O agenție ține matricea $$N$$ a nopților, cu 4 linii (grupuri de turiști) și 3 coloane (hoteluri), și matricea $$T$$ a tarifelor în lei pe noapte, cu 3 linii (hoteluri) și 2 coloane (sezoane). Produsul $$N \cdot T$$ există? Dacă da, ce dimensiune are și ce arată?

Există, $$4 \times 2$$: costul fiecărui grup în fiecare sezon

Există, $$4 \times 3$$: costul fiecărui grup la fiecare hotel

Există, $$2 \times 4$$: costul fiecărui sezon pentru fiecare grup

Nu există, fiindcă $$4 \ne 2$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Produs: dimensiuni și ordine

În ce ordine rămân mai mulți litri în cisternă?

Calculezi ambele ordini ca produs al liniei de stocuri cu matricea fiecărei operații, în ordinea în care se fac. Pentru stocurile $s = (50008000)$ litri, mutarea $M = (0, 6 0 0, 4 1)$ și pierderea $P = (10 0 0, 995)$ , produsul $s M P$ lasă 9950 l în a doua cisternă, iar $s P M$ lasă 9960 l, deci rămân mai mulți litri dacă pierderea vine înainte de mutare. Ordinea contează.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Produsul a două matrice există numai când primul factor are tot atâtea coloane câte linii are al doilea. Dacă $A$ este $m \times n$ și $B$ este $n \times p$ , rezultatul are $m$ linii și $p$ coloane. Un element se calculează ca o sumă de produse: parcurgi linia $i$ a lui $A$ și coloana $j$ a lui $B$ , înmulțești perechile și le aduni.

Numerele se pot potrivi, iar produsul să nu aibă sens: coloanele din stânga și liniile din dreapta trebuie să vorbească despre aceleași obiecte, de pildă aceleași produse sau aceleași lucrări. Verifici asta înainte de calcul, notând alături ce reprezintă fiecare linie și fiecare coloană.

Înmulțirea nu este comutativă: le calculezi pe $A B$ și pe $B A$ amândouă și nu presupui că dau același rezultat. În schimb este asociativă, așa că la trei factori păstrezi ordinea și grupezi vecinii cum vrei. Matricea unitate nu schimbă nimic, iar un număr poate fi scos în fața produsului.

Pentru verificare recalculezi un element din datele problemei sau pe unități, iar la trei factori compari două grupări.

De reținut

dimensiunile $m \times n$ și $n \times p$ dau un produs de dimensiunea $m \times p$
ordinea contează: $A B \neq = B A$ în general
operațiile se scriu în produs în ordinea în care se fac

Greșeala tipică

Se înmulțesc matricele element cu element. Produsul cere o sumă de produse, din linia $i$ și coloana $j$ : $(12) (34) = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11$ , nu numerele $3$ și $8$ luate separat.

Exerciții din această mini-lecție

O agenție ține matricea $N$ a nopților, cu 4 linii (grupuri de turiști) și 3 coloane (hoteluri), și matricea $T$ a tarifelor în lei pe noapte, cu 3 linii (hoteluri) și 2 coloane (sezoane). Produsul $N \cdot T$ există? Dacă da, ce dimensiune are și ce arată?
- a) Există, $4 \times 2$ : costul fiecărui grup în fiecare sezon
- b) Există, $4 \times 3$ : costul fiecărui grup la fiecare hotel
- c) Există, $2 \times 4$ : costul fiecărui sezon pentru fiecare grup
- d) Nu există, fiindcă $4 \neq = 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Există, $4 \times 2$ : costul fiecărui grup în fiecare sezon

Numerele din mijloc coincid, $3$ și $3$ , iar hotelurile din coloanele lui $N$ sunt aceleași cu cele din liniile lui $T$ , deci produsul există. Dimensiunea vine din numerele din margini: $4 \times 2$ . Varianta $4 \times 3$ păstrează coloanele primului factor, varianta $2 \times 4$ inversează ordinea, iar ultima compară numerele din margini, nu pe cele din mijloc.
La un service, orele de manoperă ale doi mecanici pe două lucrări (revizie, frâne) sunt în $A = (3852)$ , cu mecanicii pe linii. Tarifele în lei pe oră sunt în $B = (60908070)$ , cu lucrările pe linii și cu două categorii de clienți (persoane fizice, firme) pe coloane. Cât este elementul de pe linia 2 și coloana 1 al produsului $A \cdot B$ , în lei?
- a) $630$
- b) $780$
- c) $720$
- d) $660$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $660$

Iei linia 2 din $A$ și coloana 1 din $B$ : $8 \cdot 60 + 2 \cdot 90 = 660$ lei. Numărul 630 vine din linia 1, 780 din coloana 2, iar 720 înmulțește doar elementele de pe poziția $(2, 1)$ din fiecare matrice, fără să adune perechile.
Doi strungari au de prelucrat trei repere. Numărul de bucăți este în $A = (341025)$ , cu strungarii pe linii. Timpul în minute pe bucată, la două faze (degroșare, finisare), este în $B = 273618$ , cu reperele pe linii. Cât este elementul de pe linia 1 și coloana 2 al produsului $A \cdot B$ , adică timpul strungarului 1 la finisare, în minute?
- a) $19$
- b) $35$
- c) $23$
- d) $64$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $35$

Linia 1 din $A$ este $(3; 1; 2)$ , iar coloana 2 din $B$ este $(6; 1; 8)$ : $3 \cdot 6 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 8 = 35$ minute. Celelalte valori sunt elemente de alte poziții ale produsului: 19 de pe $(1, 1)$ , 23 de pe $(2, 1)$ și 64 de pe $(2, 2)$ .

Întrebări conexe

Cum scriu o pierdere procentuală ca matrice?

Pui pe diagonală factorul $1 - \frac{p}{100}$ pentru stocul care pierde și 1 pentru celelalte, iar în rest zerouri. O pierdere de $2 %$ la primul stoc din trei dă $P = 0, 98 00 010001$ , iar $(400250150) \cdot P = (392250150)$ .

Cum scriu mutarea unui procent dintr-un stoc în altul?

Rândul stocului care cedează are $1 - \frac{p}{100}$ pe diagonală și $\frac{p}{100}$ în coloana stocului care primește; celălalt rând păstrează 1 pe diagonală. Pentru $25 %$ din primul stoc în al doilea, $M = (0, 75 0 0, 25 1)$ , iar $(800300) \cdot M = (600500)$ .

Cum calculez doar un element al produsului?

Iei linia și coloana lui, fără să calculezi restul matricei. Pentru elementul de pe linia 2 și coloana 3 din $(6427) (318652)$ folosești linia $(4; 7)$ și coloana $(5; 2)$ : $4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 = 34$ .

Cum scot un număr din fața unui produs de matrice?

Numărul iese în fața produsului, fiindcă înmulțirea cu un număr se poate face la oricare factor: $(k A) B = k (A B)$ . Pentru $A = (1201)$ și $B = (2145)$ , produsul $A B = (25413)$ , deci $(3 A) B = (6151239)$ , adică $3 \cdot A B$ . Lucrezi astfel cu numere mici și înmulțești abia la sfârșit.

Cum controlez suma elementelor unui produs?

Suma tuturor elementelor lui $A B$ este suma produselor dintre totalul fiecărei coloane a lui $A$ și totalul liniei corespunzătoare din $B$ . Pentru $A = (2365)$ și $B = (6217)$ : $5 \cdot 7 + 11 \cdot 9 = 134$ , iar $A B = (24284438)$ are suma $134$ .

Cum apare produsul de matrice în probele oficiale?

Produsul de matrice a apărut în 67 de probe M_tehnologic din 2013–2026. Printre cerințe sunt pătratul unei matrice, egalitatea $A B = B A$ și produsul a două matrice cu parametri. Un calcul de același fel: pentru $A = (3013)$ avem $A \cdot A = (9069)$ . Pe foaie scrii mai întâi dimensiunile, apoi fiecare element.

Oamenii mai întreabă și: care operație se face prima asupra unui stoc · transfer și pierdere, în ce ordine · efectul a două operații succesive asupra unui stoc · stocuri în două cisterne după mutare și pierdere