Cum anulez mai multe mutări dintr-un ciclu?

Ca o mulțime să fie grup, legea ei trebuie să respecte patru condiții: rezultatul rămâne în mulțime, operația este asociativă, există un element neutru și orice element are simetric. Dacă legea este și comutativă, grupul se numește comutativ. Mulțimea aleasă hotărăște răspunsul: aceeași adunare dă grup pe numerele întregi și nu dă grup pe cele naturale.

Un exemplu din meserie sunt pozițiile dintr-un ciclu care se reia. Cele $n$ poziții sunt clasele din ${\mathbb{Z}}_n$, mutările se adună, iar rezultatul se readuce la restul împărțirii cu $n$. Neutrul este mutarea nulă, $\hat{0}$, iar opusul mutării cu $k$ poziții este mutarea cu $n-k$ poziții.

Capcanele sunt trei: aduni clasele și uiți să reduci, așa că lași un număr care nu e poziție; pui condiția de neutru acolo unde se cere cea de simetric, deci rezultatul trebuie să fie $e$, nu elementul însuși; și lucrezi într-o mulțime în care simetricul nu există.

Verifici adunând rezultatul cu opusul lui: trebuie să obții neutrul. La o lege necomutativă verifici ambele egalități, $x\ast x^{\prime }=e$ și $x^{\prime }\ast x=e$.

De reținut

• mutările se adună și se reduc la restul împărțirii cu $n$
• mutarea care o anulează pe cea de $k$ poziții are $n-k$ poziții
• mutarea unei sume se anulează cu opusul sumei reduse

Greșeala tipică

Se lasă suma nereduse: din $41$ de zile se ia opusul $32-41=-9$ și se scrie mutarea negativă. Corect: întâi $41=32+9$, apoi opusul lui $9$, adică $23$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Trei poziții ale unui întrerupător rotativ dintr-un tablou electric, $e$ (neschimbat), $a$ și $b$, formează un grup comutativ față de legea $\circ$ (poziția rezultată din două comutări la rând). Tabla este dată mai jos, cu o căsuță ascunsă:

   $\circ$	$e$	$a$	$b$
   $e$	$e$	$a$	$b$
   $a$	$a$	$b$	$?$
   $b$	$b$	$e$	$a$

   Ce element stă în căsuța ascunsă, adică ce este $a\circ b$?

   • a) $a$
   • b) $b$
   • c) poate fi oricare dintre ele
   • d) $e$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $e$

   Într-un grup, ecuația $a\circ x=c$ are soluție unică, deci fiecare element apare o singură dată pe fiecare linie. Pe linia lui $a$ apar deja $a$ și $b$, așa că a treia căsuță este $e$. Variantele $a$ și $b$ ar repeta un element din aceeași linie, iar „oricare” ignoră faptul că linia trebuie să conțină toate elementele.

2. Un apicultor are $22$ de stupi dispuși în cerc, numerotați de la $0$ la $21$, și mută verificarea cu $14$ stupi, apoi cu $17$, apoi cu $20$, unul după altul. Care este mutarea unică, între $0$ și $21$ de stupi, cu același efect ca cele trei?

   • a) $7$
   • b) $9$
   • c) $51$
   • d) $29$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $7$

   Mutările se adună și se păstrează restul împărțirii la $22$: $14+17+20=51=2\cdot 22+7$, deci mutarea echivalentă este de $7$ stupi. Varianta $51$ nu reduce, varianta $29$ scade $22$ o singură dată, iar $9$ ține seama numai de primele două mutări: $14+17=31=22+9$.

3. Un disc de dozare are $35$ de compartimente, numerotate de la $0$ la $34$, dispuse în cerc. După ce parcurge $27$ de compartimente, indicatorul se află pe compartimentul $12$. Pe care compartiment a pornit?

   • a) $15$
   • b) $4$
   • c) $20$
   • d) $23$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $20$

   Poziția de pornire $x$ verifică $x+27\equiv 12$ în ${\mathbb{Z}}_{35}$, deci $x=12-27=-15$, iar $-15+35=20$. Verificare: $20+27=47=35+12$. Varianta $15$ face diferența în valoare absolută, varianta $4$ adună în loc să scadă ($12+27=39=35+4$), iar $23$ este opusul lui $12$, nu poziția de pornire.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: mutarea care anulează o serie de mutări · opusul unei sume într-un ciclu · cum revin la poziția de pornire · mutări consecutive într-un ciclu de poziții