Inelul și exemplele numerice pentru tehnologic

La casa de marcat a unui magazin, partea de bani a totalului se poate afla fără să refaci bonul, doar din părțile de bani ale rândurilor. Calculul stă pe o structură cu două operații, adunarea și înmulțirea, numită inel. Lecția, scrisă pentru clasa a XII-a a filierei tehnologice, pune în ordine condițiile inelului și le încearcă pe mulțimile numerice ℤ, ℚ, ℝ, ℂ și pe ℤₙ. Inelul e în programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Casiera unui magazin de mercerie scoate bonul unui client care cumpără nasturi, fermoare și ață. Prețurile sunt în lei și bani, iar cantitățile, în bucăți. Casiera dă restul în bancnote și monede, deci are nevoie de partea de bani a totalului și a restului, adică de ultimele două cifre. Șeful magazinului o învață să le afle în minte, ca să prindă o tastare greșită înainte de a da restul: el vrea să știe dacă partea de bani a totalului se află doar din părțile de bani ale prețurilor și din cantități.

Clientul plătește cu o bancnotă de 120 de lei. Casiera adună valorile și obține totalul de 119,05 lei.

Întrebare: ce parte de bani are totalul dacă o afli numai din părțile de bani ale prețurilor și din cantități, și ce parte de bani are restul, de 0,95 lei?

De la situație la model

Partea de bani a unui număr de bani $a$ este restul lui $a$ la 100, de la 0 la 99. Două sume de bani cu aceeași parte de bani diferă printr-un număr întreg de lei. De aceea le tratezi ca pe un singur obiect, clasa $\hat{a}$ a tuturor întregilor care dau restul $a$ la împărțirea cu 100. Mulțimea celor 100 de clase se notează ${\mathbb{Z}}_{100}$.

Inelul este o mulțime cu două operații, adunarea și înmulțirea, care îndeplinește nouă condiții. Adunarea e internă, asociativă și comutativă, are element nul și fiecare element are un opus. Înmulțirea e internă, asociativă și are element unitate. În plus, înmulțirea se distribuie față de adunare, la stânga și la dreapta: $a(b+c)=ab+ac$ și $(b+c)a=ba+ca$. Dacă și înmulțirea e comutativă, inelul e comutativ.

Cum calculezi în ${\mathbb{Z}}_{100}$?

Calculezi cu resturile, nu cu numerele întregi mari. Pentru nasturi, cantitatea 107 dă restul 7, iar prețul de 35 de bani rămâne 35. Produsul claselor e $\hat{7}\cdot \widehat{35}=\widehat{245}=\widehat{45}$, partea de bani a valorii de 37,45 lei. Contează numai ultimele două cifre ale fiecărui factor. Regula merge pentru că adunarea și înmulțirea nu depind de felul în care alegi reprezentantul clasei: 107 și 7 sunt în aceeași clasă.

Care dintre mulțimile numerice sunt inele?

Mulțimile ℤ (întregii), ℚ (raționalele), ℝ (realele) și ℂ (complexele), cu adunarea și înmulțirea obișnuite, sunt inele comutative: rezultatele rămân în mulțime, $0$ și $1$ sunt în ea, iar opusul unui număr din mulțime e tot în ea. Inelul ℤₙ, cu $n\ge 2$, are clasele $\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}$.

Ce nu e inel, și ce cade?

O mulțime care nu e închisă la una dintre operații nu e inel. Părțile de bani 0, 1, …, 99, cu adunarea obișnuită, nu sunt închise: $60+70=130$ nu e o parte de bani. De aceea, în ${\mathbb{Z}}_{100}$, reduci la 100 după fiecare operație. Mulțimea numerelor naturale ℕ e închisă la ambele operații, dar tot nu e inel: $5+y=0$ nu are soluție în ℕ, deci lipsesc opusele. Inelele nu cer ca orice element nenul să aibă invers: asta cere corpul, pe care îl alegi când vrei să împarți. Și polinoamele, cu adunarea și înmulțirea lor, formează un inel; le găsești în lecția de la filiera tehnologică despre forma algebrică a polinoamelor. În ℤ₁₀₀, $\hat{4}\cdot \widehat{25}=\hat{0}$, deși niciunul dintre factori nu e nul.

Metoda pas cu pas

1. Alege mulțimea și cele două operații și vezi dacă suma și produsul a două elemente rămân în mulțime. Încearcă pe valori concrete, apoi caută un contraexemplu: două elemente ale căror sumă sau produs ies afară. Dacă una dintre operații iese din mulțime, mulțimea nu e inel.
2. Caută elementul nul, opusul fiecărui element și elementul unitate, în această ordine, fiindcă opusul se definește față de nul. Pentru nul cauți $z$ cu $a+z=a$, pentru opus cauți $y$ cu $a+y=z$, iar pentru unitate cauți $e$ cu $a\cdot e=a$. Dacă lipsește unul dintre ele, spune care: la ℕ lipsesc opusele. Un singur element care lipsește ajunge ca mulțimea să nu fie inel.
3. Verifică asociativitatea și distributivitatea pe valori de probă. La mulțimile numerice le moștenești din ℝ, iar în ℤₙ, din ℤ, fiindcă operațiile cu clase se reduc la cele cu numere întregi. O verificare pe un caz poate infirma o regulă, dar nu o dovedește.
4. În ℤₙ calculezi cu resturile și reduci la $n$ la fiecare pas, apoi verifici pe alt drum: refaci calculul cu numerele întregi și iei restul abia la sfârșit. Opusul unei clase $\hat{a}$, cu $a\ne 0$, e $\widehat{n-a}$: la bon, restul care completează la un leu.

Ordinea pașilor contează: dacă pasul 1 cade, nu mai verifici restul. La mulțimile numerice închiderea e sigură, iar greșelile apar la pașii 2 și 4, deci le verifici de fiecare dată cu un exemplu, nu din memorie.

Lecția despre grupul claselor de resturi tratează adunarea modulo $n$, iar corpurile ℤₚ tratează înmulțirea. Celelalte lecții ale clasei, pe filiera tehnologică, le găsești în traseul clasei a XII-a.

Fișa de buzunar

$$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b},\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab},-\hat{a}=\widehat{n-a}$$

Condițiile inelului: adunarea e internă, asociativă, comutativă, cu element nul și opus pentru fiecare element; înmulțirea e internă, asociativă, cu element unitate; înmulțirea se distribuie față de adunare. Un inel e corp când fiecare element nenul are invers. Verificare rapidă: în ℤₙ, rezultatul din ℤ redus la $n$ trebuie să fie același cu cel calculat cu clase.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Bonul de la mercerie

Domeniu: comert.

Enunț. Reia bonul din situația de pornire: prețuri de 35, 215 și 165 de bani, cantități de 107, 18 și 26 de bucăți, total 119,05 lei, plătit cu 120 de lei. a) Află în ${\mathbb{Z}}_{100}$ partea de bani a totalului, din părțile de bani ale rândurilor. b) Află partea de bani a restului.

Rezolvare. a) Pasul 4. Părțile de bani ale prețurilor sunt 35, 15 și 65, iar cantitățile dau resturile 7, 18 și 26 la 100. Produsele sunt $\hat{7}\cdot \widehat{35}=\widehat{45}$, $\widehat{18}\cdot \widehat{15}=\widehat{270}=\widehat{70}$ și $\widehat{26}\cdot \widehat{65}=\widehat{1690}=\widehat{90}$. Suma lor e $\widehat{45}+\widehat{70}+\widehat{90}=\widehat{205}=\hat{5}$: totalul are 5 bani. b) Restul e opusul: $-\hat{5}=\widehat{95}$, fiindcă $5+95=100$, deci restul din 120 de lei are 95 de bani, adică 0,95 lei.

Capcană. Cine scrie restul ca $-5$ bani ia un opus în afara mulțimii: partea de bani merge de la 0 la 99. Opusul lui $\hat{5}$ e $\widehat{95}$, iar restul din 120 de lei e 0,95 lei.

Verificare. Pe alt drum, cu numerele întregi, în bani: $3745+3870+4290=11905$ bani, adică 119,05 lei, cu partea de bani 5. Iar $12000-11905=95$ bani.

Exemplul 2 — Șuruburile pentru rigips

Domeniu: constructii.

Enunț. Pe un șantier, o echipă montează 47 de plăci de rigips pe zi, cu câte 26 de șuruburi pe placă. Șuruburile vin în cutii de câte 500, iar o cutie nouă se deschide abia când s-a golit cea dinainte; în prima dimineață nu e nicio cutie începută. Câte șuruburi au mai rămas în cutia începută după 9 zile de lucru? Află răspunsul în ${\mathbb{Z}}_{500}$, din consumul pe zi, fără să calculezi întâi consumul total.

Rezolvare. Pasul 4. Pe zi se folosesc $\widehat{47}\cdot \widehat{26}=\widehat{1222}=\widehat{222}$, adică 222 de șuruburi peste cutiile întregi. După 9 zile, $\hat{9}\cdot \widehat{222}=\widehat{1998}=\widehat{498}$: din cutia începută s-au folosit 498 de șuruburi. Ce rămâne în ea e opusul: $-\widehat{498}=\hat{2}$, fiindcă $498+2=500$. În cutie au mai rămas 2 șuruburi.

Capcană. Cine citește $\widehat{498}$ drept „498 de șuruburi rămase” confundă partea folosită din cutie cu cea rămasă și crede că echipa mai are aproape o cutie plină. În cutie sunt doar 2 șuruburi, deci a doua zi dimineață trebuie deschisă una nouă.

Verificare. Pe alt drum, cu numere întregi: în 9 zile se folosesc $9\cdot 47\cdot 26=10998$ șuruburi, adică 21 de cutii întregi și 498 de șuruburi din a 22-a cutie, în care au rămas $500-498=2$.

Exemplul 3 — Contorul de energie cu cinci cifre

Domeniu: electric.

Enunț. Contorul unei hale are cinci cifre și arată în kWh. La montare arată 91250. Hala consumă 1860 kWh pe lună. a) Ce arată contorul după 14 luni, dacă după 99999 revine la 00000? b) De câte ori a trecut prin 00000? c) Câți MWh a consumat hala?

Rezolvare. Contorul lucrează în ${\mathbb{Z}}_{100000}$. a) Consumul în 14 luni e $14\cdot 1860=26040$ kWh. Citirea e clasa lui $91250+26040=117290$, adică $\widehat{117290}=\widehat{17290}$, deci contorul arată 17290. b) Din 117290, câtul împărțirii la 100000 e 1: contorul a trecut o dată prin 00000. c) 26040 kWh sunt 26,04 MWh, fiindcă 1 MWh are 1000 kWh.

Capcană. Cine scrie 117290 pe contor uită că el are numai cinci cifre. Un contor cu cinci cifre nu poate arăta o sumă mai mare ca 99999: după întoarcerea la 0 rămâne 17290.

Verificare. Pe alt drum, în două etape: de la 91250 mai sunt 8750 kWh până la 100000, adică până la 00000, iar din cei 26040 kWh rămân $26040-8750=17290$ kWh după întoarcere, citirea de mai sus.

Exemplul 4 — Problema inversă: consumul lunar de la contor

Domeniu: agricol.

Enunț. Contorul de apă al instalației de irigat dintr-o seră de legume are patru cifre și arată în m³; după 9999 revine la 0000. La 1 aprilie arăta 9650, iar la 1 octombrie, după 6 luni, arată 1372. În acest timp contorul a trecut o singură dată prin 0000. Fermierul vrea consumul mediu pe lună, ca să compare sezonul cu cel de anul trecut.

Rezolvare. Contorul lucrează în ${\mathbb{Z}}_{10000}$. Consumul $x$ verifică $\widehat{9650}+\hat{x}=\widehat{1372}$, deci $\hat{x}=\widehat{1372}-\widehat{9650}=\widehat{-8278}=\widehat{1722}$, fiindcă $-8278+10000=1722$. Clasa singură nu spune câte ture a făcut contorul; fiindcă a trecut o singură dată prin 0000, consumul e 1722 m³, nu 11722 m³. Pe lună, $1722:6=287$ m³.

Capcană. Cine scade invers, $9650-1372=8278$, ia drept consum o diferență care nu s-a consumat și ajunge la $8278:6\approx 1379,67$ m³ pe lună, de aproape cinci ori mai mult. Scăderea directă, $1372-9650$, dă un consum negativ, deci trebuie adunat 10000 o dată, pentru trecerea prin 0000.

Verificare. Pe alt drum, înainte: $9650+6\cdot 287=9650+1722=11372$, iar contorul cu patru cifre arată ultimele patru cifre, 1372.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. În ${\mathbb{Z}}_{14}$ calculează $\hat{9}+\hat{8}$, $\hat{9}\cdot \hat{8}$ și $\hat{7}\cdot \hat{6}$, apoi scrie opusul lui $\hat{5}$.

2. Spune în care dintre inelele ℤ, ℚ, ℝ și ℂ se află fiecare dintre numerele $-7$, $\frac{3}{4}$, $\sqrt{5}$ și $4i$ și scrie opusul fiecăruia, în același inel.

3. În ${\mathbb{Z}}_{100}$ scrie elementul nul, elementul unitate și opusul lui $\widehat{35}$.

4. În ${\mathbb{Z}}_{100}$ calculează $\widehat{48}\cdot \widehat{75}+\widehat{60}$ și verifică rezultatul calculând întâi în ℤ.

Nivelul 2 — situații

5. La un muzeu, ghizii pornesc câte un grup de turiști la fiecare 35 de minute, primul la 9:40. La ce minut al orei și la ce oră pornește al 8-lea grup?

6. O flanșă cu 9 găuri echidistante se găurește pe o masă rotativă care se învârte cu 40° între găuri. Poziția masei, în grade, se citește în ${\mathbb{Z}}_{360}$. a) Ce poziție arată masa după a 7-a învârtire, pornind de la 0°? b) Dar după a 9-a? c) Ce arată egalitatea $\hat{9}\cdot \widehat{40}=\hat{0}$?

7. O fermă de găini ouătoare are 4 hale, iar fiecare dă 2870 de ouă pe zi. Ouăle se pun în cofraje de câte 30, iar cele care nu umplu un cofraj rămân pe a doua zi. a) Câte ouă rămân necofrajate după prima zi? Calculează în ${\mathbb{Z}}_{30}$. b) După câte zile nu mai rămâne niciun ou necofrajat? c) Ce arată egalitatea $\hat{3}\cdot \widehat{20}=\hat{0}$?

8. Un salon de coafură cere 38,50 lei pentru tuns și 62,25 lei pentru vopsit. Pentru 7 cliente vrei partea de bani a totalului. Calculeaz-o în ${\mathbb{Z}}_{100}$ în două feluri: $7\cdot (\widehat{50}+\widehat{25})$ și $7\cdot \widehat{50}+7\cdot \widehat{25}$, și compară rezultatele.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) În ${\mathbb{Z}}_{100}$ calculează $\widehat{77}\cdot \widehat{53}-\widehat{38}\cdot \widehat{91}$, reducând la fiecare pas, și verifică prin calculul în ℤ.

10. (Sinteză.) În ${\mathbb{Z}}_{25}$ calculează $(\hat{3}+\hat{4}\cdot \hat{7})\cdot (\hat{6}-\hat{9})$, reducând la fiecare pas, apoi calculează aceeași expresie în ℤ și ia restul la 25.

11. (Sinteză.) Pe un bon, trei articole au părțile de bani $\hat{x}$, $\widehat{58}$ și $\widehat{41}$, iar totalul are partea de bani $\widehat{17}$. Află $x$ în ${\mathbb{Z}}_{100}$.

12. (Sinteză.) Un bon de mercerie are trei rânduri: 12 m de elastic la 4,75 lei metrul, 25 de capse la 0,32 lei bucata și 6 foarfece de croitorie la 18,40 lei bucata. Clientul plătește cu 200 de lei. Află în ${\mathbb{Z}}_{100}$ partea de bani a totalului și pe cea a restului, spune ce produse de clase nenule dau $\hat{0}$ și verifică în lei.

Răspunsuri și verificări

1. $\hat{9}+\hat{8}=\widehat{17}=\hat{3}$, $\hat{9}\cdot \hat{8}=\widehat{72}=\hat{2}$ și $\hat{7}\cdot \hat{6}=\widehat{42}=\hat{0}$. Opusul lui $\hat{5}$ e $\hat{9}$. Verificare: $72=5\cdot 14+2$, $42=3\cdot 14$ și $5+9=14$.

2. $-7$ e în toate cele patru, fiindcă ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ, și are opusul 7. $\frac{3}{4}$ e în ℚ, ℝ și ℂ, cu opusul $-\frac{3}{4}$. $\sqrt{5}$ e în ℝ și ℂ, cu opusul $-\sqrt{5}$. $4i$ e numai în ℂ, cu opusul $-4i$. Verificare: fiecare număr adunat cu opusul lui dă 0, iar 0 e în toate cele patru inele.

3. Elementul nul e $\hat{0}$, cel unitate e $\hat{1}$, iar opusul lui $\widehat{35}$ e $\widehat{65}$. Verificare: $35+65=100$.

4. $\widehat{48}\cdot \widehat{75}=\widehat{3600}=\hat{0}$, apoi $\hat{0}+\widehat{60}=\widehat{60}$. Verificare: în ℤ, $48\cdot 75+60=3660$, iar restul la 100 e 60.

5. Între primul și al 8-lea grup sunt 7 intervale: $7\cdot 35=245$ de minute, adică 4 h 5 min, iar la minute $40+5=45$. Al 8-lea grup pornește la minutul 45, la 13:45. Verificare: $9\cdot 60+40+245=825$ de minute de la miezul nopții, iar $825=13\cdot 60+45$.

6. a) $7\cdot 40=280$, deci masa arată 280°. b) $9\cdot 40=360\equiv 0$, deci revine la 0°. c) Arată că nouă învârtiri de 40° fac un tur complet, iar $\hat{9}$ și $\widehat{40}$ sunt nenule, deși produsul lor e $\hat{0}$. Verificare: $9\cdot 40=360=1\cdot 360$.

7. a) $2870=95\cdot 30+20$, deci $\hat{4}\cdot \widehat{2870}=\hat{4}\cdot \widehat{20}=\widehat{80}=\widehat{20}$: rămân 20 de ouă. b) Resturile zilnice se adună: $\widehat{20}$, apoi $\widehat{40}=\widehat{10}$, apoi $\widehat{60}=\hat{0}$, deci după 3 zile nu mai rămâne niciun ou necofrajat. c) Arată că trei rămășițe de câte 20 de ouă umplu exact două cofraje: $\hat{3}$ și $\widehat{20}$ sunt nenule, dar produsul lor e $\hat{0}$. Verificare: $3\cdot 4\cdot 2870=34440=1148\cdot 30$.

8. Calculezi $\widehat{50}+\widehat{25}=\widehat{75}$, apoi $\hat{7}\cdot \widehat{75}=\widehat{525}=\widehat{25}$. Celălalt drum dă $\hat{7}\cdot \widehat{50}=\widehat{350}=\widehat{50}$ și $\hat{7}\cdot \widehat{25}=\widehat{175}=\widehat{75}$, iar suma lor e $\widehat{125}=\widehat{25}$. Rezultatele coincid, ca la distributivitate. Verificare: în lei, $7\cdot 100,75=705,25$, cu partea de bani 25.

9. Primul produs: $77\cdot 53=4081$, deci $\widehat{81}$. Al doilea: $38\cdot 91=3458$, deci $\widehat{58}$. Diferența e $\widehat{81}-\widehat{58}=\widehat{23}$. Verificare: în ℤ, $4081-3458=623$, iar restul la 100 e 23.

10. Întâi produsul: $\hat{4}\cdot \hat{7}=\widehat{28}=\hat{3}$, deci prima paranteză e $\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}$. A doua paranteză: $\hat{6}-\hat{9}=-\hat{3}=\widehat{22}$. Produsul: $\hat{6}\cdot \widehat{22}=\widehat{132}=\hat{7}$, fiindcă $132=5\cdot 25+7$. Verificare: în ℤ, $(3+28)\cdot (6-9)=31\cdot (-3)=-93$, iar $-93+4\cdot 25=7$.

11. Din $\hat{x}+\widehat{58}+\widehat{41}=\widehat{17}$ rezultă $\hat{x}+\widehat{99}=\widehat{17}$, deci $\hat{x}=\widehat{17}-\widehat{99}=\widehat{-82}=\widehat{18}$. Opusul lui $\widehat{99}$ e $\hat{1}$, deci $\hat{x}=\widehat{17}+\hat{1}$ dă același 18. Partea de bani a articolului lipsă e 18. Verificare: $18+58+41=117$, iar restul la 100 e 17.

12. Rândurile, în bani: $\widehat{12}\cdot \widehat{75}=\widehat{900}=\hat{0}$, $\widehat{25}\cdot \widehat{32}=\widehat{800}=\hat{0}$ și $\hat{6}\cdot \widehat{40}=\widehat{240}=\widehat{40}$. Totalul are partea de bani $\hat{0}+\hat{0}+\widehat{40}=\widehat{40}$, iar restul are opusul ei, $-\widehat{40}=\widehat{60}$. Produsele $\widehat{12}\cdot \widehat{75}$ și $\widehat{25}\cdot \widehat{32}$ au factori nenuli și dau $\hat{0}$. Verificare: în lei, totalul e $57+8+110,40=175,40$, iar restul $24,60$ lei.

Așa vine la Bac M3

Inelul face parte din programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), dar nu a apărut în probele 2013–2026. Programa îl așază în capitolul „Inele și corpuri” al clasei a XII-a, cu exemple din ℤ, ℚ, ℝ, ℂ și ℤₙ, între grupuri și inelele de polinoame. În indexul făcut din cele 83 de probe oficiale, inelul și corpul nu sunt tema, nici principală, nici secundară, a vreunei cerințe: la Subiectul al II-lea, problema 2 a adus de fiecare dată fie o lege de compoziție pe o mulțime de numere, fie un polinom. Așa că aici nu găsești trimiteri la cerințe și nici cerințe construite după ele.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), sunt scrise pentru lecție, nu luate din probe. Ele repetă calculul cu resturi, reducerea la fiecare pas și opusul, adică ce ai învățat aici.

Greșeli care costă puncte

• Iei opusul lui $\hat{5}$ drept $-5$ bani → rest negativ de bani, ca la capcana primului exemplu; cum o prinzi: opusul se caută în aceeași mulțime, iar $5+95=100$.
• Verifici o singură condiție, distributivitatea, pe un exemplu → ℕ pare inel, deși îi lipsesc opusele; cum o prinzi: treci pe rând prin cele nouă condiții, în ordinea din Metodă.
• Scrii pe contor 117290 → un contor cu cinci cifre nu are 117290; cum o prinzi: reduci la 100000, iar rezultatul trebuie să aibă cel mult cinci cifre.
• Scazi citirile contorului direct, $1372-9650$ → un consum negativ; cum o prinzi: aduni 10000 o dată pentru fiecare trecere prin 0000, apoi aduni consumul la prima citire și compari cu a doua.
• Reduci doar la sfârșit și te încurci la numerele mari → greșeli de calcul în produse ca $77\cdot 53$; cum o prinzi: reduci la fiecare pas, apoi verifici cu numerele întregi.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Noțiunea de inel, cu exemplele ei numerice, face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce parte de bani are bonul dacă clientul ia 207 nasturi, nu 107? Aceeași, 45 de bani la rândul nasturilor. Cantitățile 107 și 207 dau același rest, 7, la 100, deci în ${\mathbb{Z}}_{100}$ sunt aceeași clasă, iar produsul $\hat{7}\cdot \widehat{35}$ nu se schimbă. Valoarea crește la 72,45 lei, dar ultimele două cifre rămân 45, deci și partea de bani a totalului rămâne 5.

De ce nu contează ordinea articolelor pe bon? Adunarea claselor e asociativă și comutativă, ca în ℤ: grupezi rândurile cum vrei, iar partea de bani a totalului iese la fel, 5. Casiera poate aduna chiar și de jos în sus. Verifici cu două rânduri: $\widehat{45}+\widehat{70}=\widehat{15}$ și $\widehat{70}+\widehat{45}=\widehat{15}$, apoi $\widehat{15}+\widehat{90}=\hat{5}$.

Se schimbă ceva dacă bonul e în euro, cu cenți? Structura rămâne aceeași: 100 de cenți fac un euro, așa că partea de cenți a unui total e tot o clasă din ${\mathbb{Z}}_{100}$. Regulile de calcul nu se schimbă, iar opusul unei părți de cenți completează la un euro, ca opusul părții de bani la un leu.

Ce parte de bani are totalul dacă prețul nasturilor crește la 0,38 lei? Părțile de bani ale rândurilor sunt $\hat{7}\cdot \widehat{38}=\widehat{266}=\widehat{66}$, apoi 70 și 90, deci totalul are $\widehat{66+70+90}=\widehat{226}=\widehat{26}$ bani, adică 122,26 lei. Valoarea nasturilor crește de la 37,45 lei la 40,66 lei, cu $107\cdot 0,03=3,21$ lei, iar celelalte două rânduri rămân neschimbate.

Intră inelul în materia Bacalaureatului M3 (M_tehnologic)? Da, e în programa de examen, cu exemplele ℤ, ℚ, ℝ, ℂ și ℤₙ, în clasa a XII-a. După indexul făcut din cele 83 de probe, tema inelului nu a apărut până acum într-o cerință. Fiind în programă, poate fi cerută, iar exercițiile 9–12 o repetă în forme scurte.

Cum verific distributivitatea pe un bon? Alegi 3 articole de două feluri, cu părțile de bani 35 și 15. Prima formă, $3\cdot (35+15)=3\cdot 50=150$, dă $\widehat{50}$. A doua, $3\cdot 35+3\cdot 15=105+45=150$, dă tot $\widehat{50}$. O verificare pe un caz nu dovedește regula, dar o poate infirma.