Un program contabil lucrează numai cu sume de lei având cel mult două zecimale, adică cu mulțimea $$D = \left\{\dfrac{m}{100} \mid m \in \mathbb{Z}\right\}$$, cu adunarea și înmulțirea obișnuite. De ce $$D$$ nu este inel?

înmulțirea nu este internă: $$0{,}05 \cdot 0{,}05 = 0{,}0025 \notin D$$

$$D$$ nu conține opusul unor sume

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Inelul și exemplele numerice

Cum aflu partea de bani a totalului modulo 100?

Lucrezi cu resturile la $100$ și reduci după fiecare pas. Exemplu: un bon are $14$ articole de $1, 85$ lei, $22$ de $0, 65$ lei și $9$ de $2, 40$ lei. Părțile de bani ale rândurilor sunt $85 \cdot 14 = 1190$ , adică $90$ ; $65 \cdot 22 = 1430$ , adică $30$ ; $40 \cdot 9 = 360$ , adică $60$ . Suma $90 + 30 + 60 = 180$ dă partea de bani $80$ . Proba: totalul este $61, 80$ lei.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Inelul adună și înmulțește elementele unei mulțimi după nouă reguli. Cu adunarea, mulțimea se comportă ca un grup comutativ: rezultatul rămâne înăuntru, există elementul nul, iar fiecare element are un opus. Înmulțirea cere doar rezultat în mulțime, asociativitate și un element unitate. Legătura dintre cele două este distributivitatea, valabilă și din stânga, și din dreapta. Când și înmulțirea comută, inelul se numește comutativ.

Numerele întregi, raționale, reale și complexe, cu operațiile obișnuite, sunt inele. La fel este $Z_{n}$ , mulțimea claselor de resturi: aduni și înmulțești numerele, apoi păstrezi restul împărțirii la $n$ . Opusul clasei $\overset{a}{^}$ este $n - a$ , iar rezultatul nu depinde de reprezentantul ales pentru fiecare clasă.

O mulțime nu este inel dacă una dintre operații scoate rezultatul afară: un singur contraexemplu ajunge. Lipsa opuselor strică și ea structura, ca la numerele naturale. Un inel nu cere ca elementele nenule să aibă invers; asta cere corpul.

În $Z_{n}$ reduci la $n$ la fiecare pas și verifici pe alt drum: refaci calculul cu numere întregi și iei restul abia la sfârșit.

De reținut

partea de bani este restul la $100$ ; reduci la fiecare pas
restul de plată este opusul părții totalului: $100 - a$
verifici refăcând calculul cu numere întregi

Greșeala tipică

Se scrie restul ca număr negativ de bani: din partea $80$ se ia „ $- 80$ ” în loc de $20$ . Opusul se caută în aceeași mulțime, iar $80 + 20 = 100$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un program contabil lucrează numai cu sume de lei având cel mult două zecimale, adică cu mulțimea $D = {\frac{m}{100} ∣ m \in Z}$ , cu adunarea și înmulțirea obișnuite. De ce $D$ nu este inel?
- a) adunarea nu este comutativă
- b) nu există element nul
- c) $D$ nu conține opusul unor sume
- d) înmulțirea nu este internă: $0, 05 \cdot 0, 05 = 0, 0025 \in / D$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) înmulțirea nu este internă: $0, 05 \cdot 0, 05 = 0, 0025 \in / D$

Adunarea sumelor cu două zecimale rămâne cu două zecimale, $0 \in D$ , iar opusul lui $\frac{m}{100}$ este $- \frac{m}{100} \in D$ . Cade doar închiderea la înmulțire: produsul $0, 05 \cdot 0, 05 = 0, 0025$ are patru zecimale. Celelalte variante afirmă lipsuri pe care $D$ nu le are: adunarea e comutativă, $0 \in D$ , iar fiecare sumă are opus în $D$ .
În inelul $(Z_{22}, +, \cdot)$ , care este reprezentantul din ${0, 1, \dots, 21}$ al clasei $\hat{8} \cdot (\hat{5} + \hat{9})$ ?
- a) $5$
- b) $112$
- c) $2$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

Calculezi paranteza: $\hat{5} + \hat{9} = \hat{14}$ , apoi $\hat{8} \cdot \hat{14} = 112$ , iar $112 = 5 \cdot 22 + 2$ , deci $\hat{2}$ . Cu distributivitatea: $40 + 72 = 112$ , același rezultat. Varianta $112$ nu reduce, $14$ este numai paranteza, iar $5$ vine din $\hat{8} \cdot \hat{5} + \hat{9}$ , adică $49 = 2 \cdot 22 + 5$ : factorul $\hat{8}$ nu s-a distribuit și peste al doilea termen.
O linie de conserve umple lăzi de câte $35$ de borcane. Pe fiecare tavă se așază câte $7$ borcane. Pentru câte numere de tăvi $x$ , cu $1 \leq x \leq 34$ , se umplu lăzi întregi, fără niciun borcan rămas, adică $\hat{7} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0}$ în $Z_{35}$ ?
- a) $6$
- b) $4$
- c) $34$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6$

Trebuie ca $35$ să dividă $7 x$ , adică $5$ să dividă $x$ : $x \in {5, 10, 15, 20, 25, 30}$ , deci $6$ valori. Varianta $7$ numără și $x = 35$ , care nu e în interval. Varianta $4$ cere ca $x$ să fie multiplu de $7$ , adică unul dintre multiplii lui $7$ mai mici decât $35$ , iar $34$ presupune că orice $x$ merge.

Întrebări conexe

Cum aflu partea de bani a restului?

Este opusul părții de bani a totalului în $Z_{100}$ . Dacă totalul are partea $80$ , restul din 100 de lei are partea $100 - 80 = 20$ . Verificare: $100 - 61, 80 = 38, 20$ lei, adică $20$ de bani.

De ce pot reduce fiecare produs la ultimele două cifre?

Fiindcă rezultatul unei sume sau al unui produs de clase rămâne același oricare reprezentant ai alege: numerele cu același rest la $100$ formează o singură clasă. De pildă $1190$ și $90$ au restul $90$ la $100$ , deoarece $1190 = 11 \cdot 100 + 90$ , deci în sumă se poate folosi $90$ .

Se poate aplica la numărul de ore dintr-o zi?

Da, cu $Z_{24}$ în loc de $Z_{100}$ . Un utilaj pornește la ora $10$ și lucrează în $5$ schimburi de câte $7$ ore: $10 + 35 = 45 = 24 + 21$ , deci ora finală este $21$ . Regula este aceeași: aduni, înmulțești, păstrezi restul.

Cum verific un rezultat calculat modulo 100?

Calculezi totul cu numere întregi, în bani, și abia la urmă iei restul. Pentru totalul din exemplu, $2590 + 1430 + 2160$ de bani dă $6180$ de bani, adică $61, 80$ lei, iar $6180 = 61 \cdot 100 + 80$ . Cele două drumuri trebuie să dea aceeași parte de bani.

Când nu pot simplifica la clase modulo 100?

Când factorul simplificat este un divizor al lui zero. În $Z_{100}$ , $\hat{20} \cdot \hat{5} = \hat{0}$ și $\hat{20} \cdot \hat{10} = \hat{0}$ , dar din asta nu rezultă $\hat{5} = \hat{10}$ . Simplificarea cere un factor care nu e divizor al lui zero.

Oamenii mai întreabă și: ultimele două cifre ale totalului unui bon · partea de bani a unei sume · clase de resturi modulo 100 la casa de marcat · totalul unui bon fără calculul întreg