Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple

La sfârșitul fiecărei luni, o firmă de transport cere băncii două operații: o parte din contul curent trece în economii, iar economiile primesc dobânda. Dacă ordinea operațiilor se schimbă, soldurile finale ies altfel. La fel se întâmplă cu produsul a două matrice, studiat în clasa a XI-a de elevii filierei tehnologice: uneori nu există, iar alteori depinde de ordinea factorilor. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), cerințele despre produs apar în 67 din cele 83 de probe oficiale.

Situația de pornire

O firmă de transport ține banii în două conturi: contul curent și contul de economii. Contractul cu banca prevede, la sfârșitul fiecărei luni, două operații: 30 % din suma de pe contul curent trece în economii (transferul), iar soldul din economii crește cu dobânda lunară de 0,4 % (dobânda). Contabila vrea să știe dacă ordinea contează: întâi transferul și apoi dobânda, sau invers. Are soldurile de la începutul a trei luni.

Între două luni, firma plătește din economii facturile de motorină și de piese, așa că fiecare lună pornește de la soldurile din extrasul băncii. Banca poate aplica operațiile în ordinea cerută de firmă, iar firma vrea varianta cu soldul total mai mare la sfârșitul lunii.

Întrebare: care sunt soldurile de la sfârșitul fiecărei luni dacă se face întâi transferul și apoi dobânda, care sunt dacă se face întâi dobânda și apoi transferul, și în ce ordine rămâne firma cu mai mulți lei?

De la situație la model

Soldurile formează o matrice, iar fiecare operație este o matrice care acționează asupra ei, ca în matrice: tabelul de comenzi. Procentele din contract, 30 % și 0,4 %, se transformă în factori ca în procente și TVA pe factură.

Cum se calculează un element al produsului?

Fie $A$ o matrice cu $m$ linii și $n$ coloane și $B$ o matrice cu $n$ linii și $p$ coloane. Produsul lor, $A\cdot B$, este matricea cu $m$ linii și $p$ coloane al cărei element de pe linia $i$ și coloana $j$ se obține înmulțind pe rând elementele liniei $i$ din $A$ cu cele ale coloanei $j$ din $B$ și adunând rezultatele: $c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$. Transferul are matricea $T=\left(\begin{array}{cc}0,7& 0,3\\ 0& 1\end{array}\right)$: din fiecare leu de pe contul curent rămân 0,7 lei în cont și 0,3 lei trec în economii. Economiile din aprilie, după transfer, se obțin din linia întâi a lui $X$ și coloana a doua a lui $T$, prin $8420\cdot 0,3+15300\cdot 1=17826$ lei.

Când există produsul?

Produsul $A\cdot B$ există numai dacă numărul coloanelor lui $A$ este egal cu numărul liniilor lui $B$. Matricea $X$ are dimensiunea $3\times 2$, iar $T$ are $2\times 2$, deci $X\cdot T$ există și are dimensiunea $3\times 2$. Produsul $T\cdot X$ nu există: $T$ are 2 coloane, dar $X$ are 3 linii. Nu e suficient ca numerele să se potrivească: coloanele primului factor și liniile celui de-al doilea trebuie să vorbească despre aceleași lucruri, aici conturile; altfel produsul se poate calcula, dar rezultatul nu înseamnă nimic.

De ce contează ordinea?

Matricea dobânzii este $D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1,004\end{array}\right)$. Produsele $T\cdot D$ și $D\cdot T$ au dimensiunea $2\times 2$, dar nu sunt egale: $T\cdot D=\left(\begin{array}{cc}0,7& 0,3012\\ 0& 1,004\end{array}\right)$, iar $D\cdot T=\left(\begin{array}{cc}0,7& 0,3\\ 0& 1,004\end{array}\right)$. Diferența stă pe poziția $(1,2)$: dobânda se aplică, în primul caz, și sumei transferate. De aceea $A\cdot B$ și $B\cdot A$ se calculează separat, iar egalitatea lor nu se presupune.

Ce proprietăți rămân valabile?

Produsul este asociativ, $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$, deci contează ordinea factorilor, nu gruparea lor. Se distribuie față de adunare, $A(B+C)=AB+AC$, iar $A\cdot I_n=I_n\cdot A=A$. Un număr se poate scoate în față: $(kA)B=k(AB)$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie lângă fiecare factor dimensiunea lui și ce reprezintă liniile și coloanele, de pildă „3 luni pe 2 conturi”.
2. Aplică tabelul de decizie de mai jos: există produsul și are înțeles în ordinea cerută?
3. Calculează fiecare element al produsului: ia linia $i$ a primului factor și coloana $j$ a celui de-al doilea, înmulțește perechile și adună.
4. La trei sau mai mulți factori păstrează ordinea lor; poți grupa vecinii cum vrei, dar nu poți muta factorii.
5. La o cerință cu parametru sau cu egalitatea a două produse, calculează ambele părți și scrie câte o ecuație pentru fiecare poziție.
6. Verifică: dimensiunea rezultatului, un element recalculat pe alt drum și, la două ordini, comparația celor două rezultate. Un element se poate recalcula pe unități, ca lei, sau din datele problemei, iar la trei factori se compară două grupări diferite.

Fișa de buzunar

$$(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj},{\mathcal{M}}_{m,n}\cdot {\mathcal{M}}_{n,p}\subset {\mathcal{M}}_{m,p}$$

$$(AB)C=A(BC),A\cdot I_n=I_n\cdot A=A,AB\ne BA\text{ ıˆn general}$$

Condiții: produsul există numai când coloanele primului factor sunt tot atâtea câte liniile celui de-al doilea. Verificare rapidă: scrie dimensiunile una lângă alta, $m\times n$ și $n\times p$; cele două numere din mijloc trebuie să fie egale, iar cele din margini dau dimensiunea rezultatului.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Transfer și dobândă, în ce ordine

Domeniu: economic.

Enunț. Reia soldurile $X$ din situație, cu $T=\left(\begin{array}{cc}0,7& 0,3\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1,004\end{array}\right)$. a) Calculează $X\cdot T$. b) Calculează $X\cdot T\cdot D$ și $X\cdot D\cdot T$, cu elementele rotunjite la bani. c) În ce ordine rămâne firma cu mai mulți lei în economii și cu cât, în aprilie?

Rezolvare. a) $X\cdot T=\left(\begin{array}{cc}5894& 17826\\ 6755& 18805\\ 5166& 18454\end{array}\right)$: pe fiecare linie, primul element este 0,7 din contul curent, iar al doilea este 0,3 din contul curent plus economiile. b) Înmulțești apoi cu $D$, adică economiile cresc cu 0,4 %: $X\cdot T\cdot D=\left(\begin{array}{cc}5894& 17897,30\\ 6755& 18880,22\\ 5166& 18527,82\end{array}\right)$. În ordinea inversă, $X\cdot D=\left(\begin{array}{cc}8420& 15361,20\\ 9650& 15973,64\\ 7380& 16304,96\end{array}\right)$ și apoi $X\cdot D\cdot T=\left(\begin{array}{cc}5894& 17887,20\\ 6755& 18868,64\\ 5166& 18518,96\end{array}\right)$. c) Contul curent iese la fel, dar economiile sunt mai mari când transferul se face înaintea dobânzii: în aprilie, $17897,30-17887,20=10,10$ lei.

Capcană. Cine scrie factorii de la dreapta la stânga, adică $X\cdot D\cdot T$ pentru „întâi transferul, apoi dobânda”, obține pentru aprilie 17 887,20 lei în economii, cu 10,10 lei mai puțin decât cei 17 897,30 lei din ordinea aleasă. Operațiile se scriu în produs de la stânga la dreapta, în ordinea în care se fac.

Verificare. Pe alt drum, prin asociativitate: $X\cdot (T\cdot D)$ cu $T\cdot D$ din Model dă, în aprilie, $8420\cdot 0,3012+15300\cdot 1,004=2536,104+15361,2=17897,304$, adică 17 897,30 lei. Și prin sold total: după transfer, firma are $5894+17826=23720$ lei, la fel ca la început, iar după dobândă $5894+17897,304=23791,304$ lei: câștigul de 71,304 lei este chiar dobânda de 0,4 % din 17 826.

Exemplul 2 — Uși de tâmplărie: dimensiuni și etichete

Domeniu: lemn.

Enunț. Două ateliere ale unei tâmplării comandă uși de trei tipuri: interior, exterior și balcon. Comenzile, în bucăți, sunt $Q=\left(\begin{array}{ccc}38& 27& 45\\ 52& 31& 19\end{array}\right)$, cu atelierele pe linii și tipurile de ușă pe coloane. Pentru o ușă se folosesc placă, în m², și cant, în m: $M=\left(\begin{array}{cc}3,2& 5,4\\ 4,1& 6,8\\ 2,6& 4,4\end{array}\right)$, cu tipurile de ușă pe linii. a) Există $Q\cdot M$? Dar $M\cdot Q$? Ce dimensiune au? b) Calculează materialele necesare fiecărui atelier. c) Are $M\cdot Q$ vreun înțeles?

Rezolvare. a) $Q$ are dimensiunea $2\times 3$, iar $M$ are $3\times 2$. Produsul $Q\cdot M$ există, fiindcă 3 este și numărul coloanelor lui $Q$, și al liniilor lui $M$, și are dimensiunea $2\times 2$. Produsul $M\cdot Q$ există și el ca număr, cu dimensiunea $3\times 3$. b) Fiecare element al lui $Q\cdot M$ adună, pentru un atelier, placa sau cantul tuturor ușilor: $Q\cdot M=\left(\begin{array}{cc}349,3& 586,8\\ 342,9& 575,2\end{array}\right)$, adică primul atelier are nevoie de 349,3 m² de placă și 586,8 m de cant. c) În $M\cdot Q$, coloanele lui $M$ sunt materialele, iar liniile lui $Q$ sunt atelierele: două lucruri diferite, deci produsul nu are înțeles.

Capcană. Cine verifică doar dimensiunile spune că $M\cdot Q$ „merge”, pentru că ambele sunt dreptunghiulare și 2 se potrivește cu 2. Pe poziția $(1,1)$ s-ar aduna $3,2\cdot 38+5,4\cdot 52=402,4$, adică m² de placă pe ușă înmulțiți cu uși ale primului atelier, plus metri de cant înmulțiți cu uși ale celui de-al doilea. Numărul nu are unitate de măsură.

Verificare. Pe alt drum, pe unități: elementul $(1,1)$ din $Q\cdot M$ este $38\cdot 3,2+27\cdot 4,1+45\cdot 2,6=121,6+110,7+117=349,3$ și are unitatea „uși ori m² pe ușă”, adică m². Numărul total de uși din prima linie a lui $Q$ este $38+27+45=110$, iar cantul din prima linie, 586,8 m, înseamnă în medie 5,3 m pe ușă, adică o valoare între 4,4 și 6,8 m.

Exemplul 3 — Facturarea energiei, cu conversii

Domeniu: electric.

Enunț. O hală înregistrează consumul în kWh pe trei intervale tarifare (zi, noapte, weekend), în patru săptămâni: $K=\left(\begin{array}{ccc}412& 286& 135\\ 398& 301& 148\\ 426& 274& 121\\ 405& 293& 139\end{array}\right)$. Furnizorul dă prețurile în bani pe kWh: 89 pentru zi, 62 pentru noapte și 74 pentru weekend. a) Scrie matricea coloană $p$ a prețurilor în lei pe kWh. b) Calculează $K\cdot p$ și spune ce arată și ce unitate are. c) Există $p\cdot K$?

Rezolvare. a) 1 leu are 100 de bani, deci $p=\left(\begin{array}{c}0,89\\ 0,62\\ 0,74\end{array}\right)$, cu dimensiunea $3\times 1$. b) $K$ are dimensiunea $4\times 3$, deci $K\cdot p$ există și are dimensiunea $4\times 1$: $K\cdot p=\left(\begin{array}{c}643,9\\ 650,36\\ 638,56\\ 644,97\end{array}\right)$ lei, costul energiei din fiecare săptămână. Unitatea este kWh înmulțit cu lei pe kWh, adică lei. c) $p\cdot K$ nu există: $p$ are 1 coloană, iar $K$ are 4 linii.

Capcană. Dacă pui prețul pentru weekend pe prima poziție, adică $\left(\begin{array}{c}0,74\\ 0,62\\ 0,89\end{array}\right)$, produsul există, dar înmulțește consumul de zi cu prețul de weekend. Pentru prima săptămână ai obține $412\cdot 0,74+286\cdot 0,62+135\cdot 0,89=602,35$ lei, față de 643,9 lei.

Verificare. Costul primei săptămâni, recalculat pe intervale: $412\cdot 0,89=366,68$, $286\cdot 0,62=177,32$ și $135\cdot 0,74=99,9$, deci $643,9$ lei. Consumul total din prima săptămână este $412+286+135=833$ kWh, iar costul pe kWh, $643,9:833\approx 0,77$ lei, stă între 0,62 și 0,89 lei.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: matrice care comută

Domeniu: chimie.

Enunț. Examenul formulează cerința ca mai jos; numerele sunt ale noastre: „Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}26& 15\\ 15& 26\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 14\\ 14& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real. Arătați că $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$, pentru orice număr real $x$.” Ca situație, $A$ și $B(x)$ ar fi două reglaje succesive ale unei instalații cu două canale, care amestecă canalele în același fel.

Rezolvare. Calculezi ambele produse. $A\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}26x+210& 364+15x\\ 15x+364& 210+26x\end{array}\right)$, iar $B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}26x+210& 15x+364\\ 364+15x& 210+26x\end{array}\right)$. Cele patru elemente coincid pe aceleași poziții, pentru orice $x$, deci $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$. Motivul: ambele matrice sunt de forma $p\cdot I_2+q\cdot J$, unde $J$ are 1 pe diagonala secundară și 0 în rest, iar produsele de acest fel nu depind de ordine.

Capcană. Cine scrie „matricele comută” fără să calculeze are nevoie de norocul de a nimeri o pereche bună. Pentru $A$ și $C=\left(\begin{array}{cc}31& 4\\ 5& 31\end{array}\right)$, aproape la fel de simetrică, $A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}881& 569\\ 595& 866\end{array}\right)$, dar $C\cdot A=\left(\begin{array}{cc}866& 569\\ 595& 881\end{array}\right)$: egalitatea cade pe diagonala principală.

Verificare. Pune $x=2$: $A\cdot B(2)=\left(\begin{array}{cc}262& 394\\ 394& 262\end{array}\right)$ și $B(2)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}262& 394\\ 394& 262\end{array}\right)$, adică $26\cdot 2+210=262$ și $364+15\cdot 2=394$ în ambele.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Matricele $A$, $B$ și $C$ au dimensiunile $2\times 3$, $3\times 4$ și $4\times 2$. Care dintre produsele $A\cdot B$, $B\cdot A$, $B\cdot C$, $C\cdot B$, $A\cdot C$ și $C\cdot A$ există? Scrie dimensiunea celor care există.

2. Calculează $P\cdot R$ și $R\cdot P$ pentru $P=\left(\begin{array}{cc}23& 14\\ 17& 32\end{array}\right)$ și $R=\left(\begin{array}{cc}5& 12\\ 8& 3\end{array}\right)$.

3. Calculează $L\cdot c$ și $c\cdot L$ pentru linia $L=\left(\begin{array}{ccc}12& 7& 25\end{array}\right)$ și coloana $c=\left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ 9\end{array}\right)$ și spune ce dimensiune are fiecare rezultat.

4. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}11& 6\\ 4& 9\end{array}\right)$, calculează $A\cdot A$ și $A\cdot I_2$ și spune ce observi.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Într-un service auto, orele de manoperă ale doi mecanici pe trei lucrări (revizie, frâne, distribuție) sunt $\left(\begin{array}{ccc}14& 9& 6\\ 8& 12& 11\end{array}\right)$, iar tarifele orare ale lucrărilor sunt, în lei, 92, 105 și 138. Scrie tarifele ca matrice coloană și calculează costul manoperei pentru fiecare mecanic.

6. (Problemă aplicată.) La o fermă, dozele de îngrășământ, în kg la hectar, pentru trei parcele sunt $\left(\begin{array}{cc}236& 184\\ 312& 128\\ 274& 207\end{array}\right)$ pentru îngrășămintele I și II. Îngrășământul I conține 0,15 azot și 0,10 fosfor, iar II conține 0,05 azot și 0,20 fosfor (kg de substanță la kg de îngrășământ). Calculează matricea cantităților de azot și de fosfor, în kg la hectar, pentru fiecare parcelă.

7. (Problemă aplicată.) Un magazin are prețurile fără TVA ale trei produse, în lei, pe o linie: $\left(\begin{array}{ccc}248& 184& 84\end{array}\right)$. Reducerea înmulțește cu $0,9$, $0,85$ și $0,95$ cele trei prețuri, iar TVA le înmulțește cu $1,21$, $1,11$ și $1,21$. Calculează prețurile, rotunjite la bani, dacă se aplică întâi reducerea și apoi TVA, apoi în ordine inversă, și spune dacă ordinea contează.

8. (Problemă aplicată.) La o pensiune, matricea $A$ dă nopțile ocupate pe trei corpuri și două tipuri de cameră ($3\times 2$), $B$ dă tariful pe noapte pentru cele două tipuri în patru sezoane ($2\times 4$), iar $C$ dă comisionul agenției pentru fiecare sezon ($4\times 1$). Care dintre produsele $A\cdot B$, $B\cdot A$, $B\cdot C$ și $(A\cdot B)\cdot C$ există? Ce dimensiune are fiecare și ce arată?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}12& 18\\ 8& 12\end{array}\right)$. Arătați că $A\cdot A=24A$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 17\\ 3& -x\end{array}\right)$ și matricea unitate $I_2$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x)\cdot A(x)=60I_2$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}65& 26\\ 34& 31\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}x& 39\\ y& -46\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. Determinați valorile reale ale lui $x$ și $y$ pentru care $A\cdot B=B\cdot A$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $a$ se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}9-8a& 11a-11\\ 8-8a& 11a-10\end{array}\right)$. Demonstrați că $A(x)\cdot A(y)=A(3xy-2x-2y+2)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspunsuri și verificări

1. Există $A\cdot B$ ($2\times 4$), $B\cdot C$ ($3\times 2$) și $C\cdot A$ ($4\times 3$). Nu există $B\cdot A$, $C\cdot B$ și $A\cdot C$, fiindcă numerele din mijloc diferă (4 și 2, 2 și 3, respectiv 3 și 4). Verificare: dimensiunile se scriu una lângă alta, de pildă $2\times 3$ și $3\times 4$.

2. $P\cdot R=\left(\begin{array}{cc}227& 318\\ 341& 300\end{array}\right)$ și $R\cdot P=\left(\begin{array}{cc}319& 454\\ 235& 208\end{array}\right)$. Verificare: sunt diferite, deci ordinea contează; elementul $(1,1)$ din $P\cdot R$ este $23\cdot 5+14\cdot 8=227$.

3. $L\cdot c=(399)$, de dimensiune $1\times 1$, iar $c\cdot L=\left(\begin{array}{ccc}48& 28& 100\\ 216& 126& 450\\ 108& 63& 225\end{array}\right)$, de dimensiune $3\times 3$. Verificare: $12\cdot 4+7\cdot 18+25\cdot 9=48+126+225=399$.

4. $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}145& 120\\ 80& 105\end{array}\right)$ și $A\cdot I_2=A$. Verificare: $11\cdot 11+6\cdot 4=145$ și $4\cdot 6+9\cdot 9=105$.

5. Tarifele sunt $\left(\begin{array}{c}92\\ 105\\ 138\end{array}\right)$ lei pe oră, iar costul manoperei este $\left(\begin{array}{c}3061\\ 3514\end{array}\right)$ lei. Verificare: $14\cdot 92+9\cdot 105+6\cdot 138=1288+945+828=3061$ lei.

6. Cantitățile de azot și de fosfor sunt $\left(\begin{array}{cc}44,6& 60,4\\ 53,2& 56,8\\ 51,45& 68,8\end{array}\right)$ kg la hectar. Verificare: pentru prima parcelă, azotul este $236\cdot 0,15+184\cdot 0,05=35,4+9,2=44,6$ kg la hectar.

7. Reducerea și TVA acționează pe fiecare produs separat, deci ordinea nu contează: prețurile finale sunt $\left(\begin{array}{ccc}270,07& 173,60& 96,56\end{array}\right)$ lei în ambele ordini. Verificare: $248\cdot 0,9=223,2$ și $223,2\cdot 1,21=270,072$, iar $248\cdot 1,21=300,08$ și $300,08\cdot 0,9=270,072$.

8. $A\cdot B$ există ($3\times 4$): venitul din cazare, pe corpuri și sezoane. $B\cdot A$ nu există, fiindcă 4 nu este 3. $B\cdot C$ există ($2\times 1$): comisionul pe tipuri de cameră. $(A\cdot B)\cdot C$ există ($3\times 1$): comisionul pe corpuri. Verificare: dimensiunile $3\times 2$, $2\times 4$ și $4\times 1$ se leagă prin 2 și prin 4.

9. Calculezi $A\cdot A$ element cu element: $12\cdot 12+18\cdot 8=288$, $12\cdot 18+18\cdot 12=432$, $8\cdot 12+12\cdot 8=192$ și $8\cdot 18+12\cdot 12=288$. Deci $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}288& 432\\ 192& 288\end{array}\right)$. Iar $24A=\left(\begin{array}{cc}288& 432\\ 192& 288\end{array}\right)$, deci $A\cdot A=24A$. Verificare: $A$ are toate elementele pare, deci $A=2B$, unde $B$ are prima linie 6, 9 și a doua linie 4, 6; atunci $A\cdot A=4(B\cdot B)$, iar prima linie a lui $B\cdot B$ este $6\cdot 6+9\cdot 4=72$ și $6\cdot 9+9\cdot 6=108$, adică $4\cdot 72=288$ și $4\cdot 108=432$.

10. $A(x)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2+51& 17x-17x\\ 3x-3x& 51+x^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2+51& 0\\ 0& x^2+51\end{array}\right)$. Egalitatea cu $60I_2$ cere $x^2+51=60$, adică $x^2=9$. Deci $x=3$ sau $x=-3$. Verificare: pentru $x=3$, $3^2+51=60$, iar pentru $x=-3$ se obține același rezultat.

11. Din $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}65x+26y& 2535-1196\\ 34x+31y& 1326-1426\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}65x+1326& 26x+1209\\ 65y-1564& 26y-1426\end{array}\right)$ rezultă ecuațiile $65x+26y=65x+1326$ și $2535-1196=26x+1209$. De aici $26y=1326$, deci $y=51$, și $26x=130$, deci $x=5$. Cele două ecuații rămase dau aceleași valori. Verificare: $34\cdot 5+31\cdot 51=1751=65\cdot 51-1564$.

12. Elementul $(1,1)$ al lui $A(x)\cdot A(y)$ este $(9-8x)(9-8y)+(11x-11)(8-8y)=-24xy+16x+16y-7$, iar celelalte trei sunt $33xy-22x-22y+11$, $-24xy+16x+16y-8$ și $33xy-22x-22y+12$. Cu $t=3xy-2x-2y+2$, matricea $A(t)$ are elementele $9-8t$, $11t-11$, $8-8t$ și $11t-10$, adică exact aceste patru expresii. Deci $A(x)\cdot A(y)=A(3xy-2x-2y+2)$, pentru orice $x$ și $y$. Verificare: pentru $x=2$ și $y=3$, $A(2)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{cc}-71& 99\\ -72& 100\end{array}\right)$, iar $t=10$ dă $9-80=-71$, $110-11=99$, $8-80=-72$ și $110-10=100$.

Așa vine la Bac M3

Cerințele despre produsul a două matrice stau la Subiectul al II-lea, problema 1, și apar în 67 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026. Iată patru forme, luate din probe diferite:

• Iunie 2014, rezervă, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: matricea dată are ordinul 2, iar cerința este să arăți că pătratul ei este de cinci ori matricea; baremul probei dă 3 puncte pentru produsul scris element cu element (pasul 3 din Metodă) și 2 puncte pentru recunoașterea multiplului (pasul 5).
• Modelul din 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: matricea depinde de un parametru, iar pătratul ei trebuie să fie de trei ori matricea unitate; baremul probei dă 3 puncte pentru produsul simbolic (pasul 5) și 2 puncte pentru valoarea parametrului.
• Proba specială din 2016, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: se cer numerele reale $x$ și $y$ pentru care produsul a două matrice este același în ambele ordini; baremul probei dă 2 puncte pentru cele două produse (pasul 3) și 3 puncte pentru ecuațiile pe poziții și valorile lui $x$ și $y$ (pasul 5).
• Simularea din 2019, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: produsul a două matrice de același fel, cu parametri $x$ și $y$, este tot o matrice de acel fel, cu un parametru calculat din $x$ și $y$; baremul probei dă 3 puncte pentru produsul simbolic (pasul 5) și 2 puncte pentru recunoașterea formei.

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri de cerințe. Pentru sumele de matrice vezi adunarea matricelor, iar lista lecțiilor din clasă o găsești pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Înmulțești două matrice cu dimensiuni care nu se potrivesc → cum o prinzi: scrii dimensiunile una lângă alta, ca $3\times 2$ și $3\times 4$; dacă cele două numere din mijloc diferă, produsul nu există, oricâte elemente ai avea.
• Presupui $A\cdot B=B\cdot A$ → cum o prinzi: calculezi ambele produse și le compari poziție cu poziție; pentru $A$ și $C$ din Exemplul 4, rezultatele diferă pe diagonala principală.
• Înmulțești matricele element cu element → cum o prinzi: verifici un element al produsului, de pildă $23\cdot 5+14\cdot 8=227$ în exercițiul 2, nu doar $23\cdot 5=115$.
• Muți factorii când ai trei matrice → cum o prinzi: scrii factorii în ordinea operațiilor, $X\cdot T\cdot D$ pentru „întâi transferul”; în aprilie, $X\cdot D\cdot T$ dă cu 10,10 lei mai puțin, deși ambele ordini par firești.
• Pui $x=y$ în $A(x)\cdot A(y)$ înainte de calcul → cum o prinzi: lași $x$ și $y$ diferite până la capăt; la exercițiul 12 egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice pereche, nu doar pentru $x=y$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul produsului a două matrice se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 67 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Dacă banca aplică dobânda înainte de transfer, cât pierde firma în iunie?

Diferența dintre cele două ordini este 0,0012 din contul curent, fiindcă 0,3 din cont primește dobânda de 0,4 % numai când transferul vine primul. În iunie contul curent are 7 380 de lei, deci firma pierde $0,0012\cdot 7380=8,856$ lei, adică 8,86 lei, dacă dobânda se calculează înainte.

Pot înmulți în ordinea $T\cdot X$, nu $X\cdot T$?

Nu, pentru că $T$ are 2 coloane, iar $X$ are 3 linii. Chiar dacă firma ar urmări două luni, produsul $T\cdot X$ ar exista ca număr, dar ar amesteca lunile între ele, în loc să amestece conturile. Liniile lui $X$ sunt lunile, iar liniile lui $T$ sunt conturile.

De ce soldul nou din economii este o sumă de produse, nu un singur produs?

Economiile noi vin din două surse: economiile vechi și partea transferată din contul curent. Elementul $(1,2)$ din $X\cdot T$ adună $8420\cdot 0,3$ cu $15300\cdot 1$: fiecare sold vechi se înmulțește cu cota lui care ajunge în economii. De aceea produsul adună perechi formate dintr-o linie și o coloană.

Dacă banca scade dobânda la 0,3 % pe lună, mai contează ordinea?

Da, dar diferența scade. Când transferul vine primul, dobânda se aplică și celor 30 % mutați din contul curent, deci câștigul în plus este $0,3\cdot 0,003=0,0009$ din contul curent. În aprilie, $0,0009\cdot 8420=7,578$, adică 7,58 lei, față de 10,10 lei la dobânda de 0,4 %.

Apare produsul de matrice la Bacalaureatul M3?

Da. Cerințele despre produs apar în 67 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 1. Printre formele din probe sunt pătratul unei matrice, un produs cu parametru egalat cu o matrice dată, egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ și produsul $A(x)\cdot A(y)$.

Cum verific un produs de trei matrice, ca $X\cdot T\cdot D$?

Calculezi în două grupări, $(X\cdot T)\cdot D$ și $X\cdot (T\cdot D)$, care trebuie să dea același rezultat, fiindcă produsul este asociativ. În aprilie, economiile după ambele operații sunt 17 897,30 lei pe amândouă căile, iar contul curent rămâne 5894 de lei.