Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Inelul pe exemple numerice

Când e inel o mulțime cu două legi?

O mulțime cu două legi e inel când prima lege o face grup comutativ, iar a doua, asociativă și cu unitate, se distribuie față de prima. ℤ, ℚ, ℝ și $Z_{n}$ sunt inele. ℕ nu e, fiindcă 3 nu are opus. La legi date, nulul și unitatea se calculează: la $x \oplus y = x + y - 39$ , nulul e 39, nu 0.

Un inel este o mulțime cu două legi: cu adunarea e grup comutativ, înmulțirea e asociativă și are element unitate, iar înmulțirea e distributivă față de adunare. Ca în manualele românești, aici orice inel are element unitate.

ℤ, ℚ, ℝ și $Z_{n}$ sunt inele comutative. ℕ nu e inel, fiindcă îi lipsesc opusele, iar numerele întregi pare nu sunt inel, fiindcă le lipsește unitatea. În $Z_{n}$ cu $n$ compus apar divizori ai lui zero: $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ în $Z_{6}$ .

Mărgelele înșirate în ordinea curcubeului se socotesc în $Z_{7}$ : prima mărgea a brățării $j$ , cu $L$ mărgele pe brățară, are culoarea $\hat{j} \cdot \hat{L}$ . Proba cu 9 a învățătoarei funcționează fiindcă $Z_{9}$ e inel.

La legi date prin formulă, elementul nul și unitatea se calculează: pentru $x \oplus y = x + y - 39$ și $x ⊙ y = (x - 39) (y - 39) + 39$ , nulul e 39 și unitatea 40. Inelul e în programa M_pedagogic, dar nu a apărut în probele 2013–2026.

De reținut

inel: grup comutativ la adunare, înmulțire asociativă cu unitate, distributivitate
ℤ, ℚ, ℝ, $Z_{n}$ sunt inele; ℕ nu
la legi date, nulul și unitatea se află din ecuații

Greșeala tipică

Se presupune că elementul nul e 0 la orice lege: la $x \oplus y = x + y - 39$ , $0 \oplus 41 = 2$ , nu 41; nulul corect e 39, iar opusul lui 41 e 37.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre mulțimile următoare, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, nu este inel?
- a) ℤ
- b) ℚ
- c) ℕ
- d) $Z_{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ℕ

ℕ nu are opuse: $3 + y = 0$ nu are soluție naturală. ℤ, ℚ și $Z_{6}$ sunt inele; $Z_{6}$ are divizori ai lui zero, dar asta nu îl împiedică să fie inel.
Care sunt clasele nenule din $Z_{6}$ care sunt divizori ai lui zero?
- a) $\hat{2}, \hat{3}, \hat{4}$
- b) $\hat{1}, \hat{5}$
- c) doar $\hat{3}$
- d) niciuna
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\hat{2}, \hat{3}, \hat{4}$

$\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ și $\hat{4} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ , deci $\hat{2}$ , $\hat{3}$ și $\hat{4}$ sunt divizori ai lui zero. $\hat{1}$ și $\hat{5}$ au invers, deci produsul lor cu o clasă nenulă nu e $\hat{0}$ .
Pe ℝ, legile $x \oplus y = x + y - 42$ și $x ⊙ y = x y - 42 x - 42 y + 1806$ formează un inel. Care este elementul lui unitate?
- a) $42$
- b) $43$
- c) $1$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $43$

$x ⊙ y = (x - 42) (y - 42) + 42$ , iar $(x - 42) (u - 42) + 42 = x$ pentru orice $x$ dă $u = 43$ . Verificare: $43 ⊙ 7 = 1 \cdot (- 35) + 42 = 7$ . Varianta 42 e elementul nul; 0 e nulul adunării obișnuite, iar 1 e unitatea înmulțirii obișnuite.

Întrebări conexe

De ce numerele întregi pare nu formează inel?

Au suma și produsul pare, au 0 și opuse, dar nu au element unitate: un $u$ cu $u \cdot 2 = 2$ ar fi 1, care nu e par. Cu convenția manualelor românești, inelul cere unitate.

Ce sunt divizorii lui zero?

Clase nenule al căror produs e nul. În $Z_{6}$ , $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ . Apar în $Z_{n}$ cu $n$ compus; în ℤ, ℚ, ℝ și $Z_{p}$ cu $p$ prim nu există.

De ce funcționează proba cu 9?

Fiindcă $Z_{9}$ e inel: restul la 9 al unei sume sau al unui produs se află din resturile termenilor. Proba poate arăta că un rezultat e greșit, dar nu că e bun: cifrele mutate dau aceeași sumă.

Cum verific distributivitatea la legi date?

Calculezi $x ⊙ (y \oplus z)$ și $(x ⊙ y) \oplus (x ⊙ z)$ pe litere și compari. Pentru $x \oplus y = x + y - 45$ și $x ⊙ y = 7 x y$ , la $x = y = z = 0$ obții 0 și $- 45$ , deci nu e inel. Un singur contraexemplu ajunge ca să respingi inelul, dar ca să îl accepți arăți egalitatea pe litere.

Ce culoare are prima mărgea a brățării cu numărul 99, la 30 de mărgele pe brățară?

Numerotarea pornește de la 0, deci a suta brățară are numărul 99, iar culorile se repetă din 7 în 7 mărgele, așa că ajung resturile la 7. În $Z_{7}$ , $99 = \hat{1}$ și $30 = \hat{2}$ , deci culoarea e $\hat{2}$ , galben. Verificare: $99 \cdot 30 = 2970 = 424 \cdot 7 + 2$ .

Oamenii mai întreabă și: conditiile inelului pe exemple · de ce n nu este inel · proba cu 9 si inelul z9 · inel cu legi date prin formula