Unde se intersectează radicalul cu o dreaptă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția radical pe grafic

Egalezi cele două expresii, pui condiția ca partea dreaptă să fie nenegativă și ridici la pătrat. Exemplu: $x = x - 2$ cere $x \geq 2$ ; din $x = (x - 2)^{2}$ obții $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $4$ . Valoarea $1$ nu respectă condiția, deci singurul punct comun este $(4, 2)$ . Proba: $4 = 2 = 4 - 2$ . Ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false, de aceea verifici fiecare rezultat.

Pentru orice număr $x \geq 0$ , notația $x$ desemnează acel număr nenegativ care, înmulțit cu el însuși, redă pe $x$ . Această definiție stabilește domeniul funcției radical de ordin 2, anume semiaxa $[0, + \infty)$ , și oferă un test simplu pentru orice rezultat: îl ridici la pătrat și compari.

Curba începe în origine, se află integral în primul cadran și se ridică fără întrerupere, însă panta ei se micșorează treptat. Aplatizarea nu înseamnă că valorile scad; ea arată doar că aceeași urcare de o unitate cere intrări tot mai îndepărtate. Imaginea pe întreg domeniul este $[0, + \infty)$ , iar pentru o restricție la un segment ajunge să calculezi radicalele celor două capete.

Citirile de pe desen sunt adesea aproximative. O valoare precum radicalul lui unsprezece se încadrează între două zecimale, iar încadrarea devine sigură comparând pătratele acelor zecimale cu numărul dat. O dreaptă orizontală aflată la o înălțime nenegativă atinge curba într-un singur loc, cu abscisa egală cu pătratul înălțimii.

Constanta adăugată ridică sau coboară curba, factorul din fața radicalului o întinde, iar domeniul nu se modifică în niciun caz. Modelele din fizică folosesc radicalul ori de câte ori pătratul unei mărimi depinde liniar de alta, de exemplu viteza valurilor față de adâncimea apei.

De reținut

$x = g (x)$ cere $g (x) \geq 0$ înainte de ridicarea la pătrat
$x > x$ doar pentru $0 < x < 1$
radicalul este strict crescător pe $[0, + \infty)$

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat ecuația $x = x - 2$ și se păstrează ambele soluții, $1$ și $4$ ; la $x = 1$ partea dreaptă este negativă, deci $1$ nu verifică.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $0, 0144$ ?
- a) $0, 12$
- b) $0, 012$
- c) $1, 2$
- d) $0, 0072$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0, 12$

Numărul $0, 12$ este nenegativ, iar $0, 1 2^{2} = 0, 0144$ . Pătratul lui $0, 012$ este de o sută de ori mai mic.
Mulțimea valorilor funcției $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + 5$ , este:
- a) $[0, + \infty)$
- b) $[5, + \infty)$
- c) $[- 5, + \infty)$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[5, + \infty)$

Radicalul ia toate valorile nenegative, iar adunarea lui cinci ridică graficul cu cinci unități. Punctul de pornire devine $(0; 5)$ .
Între ce numere se află $67$ ?
- a) între $8, 0$ și $8, 1$
- b) între $8, 1$ și $8, 2$
- c) între $8, 2$ și $8, 3$
- d) între $33$ și $34$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) între $8, 1$ și $8, 2$

Avem $8, 1^{2} = 65, 61$ , sub șaizeci și șapte, și $8, 2^{2} = 67, 24$ , peste. Funcția radical păstrează ordinea, deci $67$ se află între cele două zecimale.

Întrebări conexe

Ce viteză au valurile în apă puțin adâncă, după formula $v = g h$ ?

Cu $g = 10$ m/s² și adâncimea $h = 2, 5$ m, viteza este $25 = 5$ m/s; la $h = 10$ m ea devine $100 = 10$ m/s. Adâncimea s-a mărit de patru ori, iar viteza doar de două ori, fiindcă radicalul crește tot mai încet.

Ce imagine are funcția $x$ pe intervalul $[4, 25]$ ?

Funcția radical este strict crescătoare, deci valorile extreme vin din capete: $4 = 2$ și $25 = 5$ . Imaginea este $[2, 5]$ . Orice număr dintre ele este atins o singură dată, de exemplu $3$ în $x = 9$ .

Cum aflu $a$ dacă graficul lui $x + a$ trece prin $(5, 3)$ ?

Înlocuiești: $5 + a = 3$ , deci $5 + a = 9$ și $a = 4$ . Verificare: $9 = 3$ . Funcția găsită, $x + 4$ , are graficul lui $x$ deplasat cu patru unități la stânga și pornește din $(- 4, 0)$ .

Pentru ce numere este $x$ mai mare decât $x$ ?

Pentru $x \in (0, 1)$ . Acolo $x^{2} < x$ , iar radicalul păstrează ordinea, deci $x < x$ : de exemplu, $0, 25 = 0, 5 > 0, 25$ . În $0$ și în $1$ cele două sunt egale, iar pentru $x > 1$ radicalul rămâne sub dreapta $y = x$ , ca la $9 = 3 < 9$ .

În cât timp cade liber un corp de la înălțimea $h$ , după $t = \frac{2 h}{g}$ ?

Cu $g = 10$ m/s², de la $20$ m timpul este $4 = 2$ s, iar de la $80$ m este $16 = 4$ s. Înălțimea de patru ori mai mare dublează doar timpul. Graficul timpului în funcție de înălțime are forma curbei radicalului.

Oamenii mai întreabă și: intersecția graficului radicalului cu o dreaptă · ecuația radical din x egal cu o expresie · punctul comun al lui radical din x cu o dreaptă · radical și dreaptă pe același grafic

Unde se intersectează radicalul cu o dreaptă?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce viteză au valurile în apă puțin adâncă, după formula v=gh​?

Ce imagine are funcția x​ pe intervalul [4,25]?

Cum aflu a dacă graficul lui x+a​ trece prin (5,3)?

Pentru ce numere este x​ mai mare decât x?

În cât timp cade liber un corp de la înălțimea h, după t=g2h​​?

Continuă cu

Ce viteză au valurile în apă puțin adâncă, după formula $v = g h$ ?

Ce imagine are funcția $x$ pe intervalul $[4, 25]$ ?

Cum aflu $a$ dacă graficul lui $x + a$ trece prin $(5, 3)$ ?

Pentru ce numere este $x$ mai mare decât $x$ ?

În cât timp cade liber un corp de la înălțimea $h$ , după $t = \frac{2 h}{g}$ ?