentează pe cercul trigonometric. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC nr. 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN nr. 4430/2014) conține funcția tangentă și „Reducerea la primul cadran” în capitolul „Elemente de trigonometrie”. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință despre tangentă; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Pentru legătura dintre pantă și triunghiuri asemenea, se poate relua lecția de gimnaziu despre triunghiurile asemenea și raportul de asemănare. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formulele pentru tangentă are alt parcurs și alte exemple; tot ce trebuie pentru exercițiile de aici se află pe această pagină. Lecția precedentă a unității este cea despre formulele cu π/2 − x. Pentru antrenament la nivelul unității, folosiți testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la formulele pentru tangentă între M2 și M1?

La științe ale naturii, programa cere două formule, pentru $π + x$ și $π - x$ , pe intervalul $[0, 2 π]$ fără valorile interzise, argumentate pe cerc. Lecția M1 le extinde la toate numerele reale și discută repetarea valorilor pe toată axa, temă de clasa a X-a la M2. Aici ai tot ce îți trebuie pentru M2.

La ce subiect de bacalaureat M2 poate apărea tangenta unui arc redus la primul cadran?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține funcția tangentă și reducerea la primul cadran, iar trigonometria apare în modelul oficial la Subiectul I. Modelul publicat pentru 2026 nu are totuși o cerință despre tangentă, deci nu putem spune ce formă va avea o cerință. La MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”.

De ce programa are la tangentă doar două formule, iar la sinus și cosinus patru?

Formulele pentru $π + x$ și $π - x$ ajung pentru toate arcele din $[0, 2 π]$ la care tangenta există: un arc numeric din cadranul al patrulea se reduce în doi pași, ca în Exemplul 6. O formulă cu $\frac{π}{2} - x$ ar da $\frac{1}{tg x}$ , o expresie pe care programa de științe nu o studiază ca funcție.

Dacă două arce au aceeași tangentă, au și același punct pe cerc?

Nu neapărat. Tangenta măsoară panta dreptei prin origine, iar o dreaptă prin origine taie cercul în două puncte diametral opuse. Arcele $x$ și $π + x$ au aceeași tangentă, dar sinusurile și cosinusurile lor sunt opuse. Pentru a identifica punctul, ai nevoie și de cadran sau de semnul unei coordonate.

Pot verifica formulele pe graficul tangentei?

Da. Pe intervalul $[0, 2 π]$ , bucata graficului de după $π$ repetă înălțimile bucății de la început, deplasate cu $π$ spre dreapta. Punctele $(x, tg x)$ și $(π - x, - tg x)$ sunt simetrice față de punctul $(\frac{π}{2}, 0)$ . O aplicație digitală îți permite să urmărești aceste perechi mișcând un cursor.

Unde folosesc formulele pentru tangentă în științe?

Oriunde contează înclinarea unei drepte, nu sensul de parcurgere: o rază care trece prin centrul unei lentile subțiri are aceeași pantă înainte și după lentilă. Direcțiile simetrice față de o verticală, ca malurile unui canal sau brațele unei scări duble, au pante opuse. Formulele dau aceste relații fără calcul suplimentar.