Grupul ℤₙ pentru tehnologic: turele de recepție

Dacă un recepționer e mutat cu două ture mai târziu și apoi cu patru, șefa poate înlocui cele două cereri cu una singură, iar orice cerere poate fi anulată de alta. Matematica numește asta grup, iar turele care se reiau după un ciclu sunt exemplul potrivit: grupul aditiv al claselor de resturi. La clasa a XII-a de liceu tehnologic, decizi dacă o structură e grup și lucrezi în ℤₙ. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), grupul a apărut într-o singură probă din cele 83.

Situația de pornire

Hotelul unui complex din Valea Prahovei are recepție non-stop: recepționerii iau rezervările, cazează turiștii și predau camerele, în nouă ture într-un ciclu de trei zile. În fiecare zi sunt o tură de dimineață, care începe la ora 6, una de după-amiază, de la ora 14, și una de noapte, de la ora 22. Turele se numerotează 0, 1, …, 8, iar după tura 8 ciclul se reia cu tura 0. Șefa recepției, Mara, mută un recepționer cu un număr de ture mai târziu. Două mutări consecutive se pot reduce la una singură, iar Mara vrea să știe dacă orice mutare poate fi anulată de o altă mutare.

Întrebare: pe ce tură ajunge Bogdan după cele două mutări din tabel și cu ce singură mutare ar fi ajuns direct acolo? Ce mutare l-ar aduce înapoi la tura 7, după cele două?

De la situație la model

Clasa de resturi a unui număr întreg $a$ modulo $n$, notată $\hat{a}$, este mulțimea întregilor care dau același rest ca $a$ la împărțirea cu $n$. Mulțimea celor $n$ clase, $\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}$, se notează ${\mathbb{Z}}_n$. Un grup este o mulțime $G$ cu o lege de compoziție internă, asociativă, cu element neutru, în care orice element are simetric. Dacă legea e și comutativă, grupul e comutativ, iar neutrul și simetricul se verifică pe o singură parte; altfel se verifică pe ambele.

Care sunt grupurile numerice?

Grupuri numerice sunt, de pildă, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$ și $(\mathbb{R},+)$, cu neutrul 0 și simetricul $-x$, precum și $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, cu neutrul 1 și simetricul $\frac{1}{x}$. Nu sunt grupuri $(\mathbb{N},+)$, unde 5 n-are simetric, nici $(\mathbb{Z},\cdot )$, unde 5 n-are invers întreg, nici $(\mathbb{R},\cdot )$, unde 0 n-are invers: mulțimea aleasă hotărăște.

De ce contează mulțimea aleasă?

Dacă Mara ar număra turele fără ciclu, în $\mathbb{N}$, mutările nu s-ar mai putea anula; numărate pe ciclu, în ${\mathbb{Z}}_9$, orice mutare are o anulare. Aceeași operație, adunarea, pe altă mulțime, dă alt răspuns la întrebarea „e grup?”. Asociativitatea din ${\mathbb{Z}}_9$ vine de la adunarea întregilor: $(\hat{a}+\hat{b})+\hat{c}=\widehat{a+b+c}$, în orice grupare.

Cum aduni în ℤ₉?

Aduni numerele și păstrezi restul împărțirii la 9: $\hat{7}+\hat{6}=\widehat{13}=\hat{4}$, fiindcă $13=9+4$. Rezultatul nu depinde de numerele alese în clase, de aceea adunarea claselor este bine definită: $\widehat{16}+\widehat{15}=\widehat{31}=\hat{4}$, la fel ca $\hat{7}+\hat{6}$, fiindcă $31=3\cdot 9+4$. Linia lui $\hat{4}$ din tabla adunării arată ciclul: $\hat{4}+\hat{0},\dots ,\hat{4}+\hat{8}$ dau $\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}$. Fiecare linie conține fiecare clasă o singură dată, ceea ce arată că orice ecuație $\hat{4}+x=\hat{b}$ are soluție și că ea e unică.

Cum afli opusul și rezolvi o ecuație?

Opusul lui $\hat{k}$ este $\widehat{n-k}$, fiindcă $k+(n-k)=n$, adică $\hat{0}$: în ${\mathbb{Z}}_9$, opusul lui $\hat{5}$ e $\hat{4}$. Ecuația $\hat{a}+x=\hat{b}$ are soluția $x=\hat{b}-\hat{a}$, adică $\hat{b}+(-\hat{a})$, iar în ℤₙ soluția e unică.

Metoda pas cu pas

1. Scrie mulțimea și legea și verifică dacă legea e internă: orice rezultat trebuie să rămână în mulțime. În ℤₙ, rezultatul se readuce la un rest între $0$ și $n-1$.
2. Verifică pe rând asociativitatea, elementul neutru și simetricul fiecărui element; dacă o condiție pică, structura nu e grup. La o cerință cu simetric, scrie $x\ast x^{\prime }=e$ și verifică și $x^{\prime }\ast x=e$.
3. În ℤₙ calculezi cu resturi; ce faci în fiecare caz spune tabelul de mai jos.
4. Verifică: pune rezultatul în egalitatea de pornire sau compară-l cu suma obișnuită, redusă modulo $n$. La o decizie, spune ce condiție pică, nu doar că structura nu e grup, și pe ce mulțime.

Despre legea de compoziție și proprietățile ei vezi lege de compoziție la tehnologic: tabla și comutativă, asociativă și neutru. Când ai nevoie de a trece dintr-un grup în altul, vezi morfismul de grupuri, lecția de la filiera tehnologică. Restul clasei e pe pagina clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b},-\hat{k}=\widehat{n-k}$$

Un grup cere patru lucruri: lege internă, asociativitate, element neutru, simetric pentru orice element. În ${\mathbb{Z}}_n$ adunarea e internă, asociativă și comutativă, neutrul e $\hat{0}$, iar opusul lui $\hat{k}$ e $\widehat{n-k}$, deci $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ pentru orice $n$. Condiții de aplicare: $a$ și $k$ sunt întregi, iar $n$ e numărul de clase al ciclului. Verificare rapidă: $\hat{k}+(-\hat{k})$ trebuie să dea $\hat{0}$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Mutările lui Bogdan

Domeniu: turism.

Enunț. Reia mutările din situația de pornire pentru Bogdan, care pornește de la tura 7 și primește mutări de 6, apoi de 8 ture. a) Pe ce tură ajunge? b) Cu ce singură mutare ar fi ajuns acolo? c) Ce mutare îl readuce la tura 7? d) Care este simetricul lui $\hat{8}$ în $({\mathbb{Z}}_9,+)$? e) Ce mutare e echivalentă cu una de 23 de ture?

Rezolvare. a) $\hat{7}+\hat{6}=\widehat{13}=\hat{4}$, apoi $\hat{4}+\hat{8}=\widehat{12}=\hat{3}$: ajunge la tura 3. b) $\hat{6}+\hat{8}=\widehat{14}=\hat{5}$, iar $\hat{7}+\hat{5}=\widehat{12}=\hat{3}$: mutarea unică e de 5 ture. c) Opusul lui $\hat{5}$ e $\widehat{9-5}=\hat{4}$, deci îl readuce o mutare de 4 ture: $\hat{3}+\hat{4}=\hat{7}$. d) $\hat{8}+\hat{1}=\hat{9}=\hat{0}$, deci simetricul lui $\hat{8}$ este $\hat{1}$. e) $23=2\cdot 9+5$, deci $\widehat{23}=\hat{5}$: Bogdan face două cicluri întregi și încă 5 ture.

Capcană. Cine adună $7+6+8=21$ și scade 9 o singură dată obține 12, care nu e o tură. Trebuie restul împărțirii la 9, adică 3.

Verificare. $21=2\cdot 9+3$, deci tura 3, ca mai sus. Cele două mutări nu îl readuc la tura de pornire, fiindcă $6+8=14$ nu se împarte exact la 9.

Exemplul 2 — Corecțiile de convergență

Domeniu: auto.

Enunț. La un service auto, corecțiile de convergență ale roților se notează în minute de arc (′) și se adună; pot fi pozitive sau negative. a) Arată că $(\mathbb{Z},+)$ este grup. b) Arată că $(\mathbb{N},+)$ nu este grup. c) După o primă corecție de +14′, corecția totală trebuie să fie +6′. Ce corecție mai trebuie făcută, în $\mathbb{Z}$ și în $\mathbb{N}$? d) Ce corecție anulează o corecție de +3′?

Rezolvare. a) Suma a două numere întregi e un număr întreg, adunarea e asociativă, neutrul e 0, iar simetricul lui $x$ este $-x$, tot întreg. b) În $\mathbb{N}$ adunarea e internă și asociativă, iar 0 e neutru, dar simetricul lui 6 ar fi $-6$, care nu e natural: nu e grup. c) Ecuația $14+x=6$ dă $x=-8$ în $\mathbb{Z}$, adică o corecție de −8′. În $\mathbb{N}$ nu are soluție, fiindcă $14+x\ge 14$. Ca să fie posibilă o corecție în sens invers, mulțimea trebuie lărgită de la $\mathbb{N}$ la $\mathbb{Z}$. d) O corecție de +3′ e anulată de simetricul ei, −3′.

Capcană. Cine lucrează în $\mathbb{N}$ conchide că roțile nu se pot corecta. În $\mathbb{Z}$ există corecția de −8′: alegerea mulțimii schimbă răspunsul din „nu se poate” în „−8”.

Verificare. $14+(-8)=6$, iar simetricul lui 14 în $\mathbb{Z}$ este $-14$, nu 8.

Exemplul 3 — Factorii de debit ai unei pompe

Domeniu: mediu.

Enunț. La o stație de epurare, debitul unei pompe de recirculare, de 48 m³/h, se schimbă prin înmulțirea cu un factor. a) Arată că $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ este grup. b) De ce nu este grup $(\mathbb{R},\cdot )$? c) Ce debit are pompa după factorii 1,25 și apoi 0,8? d) Ce factor anulează factorul 1,5? e) Ce debit are pompa după factorii 1,25, 0,8 și 1,5? Debitul se măsoară în m³/h, iar factorul nu are unitate.

Rezolvare. a) Produsul a două numere nenule e nenul, înmulțirea e asociativă, neutrul e 1, iar simetricul lui $x$ este $\frac{1}{x}$, nenul. b) Numărul 0 n-are simetric: $0\cdot x^{\prime }=1$ nu are soluții. c) $48\cdot 1,25=60$, apoi $60\cdot 0,8=48$ m³/h: factorii 1,25 și 0,8 sunt simetrici, fiindcă $1,25\cdot 0,8=1$. d) Factorul 1,5 e anulat de $\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$. e) După primii doi factori debitul e tot 48, iar $48\cdot 1,5=72$ m³/h: factorii 1,25 și 0,8 se anulează între ei, deci contează doar 1,5.

Capcană. Cine include factorul 0, pompa oprită, printre cei reversibili caută simetricul lui 0 și ajunge la $0\cdot x=1$, imposibil: debitul 0 nu mai poate fi readus la 48 m³/h prin înmulțire. Mulțimea corectă a factorilor e ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Verificare. $1,5\cdot \frac{2}{3}=1$, iar $60\cdot 0,8=48$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: simetricul când se știe neutrul

Domeniu: agricol.

Enunț. Enunțul de mai jos e scris ca la examen: legea se dă pe $\mathbb{R}$, fără meserie în el. Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=xy-25x-25y+650$. a) Arătați că $28\circ 30=40$. b) Știind că $e=26$ este elementul neutru al legii, determinați numărul real $x$ al cărui simetric în raport cu legea $\circ$ este 27. c) Arătați că numărul 25 nu are simetric.

Rezolvare. a) Înlocuiești: $28\circ 30=840-700-750+650=40$. b) Simetricul lui $x$ este 27 dacă $x\circ 27=27\circ x=e=26$. Cum $x\circ 27=27x-25x-675+650=2x-25$, ecuația $2x-25=26$ dă $x=\frac{51}{2}$. Legea e comutativă, deci și $27\circ x=26$. c) Scrii $x\circ y=(x-25)(y-25)+25$. Atunci $25\circ x^{\prime }=25$ pentru orice $x^{\prime }$, iar $25\ne 26=e$, deci 25 nu are simetric.

Capcană. Cine scrie $x\circ 27=27$, adică condiția de neutru în loc de cea de simetric, obține $2x-25=27$, deci $x=26$. Dar $26\circ 27=27$, nu 26: condiția simetricului cere rezultatul $e$.

Verificare. $\frac{51}{2}\circ 27=27\cdot \frac{51}{2}-25\cdot \frac{51}{2}-675+650=51-25=26=e$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Care dintre perechile $(\mathbb{N},+)$, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Z},\cdot )$ și $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri? Pentru fiecare care nu e, spune ce condiție pică.

2. În ${\mathbb{Z}}_9$ calculează $\hat{6}+\hat{5}$, $\hat{8}+\hat{8}$ și $\hat{3}+\hat{6}$, apoi scrie opusul lui $\hat{4}$.

3. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_9$ ecuația $\hat{x}+\hat{6}=\hat{2}$ și verifică soluția.

4. Scrie opusul fiecărui element din ${\mathbb{Z}}_8$ și spune care elemente sunt propriile opuse.

Nivelul 2 — situații

5. Banda transportoare a unui depozit e acționată de un motor trifazat, iar electricianul îi schimbă sensul de rotație inversând două faze. Notăm sensul inițial cu 1 și sensul invers cu −1; o inversare înmulțește sensul cu −1. a) Arată că $\{-1;1\}$ cu înmulțirea este grup: scrie tabla, neutrul și simetricul fiecărui element. b) În timpul probelor, electricianul face 7 inversări, pornind din sensul 1. În ce sens se rotește banda la sfârșit? c) Motorul are două înfășurări, pentru 1000 și pentru 1500 rot/min, iar electricianul notează stările cu −1,5, −1, 1 și 1,5: sensul și turația, față de turația mică. Este $\{-1,5;-1;1;1,5\}$ grup cu înmulțirea? Spune ce condiție pică.

6. Un magazin transformă prețurile din catalog prin factori; un factor se anulează înmulțind cu inversul lui. a) Există în ${\mathbb{Z}}^{\ast }$ un factor care anulează factorul 5? Dar în ${\mathbb{Q}}^{\ast }$? b) Ce factor anulează factorul $\frac{3}{8}$? c) Este $({\mathbb{Z}}^{\ast },\cdot )$ grup? Dar $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$?

7. Nivelul apei într-un bazin de retenție a apelor pluviale se citește pe o riglă, față de un reper aflat la 35 cm. Dispecerul notează fiecare variație prin nivelul la care ar ajunge apa dacă ar porni de la reper: o creștere de 25 cm se notează 60, iar o scădere de 25 cm se notează 10. Două variații la rând se compun atunci cu $x\circ y=x+y-35$, în cm. a) Arată că $(\mathbb{R},\circ )$ este grup. b) Care e simetricul variației notate 60 și ce înseamnă? c) Este $[35;+\infty )$, adică mulțimea creșterilor, grup cu legea $\circ$?

8. În ciclul de 9 ture al hotelului din situația de pornire, Bogdan e la tura 7. a) Ce mutare trebuie să primească, ca să ajungă la tura 2? b) Dacă după ea primește și o mutare de 5 ture, ce mutare unică e echivalentă cu cele două, și pe ce tură ajunge?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=xy-29x-29y+870$. Știind că $e=30$ este elementul neutru al legii, determinați simetricul numărului 32 în raport cu legea $\circ$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+33x+33y+1056$. a) Determinați elementul neutru al legii. b) Determinați numărul real $x$ al cărui simetric în raport cu legea $\circ$ este $-31$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-14x-14y+105$. Arătați că $e=\frac{15}{2}$ este elementul neutru al legii.

12. (Sinteză.) Completează liniile lui $\hat{2}$ și $\hat{5}$ din tabla adunării în ${\mathbb{Z}}_6$. Citește din ele opusele lui $\hat{2}$ și $\hat{5}$ și arată că ecuația $\hat{2}+x=\hat{5}$ are o singură soluție.

Răspunsuri și verificări

1. $(\mathbb{Z},+)$ și $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri. $(\mathbb{N},+)$ nu e: 5 n-are simetric în $\mathbb{N}$, fiindcă $-5\notin \mathbb{N}$. $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu e: 5 n-are invers întreg, fiindcă $\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z}$. Verificare: în ambele cazuri, restul condițiilor trec.

2. $\hat{6}+\hat{5}=\widehat{11}=\hat{2}$, $\hat{8}+\hat{8}=\widehat{16}=\hat{7}$ și $\hat{3}+\hat{6}=\hat{9}=\hat{0}$. Opusul lui $\hat{4}$ este $\widehat{9-4}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{4}+\hat{5}=\hat{0}$.

3. $x=\hat{2}-\hat{6}=\widehat{-4}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{5}+\hat{6}=\widehat{11}=\hat{2}$.

4. Opusele sunt $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{1}=\hat{7}$, $-\hat{2}=\hat{6}$, $-\hat{3}=\hat{5}$, $-\hat{4}=\hat{4}$, $-\hat{5}=\hat{3}$, $-\hat{6}=\hat{2}$ și $-\hat{7}=\hat{1}$. Sunt propriile opuse $\hat{0}$ și $\hat{4}$. Verificare: $\hat{4}+\hat{4}=\hat{8}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_8$.

5. a) Tabla: $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=(-1)\cdot 1=-1$ și $(-1)\cdot (-1)=1$, deci înmulțirea e internă pe $\{-1;1\}$; ea e asociativă, neutrul e 1, iar fiecare element e propriul simetric. b) $(-1{)}^7=-1$: banda merge în sens invers. c) Nu: $1,5\cdot 1,5=2,25$ nu e în mulțime, deci înmulțirea nu e internă pe ea; motorul nu are turația de 2250 rot/min. Verificare: după 6 inversări, un număr par, banda revine în sensul 1, iar a șaptea o întoarce.

6. a) Factorul 5 are inversul $\frac{1}{5}$, care nu e în ${\mathbb{Z}}^{\ast }$, dar e în ${\mathbb{Q}}^{\ast }$. b) Factorul $\frac{3}{8}$ e anulat de $\frac{8}{3}$. c) $({\mathbb{Z}}^{\ast },\cdot )$ nu e grup, fiindcă 5 n-are invers în ${\mathbb{Z}}^{\ast }$; $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este. Verificare: $\frac{3}{8}\cdot \frac{8}{3}=1$.

7. a) Suma a două numere reale, minus 35, e reală. Apoi $(x\circ y)\circ z=x+y+z-70=x\circ (y\circ z)$. Neutrul e 35, iar simetricul lui $x$ verifică $x+x^{\prime }-35=35$, deci $x^{\prime }=70-x$. b) Simetricul lui 60 e $70-60=10$ cm: scăderea de 25 cm anulează creșterea de 25 cm, iar apa revine la reper. c) Nu: simetricul $70-x$ e în $[35;+\infty )$ doar pentru $x\le 35$, deci 60 nu are simetric acolo; o creștere nu se anulează cu altă creștere. Verificare: $60\circ 10=60+10-35=35$.

8. a) $\hat{7}+x=\hat{2}$ dă $x=\hat{2}-\hat{7}=\widehat{-5}=\hat{4}$: o mutare de 4 ture. b) $\hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{0}$: mutarea unică e nulă, iar Bogdan ajunge din nou la tura 7. Verificare: $\hat{2}+\hat{5}=\hat{7}$.

9. Simetricul $x^{\prime }$ al lui 32 verifică $32\circ x^{\prime }=30$. Cu $32\circ x^{\prime }=32x^{\prime }-29\cdot 32-29x^{\prime }+870=3x^{\prime }-58$, ecuația devine $3x^{\prime }-58=30$. Rezultă $x^{\prime }=\frac{88}{3}$. Verificare: $32\circ \frac{88}{3}=32\cdot \frac{88}{3}-928-29\cdot \frac{88}{3}+870=88-58=30$.

10. a) Din $x\circ e=x$: $xe+33x+33e+1056=x$, adică $(x+33)(e+33)-33=x$ pentru orice $x$; rezultă $e+33=1$, deci $e=-32$. b) $x\circ (-31)=-32$ dă $-31x+33x-1023+1056=-32$, adică $2x+33=-32$. Soluția este $x=-\frac{65}{2}$. Verificare: $\left(-\frac{65}{2}\right)\circ (-31)=2\cdot \left(-\frac{65}{2}\right)+33=-32$.

11. $x\circ \frac{15}{2}=15x-14x-105+105=x$, pentru orice $x$ real. Legea e comutativă, fiindcă expresia ei rămâne aceeași dacă inversezi $x$ și $y$; de aceea și $\frac{15}{2}\circ x=x$. Rezultă că $e=\frac{15}{2}$ este elementul neutru. Verificare: $4\circ \frac{15}{2}=60-56-105+105=4$.

12. Linia lui $\hat{2}$: $\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{0},\hat{1}$. Linia lui $\hat{5}$: $\hat{5},\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$. Pe linia lui $\hat{2}$, $\hat{0}$ e în coloana lui $\hat{4}$, deci opusul lui $\hat{2}$ e $\hat{4}$; pe linia lui $\hat{5}$, $\hat{0}$ e în coloana lui $\hat{1}$, deci opusul lui $\hat{5}$ e $\hat{1}$. Pe linia lui $\hat{2}$, $\hat{5}$ apare o singură dată, în coloana lui $\hat{3}$, deci $x=\hat{3}$. Verificare: $\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}$.

Așa vine la Bac M3

Din arhiva oficială a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), cu 83 de probe între 2013 și 2026, grupul a apărut o singură dată: în simularea din 2025, la problema a doua din Subiectul al II-lea. Indexul cerințelor nu are nicio cerință cu clase de resturi. Cerința reală:

• Simularea din 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: se dă o lege asociativă pe numerele reale, se știe că 3 este elementul ei neutru și se cere numărul al cărui simetric este 4; rezolvarea stă în pasul 2 din Metodă, iar baremul oficial dă 3 puncte pentru condiția scrisă cu ambele părți, $x\ast 4=4\ast x=3$, și ecuația ei, plus 2 pentru valoarea lui $x$.

În aceeași probă, neutrul e dat ca ipoteză, deci nu trebuie aflat, iar legea e dată desfăcută, ca produsul, suma și o constantă. Cerința a venit după alte două, una cu o valoare numerică și una cu o ecuație, ambele cu legea. Tema vecină, elementul neutru, apare în 6 cerințe, iar comutativitatea în 5; amândouă sunt în lecția despre proprietățile unei legi de compoziție.

Exercițiile 9–11 iau forme apropiate din tema vecină, elementul neutru: simetricul unui număr dat, simetricul când neutrul trebuie aflat și arătarea unui neutru dat. Sunt forme apropiate de cerința reală, nu copii ale ei, fiindcă tema grupului a apărut într-o singură probă, iar restul exercițiilor rămân în vecinătatea ei.

Greșeli care costă puncte

• Aduni clasele fără să reduci → $7+6+8=21$ nu e tură; cum o prinzi: verifici că rezultatul e între 0 și 8, altfel cauți restul împărțirii la 9.
• Pui condiția de neutru în loc de cea de simetric → $x\circ 27=27$ dă $x=26$, nu $\frac{51}{2}$; cum o prinzi: la simetric rezultatul e $e$, nu elementul.
• Lucrezi în $\mathbb{N}$ când ai nevoie de $\mathbb{Z}$ → ecuația $14+x=6$ pare imposibilă; cum o prinzi: verifici dacă simetricul aparține mulțimii.
• Incluzi 0 printre factorii reversibili → $0\cdot x=1$ nu are soluții; cum o prinzi: scoți 0 și lucrezi în ${\mathbb{R}}^{\ast }$.
• Verifici simetricul doar pe o parte → un element are simetric numai dacă $x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e$, iar la o lege necomutativă cele două pot diferi; cum o prinzi: scrii ambele egalități.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Noțiunea de grup se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă ciclul recepției are 8 ture, nu 9? Lucrezi în ${\mathbb{Z}}_8$. Ana, de la tura 4, cu mutări de 5 și 7, ajunge la $4+5+7=16$, adică tura 0, iar mutarea unică e $\widehat{12}=\hat{4}$. Opusul lui $\hat{5}$ devine $\hat{3}$. Structura e tot un grup comutativ; se schimbă doar modulul și resturile.

De ce scad 9 din 13, nu 8, când Bogdan ajunge la 13? Fiindcă după tura 8 vine tura 0, deci ciclul are nouă ture, nu opt. Tura 13 înseamnă $13-9=4$. Dacă ai scădea 8, ai obține tura 5, care e greșită. Aplici întotdeauna restul împărțirii la numărul de ture din ciclu.

Poate fi anulată orice mutare a unui recepționer? Da, și asta e condiția simetricului dintr-un grup. Mutarea cu $k$ ture se anulează cu cea de $n-k$ ture: în ciclul de 9, mutarea de 5 ture e anulată de cea de 4. Mutarea nulă, adică niciuna, se anulează pe ea însăși. De aceea $({\mathbb{Z}}_9,+)$ este grup.

Ce mutare e echivalentă cu una de 20 de ture, în ciclul de 9? Una de 2 ture. Mutările se compun ca clasele de resturi, deci păstrezi restul împărțirii la 9: $20=2\cdot 9+2$, iar $\widehat{20}=\hat{2}$. Recepționerul face două cicluri întregi și apoi încă 2 ture, deci ajunge acolo unde l-ar fi dus mutarea de 2.

Ce cerință despre grup a apărut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În probele oficiale 2013–2026 a apărut o singură cerință, în simularea din 2025: legea e dată, se știe că 3 este elementul neutru și se cere numărul al cărui simetric este 4. Se scrie $x\ast 4=4\ast x=3$ și se rezolvă ecuația, ca la exemplul 4 din lecție.

De ce înveți ℤₙ, dacă probele de Bacalaureat M3 din 2013–2026 nu l-au cerut? Fiindcă programa de examen cuprinde grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$, deci ℤₙ poate fi cerut, chiar dacă indexul cerințelor din acei ani nu are nicio cerință cu clase de resturi. Metoda din lecție, cu restul împărțirii la $n$, se aplică la fel și acolo.