Inelul la pedagogic: ℤ, ℚ, ℝ și ℤₙ pe exemple

La atelierul de lucru manual, culoarea unei mărgele dintr-un șirag lung se află din două operații: aduni mărgele și înmulțești numărul de brățări cu lungimea lor. Când două operații se împacă așa, mulțimea pe care lucrezi e un inel. În această lecție de clasa a XI-a, pentru pedagogic, condițiile inelului se încearcă rând pe rând pe ℤ, ℚ, ℝ, ℤₙ și pe două legi date prin formule. Programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic) cere inelul, cu exemplele lui numerice.

Situația de pornire

O educatoare pregătește, pentru ziua porților deschise, brățări din mărgele colorate. Mărgelele se înșiră pe un singur fir lung, mereu în ordinea curcubeului: roșu, oranj, galben, verde, albastru, indigo, violet, apoi iar roșu. Din fir se taie, una după alta, brățări cu același număr de mărgele. Fiecare grupă a grădiniței a cerut un alt model.

Educatoarea vrea să pună lângă fiecare comandă un bilet cu culoarea primei mărgele de pe ultima brățară și cu culoarea ultimei mărgele înșirate, ca să verifice firul după tăiere.

Întrebare: pentru fiecare comandă, cu ce culoare începe ultima brățară și ce culoare are ultima mărgea de pe fir?

De la situație la model

Numerotezi mărgelele de pe fir de la 0. Culorile se repetă din 7 în 7, deci mărgeaua cu numărul $k$ are culoarea dată de restul lui $k$ la 7: roșu pentru $\hat{0}$, oranj pentru $\hat{1}$, galben $\hat{2}$, verde $\hat{3}$, albastru $\hat{4}$, indigo $\hat{5}$, violet $\hat{6}$. Brățara cu numărul $j$, numărată tot de la 0, începe la mărgeaua $j\cdot L$, unde $L$ e numărul de mărgele de pe brățară.

Ce condiții are un inel?

Inelul este o mulțime $A$ cu două legi, o adunare și o înmulțire, care îndeplinesc trei grupe de condiții. Întâi, $(A,+)$ e grup comutativ: adunarea e internă, asociativă, comutativă, are element neutru, numit element nul și notat $0$, iar fiecare element are un opus. Apoi, înmulțirea e internă, asociativă și are element neutru, numit element unitate și notat $1$. În sfârșit, înmulțirea e distributivă față de adunare, la stânga și la dreapta: $x(y+z)=xy+xz$ și $(y+z)x=yx+zx$. Dacă înmulțirea e și comutativă, inelul e comutativ. Ca în manualele românești, aici orice inel are element unitate.

Care mulțimi de numere sunt inele?

Mulțimile ℤ, ℚ și ℝ, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, sunt inele comutative: suma și produsul rămân în mulțime, $0$ și $1$ sunt în ea, iar opusul unui număr din mulțime e tot în ea. Mulțimea ℕ nu e inel: e închisă la ambele operații și are $0$ și $1$, dar ecuația $3+y=0$ nu are soluție în ℕ, deci lipsesc opusele. Mulțimea numerelor întregi pare nu e nici ea inel, din alt motiv: are opuse, dar nu are element unitate, fiindcă $1$ nu e par.

De ce e ${\mathbb{Z}}_n$ un inel?

Adunarea și înmulțirea claselor se fac pe reprezentanți: $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ și $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$. Orice egalitate adevărată în ℤ rămâne adevărată după ce iei resturile, deci asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea trec din ℤ în ${\mathbb{Z}}_n$ fără calcule noi. Elementul nul e $\hat{0}$, unitatea e $\hat{1}$, iar opusul lui $\hat{a}$ e $\widehat{n-a}$.

Ce e nou în ${\mathbb{Z}}_n$?

Un produs poate fi nul fără ca vreun factor să fie nul. În ${\mathbb{Z}}_6$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$. Clasele nenule cu această proprietate se numesc divizori ai lui zero. În ℤ, ℚ și ℝ nu există, iar în ${\mathbb{Z}}_7$ nici atât, fiindcă 7 e prim. Pentru brățări asta contează: cu $L=30$, adică $\hat{L}=\hat{2}$, brățările încep pe rând cu toate cele 7 culori, înainte ca o culoare să se repete.

Metoda pas cu pas

1. Fixează mulțimea și cele două legi și verifică întâi că suma și produsul a două elemente rămân în mulțime. Caută un contraexemplu pe valori concrete; dacă una dintre legi iese din mulțime, te oprești: nu e inel.
2. Verifică adunarea: asociativă, comutativă, cu element nul $z$ (pentru care $x+z=x$) și cu opus pentru fiecare $x$ (un $x^{\prime }$ cu $x+x^{\prime }=z$). La legi date prin formulă, cauți $z$ și $x^{\prime }$ rezolvând ecuațiile.
3. Verifică înmulțirea: asociativă și cu element unitate $u$, pentru care $x\cdot u=u\cdot x=x$. La mulțimile de numere și la ${\mathbb{Z}}_n$, asociativitatea vine din ℤ sau din ℝ.
4. Verifică distributivitatea pe litere, la stânga și, dacă înmulțirea nu e comutativă, și la dreapta. O singură pereche de valori pentru care ea cade ajunge ca să respingi inelul.
5. În ${\mathbb{Z}}_n$, calculează cu resturi și redu după fiecare operație; proba o faci pe numere întregi, cu restul luat la sfârșit.

Ordinea contează: la pasul 2 afli elementul nul, de care ai nevoie ca să spui ce e opusul. O lege dată prin formulă poate trece pașii 1–3 și cădea abia la distributivitate, ca în exemplul 4.

Calculul cu clase și tablele lor sunt în lecția despre clasele de resturi ℤₙ și tablele lor, iar o altă privire asupra aceleiași structuri, pe un bon de casă, în lecția despre inelul la tehnologic. Inelele în care orice element nenul are invers sunt în lecția despre corpurile ℚ, ℝ și ℤₚ. Toate lecțiile clasei sunt în traseul de la pedagogic, clasa a XI-a.

Fișa de buzunar

$$x(y+z)=xy+xz,(y+z)x=yx+zx,\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b},\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$$

Grupele de condiții: $(A,+)$ grup comutativ; înmulțirea asociativă, cu unitate; distributivitatea. La o lege dată prin formulă, elementul nul și unitatea se calculează, nu se presupun $0$ și $1$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Brățările grupei mici

Domeniu: atelier.

Enunț. Reia comanda grupei mici din situația de pornire: 12 brățări a câte 30 de mărgele, tăiate dintr-un fir care începe cu roșu și urmează ordinea curcubeului. a) Cu ce culoare începe ultima brățară? b) Ce culoare are ultima mărgea de pe fir? Calculează în ${\mathbb{Z}}_7$.

Rezolvare. a) Pasul 5: $30=4\cdot 7+2$, deci $\widehat{30}=\hat{2}$. Ultima brățară are numărul 11, iar $11=7+4$, deci $\widehat{11}=\hat{4}$. Prima ei mărgea are culoarea $\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{8}=\hat{1}$: oranj. b) Pe fir sunt $12\cdot 30$ mărgele, iar ultima are numărul $12\cdot 30-1$. Cum $\widehat{12}=\hat{5}$, culoarea ei e $\hat{5}\cdot \hat{2}-\hat{1}=\widehat{10}-\hat{1}=\hat{9}=\hat{2}$: galben.

Capcană. Cine numără brățările de la 1 și ia ultima drept brățara 12 calculează $\widehat{12}\cdot \hat{2}=\hat{5}\cdot \hat{2}=\hat{3}$ și scrie pe bilet verde. Dar brățara 12, numărată de la 1, începe după 11 brățări întregi, deci la mărgeaua $11\cdot 30$, care e oranj.

Verificare. Pe alt drum, cu numere întregi: $11\cdot 30=330=47\cdot 7+1$, adică oranj, iar $12\cdot 30-1=359=51\cdot 7+2$, adică galben.

Exemplul 2 — Proba cu 9 pe caietul unui elev

Domeniu: scoala.

Enunț. La clasa a IV-a, un elev a calculat $37\cdot 48+29\cdot 56$ și a scris rezultatul 3410. Învățătoarea vrea să verifice repede rezultatul, fără să refacă înmulțirile. a) Face proba cu ultima cifră, în ${\mathbb{Z}}_{10}$. b) Face proba cu 9, în ${\mathbb{Z}}_9$, unde clasa unui număr e dată de restul sumei cifrelor lui la 9. Ce arată fiecare probă?

Rezolvare. Pasul 5. a) În ${\mathbb{Z}}_{10}$: $\hat{7}\cdot \hat{8}+\hat{9}\cdot \hat{6}=\widehat{56}+\widehat{54}=\widehat{110}=\hat{0}$. Rezultatul elevului se termină în 0, deci proba cu ultima cifră iese. b) În ${\mathbb{Z}}_9$: $37\to \hat{1}$, $48\to \hat{3}$, $29\to \hat{2}$, $56\to \hat{2}$, iar $\hat{1}\cdot \hat{3}+\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{7}$. Suma cifrelor lui 3410 e 8, deci 3410 e în $\hat{8}$, nu în $\hat{7}$: rezultatul e greșit. Probele funcționează fiindcă ${\mathbb{Z}}_{10}$ și ${\mathbb{Z}}_9$ sunt inele: restul sumei și al produsului se află din resturile termenilor.

Capcană. Cine se oprește la proba cu ultima cifră acceptă un rezultat greșit: 3410 trece de ea, deși rezultatul corect e 3400. O probă care iese nu dovedește că rezultatul e bun; una care nu iese dovedește că e greșit.

Verificare. Pe alt drum, cu numere întregi: $37\cdot 48=1776$, $29\cdot 56=1624$, iar suma e 3400, cu suma cifrelor 7.

Exemplul 3 — Un inel cu legi date prin formulă

Domeniu: algebra.

Enunț. Pe ℝ se definesc legile $x\oplus y=x+y-39$ și $x\odot y=xy-39x-39y+1560$. Arată că $(\mathbb{R},\oplus ,\odot )$ e inel și află elementul nul, elementul unitate și opusul lui 41.

Rezolvare. Pasul 1: rezultatele sunt numere reale. Pasul 2: $(x\oplus y)\oplus z=x+y+z-78=x\oplus (y\oplus z)$, iar $x\oplus y=y\oplus x$. Elementul nul $z$ verifică $x+z-39=x$, deci $z=39$. Opusul lui $x$ verifică $x+x^{\prime }-39=39$, deci $x^{\prime }=78-x$; opusul lui 41 e 37. Pasul 3: $x\odot y=(x-39)(y-39)+39$, iar ambele grupări dau $(x-39)(y-39)(z-39)+39$, deci $\odot$ e asociativă. Unitatea $u$ verifică $(x-39)(u-39)+39=x$, adică $(x-39)(u-39)=x-39$ pentru orice $x$, deci $u=40$. Pasul 4: $x\odot (y\oplus z)=(x-39)(y+z-78)+39$, iar $(x\odot y)\oplus (x\odot z)=(x-39)(y-39)+39+(x-39)(z-39)+39-39=(x-39)(y+z-78)+39$. Cele două sunt egale, iar $\odot$ e comutativă, deci $(\mathbb{R},\oplus ,\odot )$ e inel comutativ, cu elementul nul 39 și unitatea 40.

Capcană. Cine presupune că elementul nul e 0, ca la adunarea obișnuită, obține $0\oplus 41=2$, nu 41, și caută opusul lui 41 ca $-41$; dar $41\oplus (-41)=-39$, care nu e elementul nul.

Verificare. Pe alt drum, pe numere: $41\oplus 37=39$; $40\odot 46=1840-1560-1794+1560=46$; pentru $x=41$, $y=38$, $z=40$: $y\oplus z=39$ și $41\odot 39=39$, iar $41\odot 38=37$, $41\odot 40=41$ și $37\oplus 41=39$.

Exemplul 4 — Problema inversă: parametrul care face legile inel

Domeniu: club.

Enunț. La cercul de matematică, elevii pregătesc o fișă pentru colegii mai mici. Păstrează înmulțirea $x\odot y=xy-39x-39y+1560$ din exemplul 3, dar schimbă adunarea în $x\oplus y=x+y-a$, cu $a$ real. Pentru ce valoare a lui $a$ obțin un inel pe ℝ?

Rezolvare. Pentru orice $a$, $(\mathbb{R},\oplus )$ e grup comutativ, cu elementul nul $a$, iar $\odot$ rămâne asociativă, cu unitatea 40. Hotărăște pasul 4. În stânga, $x\odot (y\oplus z)=(x-39)(y+z-a-39)+39$. În dreapta, $(x\odot y)\oplus (x\odot z)=(x-39)(y+z-78)+78-a$. Egalitatea pentru orice $x$, $y$, $z$ cere ca $(x-39)(39-a)=39-a$ pentru orice $x$, ceea ce se întâmplă doar pentru $a=39$. Legile formează inel numai pentru $a=39$.

Capcană. Cine verifică doar adunarea și înmulțirea separat găsește grup și asociativitate pentru orice $a$ și crede că orice valoare e bună. Pentru $a=38$, $x=41$ și $y=z=0$: $41\odot (0\oplus 0)=41\odot (-38)=-115$, dar $(41\odot 0)\oplus (41\odot 0)=(-39)\oplus (-39)=-116$.

Verificare. Pe alt drum, pui $a=39$ în egalitatea cerută: ambii membri devin $(x-39)(y+z-78)+39$, exact ca în exemplul 3.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Spune care dintre mulțimile ℕ, ℤ, ℚ, ℝ sunt inele cu adunarea și înmulțirea obișnuite și, pentru cea care nu e, ce condiție cade.

2. În ${\mathbb{Z}}_5$ calculează $\hat{3}\cdot (\hat{4}+\hat{2})$ și $\hat{3}\cdot \hat{4}+\hat{3}\cdot \hat{2}$ și compară rezultatele.

3. În inelul ${\mathbb{Z}}_6$ scrie elementul nul, elementul unitate, opusul lui $\hat{4}$ și clasele nenule care sunt divizori ai lui zero.

4. Arată că mulțimea numerelor întregi pare e închisă la adunare și la înmulțire și conține opusul fiecărui element, dar nu e inel.

Nivelul 2 — situații

5. Folosește modelul din lecție pentru celelalte două comenzi din situația de pornire: grupa mijlocie, 15 brățări a câte 26 de mărgele, și grupa mare, 18 brățări a câte 32 de mărgele. Pentru fiecare, află culoarea primei mărgele de pe ultima brățară și a ultimei mărgele de pe fir.

6. Un elev a calculat $58\cdot 67-23\cdot 45$ și a scris 2861. a) Fă proba cu 9. b) Fă proba cu ultima cifră. c) Ce poți spune despre rezultat?

7. Pentru serbarea de 1 Decembrie, copiii înșiră steaguri pe un fir, mereu în ordinea albastru, galben, roșu, apoi iar albastru. Din fir se taie 4 ghirlande a câte 22 de steaguri. Cu ce culoare începe a patra ghirlandă și ce culoare are ultimul steag de pe fir? Calculează în ${\mathbb{Z}}_3$.

8. La garderoba grădiniței sunt 12 dulapuri, numerotate de la 0 la 11. Copilul cu numărul de ordine $k$, de la 0 la 11, primește dulapul cu numărul $5k+7$, redus la 12. a) Ce dulap primește copilul 9? b) Primesc toți copiii dulapuri diferite? c) Ce s-ar întâmpla cu regula $4k+7$?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pe ℝ se definesc legile $x\oplus y=x+y+36$ și $x\odot y=xy+36x+36y+1260$. Află elementul nul, elementul unitate și opusul lui 5 și verifică distributivitatea.

10. (Sinteză.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{20}$ ecuațiile $x\cdot x=\hat{0}$ și $x\cdot x=\hat{1}$.

11. (Sinteză.) În ${\mathbb{Z}}_6$ se consideră mulțimea $A=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$. Arată că $A$ e închisă la adunare și la înmulțire și că există în $A$ un element $u$ cu $u\cdot x=x$ pentru orice $x$ din $A$. Care este?

12. (Sinteză.) Pe ℝ se definesc legile $x\oplus y=x+y-45$ și $x\odot y=7xy$. Arată că $(\mathbb{R},\oplus ,\odot )$ nu e inel.

Răspunsuri și verificări

1. ℤ, ℚ și ℝ sunt inele. ℕ nu e inel, fiindcă îi lipsesc opusele: de pildă, $3+y=0$ nu are soluție naturală. Verificare: în ℤ, opusul lui 3 e $-3$, iar $3+(-3)=0$.

2. $\hat{3}\cdot (\hat{4}+\hat{2})=\hat{3}\cdot \hat{1}=\hat{3}$, iar $\hat{3}\cdot \hat{4}+\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}$: rezultatele coincid. Verificare: în ℤ, $3\cdot 6=18$ și $12+6=18$, cu restul 3 la 5.

3. Elementul nul e $\hat{0}$, unitatea $\hat{1}$, opusul lui $\hat{4}$ e $\hat{2}$, iar divizorii lui zero sunt $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{4}$. Verificare: $2\cdot 3=6$ și $4\cdot 3=12$ se împart la 6.

4. $2a+2b=2(a+b)$ și $2a\cdot 2b=2\cdot 2ab$ sunt pare, iar opusul lui $2a$ e $-2a$, tot par. Un element unitate $u$ ar trebui să verifice $u\cdot 2=2$, deci $u=1$, care nu e par: lipsește unitatea. Verificare: $2\cdot 2=4\ne 2$, $2\cdot 0=0\ne 2$, deci niciun număr par nu lasă 2 neschimbat.

5. Grupa mijlocie: $\widehat{26}=\hat{5}$ și $\widehat{14}=\hat{0}$, deci ultima brățară începe cu $\hat{0}\cdot \hat{5}=\hat{0}$, roșu; ultima mărgea e $\widehat{15}\cdot \hat{5}-\hat{1}=\hat{4}$, albastru. Grupa mare: $\widehat{32}=\hat{4}$ și $\widehat{17}=\hat{3}$, deci începe cu $\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{5}$, indigo; ultima mărgea e $\widehat{18}\cdot \hat{4}-\hat{1}=\hat{1}$, oranj. Verificare: $14\cdot 26=364=52\cdot 7$, $389=55\cdot 7+4$, $17\cdot 32=544=77\cdot 7+5$ și $575=82\cdot 7+1$.

6. a) În ${\mathbb{Z}}_9$, $58\to \hat{4}$, $67\to \hat{4}$, $23\to \hat{5}$, $45\to \hat{0}$, deci rezultatul trebuie să fie în $\hat{4}\cdot \hat{4}-\hat{5}\cdot \hat{0}=\widehat{16}=\hat{7}$; 2861 are suma cifrelor 17, adică $\hat{8}$: proba nu iese. b) În ${\mathbb{Z}}_{10}$, $\hat{8}\cdot \hat{7}-\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{56}-\widehat{15}=\widehat{41}=\hat{1}$, iar 2861 se termină în 1: proba iese. c) Rezultatul e greșit, chiar dacă proba cu ultima cifră iese. Verificare: $3886-1035=2851$, cu suma cifrelor 16, adică $\hat{7}$ în ${\mathbb{Z}}_9$.

7. $\widehat{22}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. A patra ghirlandă are numărul 3 și începe cu steagul $\hat{3}\cdot \hat{1}=\hat{0}$, albastru. Ultimul steag are numărul $4\cdot 22-1$, iar $\hat{4}\cdot \hat{1}-\hat{1}=\hat{0}$: tot albastru. Verificare: $3\cdot 22=66=22\cdot 3$ și $87=29\cdot 3$.

8. a) $5\cdot 9+7=52=4\cdot 12+4$: dulapul 4. b) Da: $\hat{5}$ are invers în ${\mathbb{Z}}_{12}$, chiar pe $\hat{5}$, deci din dulap afli copilul și doi copii nu pot primi același dulap. c) Copiii 0 și 3 ar primi amândoi dulapul 7, fiindcă $\hat{4}\cdot \hat{3}=\hat{0}$. Verificare: $5\cdot 5=25=2\cdot 12+1$, iar $4\cdot 3+7=19=12+7$.

9. Elementul nul $z$: $x+z+36=x$, deci $z=-36$. Opusul lui 5: $5+x^{\prime }+36=-36$, deci $x^{\prime }=-77$. Unitatea: $x\odot y=(x+36)(y+36)-36$, iar $(x+36)(u+36)-36=x$ pentru orice $x$ dă $u=-35$. Distributivitatea: $x\odot (y\oplus z)=(x+36)(y+z+72)-36$, iar $(x\odot y)\oplus (x\odot z)=(x+36)(y+36)+(x+36)(z+36)-36=(x+36)(y+z+72)-36$. Verificare: $5\oplus (-77)=-36$ și $(-35)\odot 7=-245-1260+252+1260=7$.

10. Încerci toate cele 20 de clase. Un pătrat se împarte la 20 doar dacă numărul se împarte la 10, deci ecuația $x\cdot x=\hat{0}$ are soluțiile $\hat{0}$ și $\widehat{10}$. Pătratele claselor pare sau divizibile cu 5 nu dau restul 1; dintre celelalte, $\hat{1}$, $\hat{9}$, $\widehat{11}$, $\widehat{19}$ dau $\hat{1}$, iar $\hat{3}$, $\hat{7}$, $\widehat{13}$, $\widehat{17}$ dau $\hat{9}$. Ecuația $x\cdot x=\hat{1}$ are soluțiile $\hat{1}$, $\hat{9}$, $\widehat{11}$, $\widehat{19}$. Verificare: $10\cdot 10=100=5\cdot 20$, $9\cdot 9=81=4\cdot 20+1$, $11\cdot 11=121=6\cdot 20+1$, $19\cdot 19=361=18\cdot 20+1$, iar $3\cdot 3=9$.

11. Sumele: $\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}$, $\hat{2}+\hat{4}=\hat{0}$, $\hat{4}+\hat{4}=\hat{2}$, toate în $A$. Produsele: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$, $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{2}$, $\hat{4}\cdot \hat{4}=\hat{4}$, toate în $A$. Elementul căutat e $u=\hat{4}$: $\hat{4}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, $\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{2}$, $\hat{4}\cdot \hat{4}=\hat{4}$. Verificare: $4\cdot 2=8=6+2$ și $4\cdot 4=16=2\cdot 6+4$.

12. Distributivitatea cade: pentru $x=y=z=0$, $0\odot (0\oplus 0)=0\odot (-45)=0$. În schimb, $(0\odot 0)\oplus (0\odot 0)=0\oplus 0=-45$. Cum $0\ne -45$, legile nu formează inel. Verificare: pe litere, $x\odot (y\oplus z)=7xy+7xz-315x$, iar $(x\odot y)\oplus (x\odot z)=7xy+7xz-45$, egale doar pentru $x=\frac{1}{7}$.

Așa vine la Bac M4

Tema e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Blocul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, singurul din programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic) pentru acest an, numește legile de compoziție, monoidul, grupul, inelul, corpul și exemplele ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ, ℝ.

Cele 60 de probe oficiale 2013–2026 pun la Subiectul al II-lea o singură lege de compoziție, iar nicio cerință, din cele 360, nu are de arătat că o mulțime cu două legi e inel. Calculele din pașii 2 și 3 apar totuși în altă formă: 35 de probe din cele 60 au cerut elementul neutru al unei legi. Despre inel, prin urmare, secțiunea nu citează nicio cerință și nu propune modele.

Exercițiile marcate (Sinteză.), de la 9 la 12, nu reproduc formatul vreunei probe; ele lucrează elementul nul și unitatea la legi date, divizorii lui zero și respingerea unui inel prin distributivitate.

Greșeli care costă puncte

• Presupui că elementul nul e 0 și unitatea e 1 la orice lege → la $x\oplus y=x+y-39$ opusul lui 41 iese $-41$ în loc de 37; cum o prinzi: elementul nul se calculează din $x\oplus z=x$.
• Numeri brățările de la 1 când poziția se numără de la 0 → culoarea iese cu o brățară mai departe, verde în loc de oranj la grupa mică; cum o prinzi: refaci cazul mic, prima brățară începe cu roșu.
• Verifici doar adunarea și înmulțirea separat → ratezi o distributivitate falsă, ca la $a=38$ din exemplul 4; cum o prinzi: încerci distributivitatea pe un caz cu $x$ diferit de unitate.
• Aplici în ${\mathbb{Z}}_n$ regula „produs nul, deci un factor nul” → în ${\mathbb{Z}}_{20}$, la $x\cdot x=\hat{0}$, pierzi soluția $\widehat{10}$; cum o prinzi: ridici la pătrat fiecare dintre cele 20 de clase.
• Iei o probă care iese drept dovadă că rezultatul e bun → accepți 3410 în loc de 3400; cum o prinzi: o probă poate doar respinge, iar proba cu 9 prinde alte greșeli decât cea cu ultima cifră.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006). Noțiunea de inel, cu exemplele ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ, face parte din programa de examen a clasei a XI-a. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar lecția de față nu este scrisă pentru ei: din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi aleasă doar la proba F, pe programa MAT_P8 (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cu ce culoare începe a suta brățară de pe fir, la brățările de 30 de mărgele? A suta brățară are numărul 99, iar $99=14\cdot 7+1$, deci $\widehat{99}=\hat{1}$. Prima ei mărgea are culoarea $\hat{1}\cdot \hat{2}=\hat{2}$, galben. Verifici pe numere: $99\cdot 30=2970=424\cdot 7+2$, deci restul e 2, adică galben.

De ce contează doar restul lungimii brățării la 7? Fiindcă la fiecare 7 mărgele culorile se repetă, iar într-un inel restul unui produs se află din resturile factorilor. Brățările de 30 de mărgele și cele de 2 mărgele încep cu aceleași culori, pe rând: roșu, galben, albastru, violet, oranj și așa mai departe. Diferă doar câte mărgele are fiecare brățară.

Ce lungime face ca toate brățările să înceapă cu roșu? Prima mărgea a brățării $j$ e $\hat{j}\cdot \hat{L}$, care e $\hat{0}$ pentru orice $j$ doar dacă $\hat{L}=\hat{0}$, adică $L$ se împarte la 7. Între 25 și 35 de mărgele, educatoarea poate alege 28 sau 35. Cu orice altă lungime, brățările încep pe rând cu toate cele 7 culori.

Prinde proba cu 9 orice greșeală de calcul? Nu. Ea prinde o greșeală doar dacă rezultatul greșit are alt rest la 9. Dacă elevul ar fi scris 3040 în loc de 3400, cu cifrele mutate, suma cifrelor ar fi tot 7, iar proba ar ieși. De aceea învățătoarea o folosește ca semnal, nu ca dovadă.

Ce spune programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic) despre inel? Îl trece în blocul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, cu exemplele ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ, deci poate fi cerut. Până acum, în cele 60 de probe oficiale 2013–2026, nicio cerință nu a fost despre un inel. Sintezele 9–12 repetă exact pașii care ar trebui făcuți.

Prin ce diferă un inel de un corp? Într-un corp, pe lângă condițiile inelului, orice element nenul are invers la înmulțire. ℤ e inel, dar nu e corp, fiindcă 2 nu are invers întreg. ${\mathbb{Z}}_7$ e corp, iar ${\mathbb{Z}}_6$ nu, fiindcă $\hat{2}$ nu are invers. Brățările cu $L=30$ trec prin toate culorile tocmai fiindcă $\hat{2}$ are invers în ${\mathbb{Z}}_7$.