O firmă vinde cherestea cu prețul unitar $$P(q) = 380 - 20q$$ lei/m³ pentru comenzi de $$0 < q < 6$$ m³ și $$P(q) = 230 - 5q$$ lei/m³ pentru $$6 \le q \le 30$$ m³, cu un tarif redus la comenzile mari. Care afirmație despre limita lui $$P$$ în $$q = 6$$ este adevărată?

$$l_s = 260$$ și $$l_d = 200$$, deci limita nu există

$$l_s = 200$$ și $$l_d = 260$$, deci limita nu există

limita există și este $$200$$, valoarea din punct

limita există și este $$260$$, valoarea ramurii din stânga

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite laterale și salt

Cum aflu saltul unui debit după o manevră?

Citești debitul spre care se îndreaptă graficul înainte de manevră, $l_{s}$ , și pe cel de după ea, $l_{d}$ , apoi scazi: saltul este $l_{d} - l_{s}$ , în unitatea debitului. Exemplu: un canal are $Q (t) = 7, 2 - 0, 05 t$ până la minutul 30 și $Q (t) = 11, 7 - 0, 03 t$ de la minutul 30, în m³/s. Atunci $l_{s} = 7, 2 - 1, 5 = 5, 7$ , $l_{d} = 11, 7 - 0, 9 = 10, 8$ , iar saltul este $10, 8 - 5, 7 = 5, 1$ m³/s. Verifici cu minutele 29 și 31, care dau aproape 5,7 și 10,8.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Limita unei funcții într-un punct răspunde la o singură întrebare: către ce valoare urcă sau coboară graficul pe măsură ce $x$ se apropie de $a$ , indiferent ce valoare are funcția chiar în $a$ . Dacă graficul vine spre două valori diferite, una dinspre stânga și una dinspre dreapta, spui că are un salt și că limita nu există. Un punct plin sau unul gol din $a$ nu schimbă ce arată vecinii lui.

Pașii sunt aceiași la tabel, la grafic și la formulă. Marchezi punctul $a$ și ramurile din jurul lui. Calculezi $l_{s}$ cu formula valabilă pentru $x < a$ și $l_{d}$ cu cea valabilă pentru $x > a$ ; când ramura este o expresie obișnuită, definită în $a$ , înlocuiești. Compari $l_{s}$ cu $l_{d}$ , apoi pe amândouă cu $f (a)$ . Dacă $l_{s} = l_{d} = f (a)$ , graficul nu se rupe; diferența $l_{d} - l_{s}$ este mărimea saltului și se scrie cu unitatea funcției.

Capcana frecventă este să tratezi valoarea $f (a)$ ca pe o limită sau să calculezi o singură parte. A doua este ramura greșită: scrie condiția ramurii lângă fiecare limită, ca să nu încurci semnele de inegalitate. La cerințele de forma „arătați că funcția admite primitive” scrii cele trei numere, $l_{s}$ , $l_{d}$ și $f (a)$ , pe trei rânduri, apoi concluzia despre continuitate.

Verifici cu două valori ale funcției foarte apropiate de $a$ , câte una de fiecare parte: ele trebuie să se apropie de $l_{s}$ , respectiv de $l_{d}$ .

De reținut

salt $= l_{d} - l_{s}$ , în unitatea mărimii
limita există numai dacă $l_{s} = l_{d}$
valoarea din punct nu intră în $l_{s}$ și $l_{d}$

Greșeala tipică

Se scade valoarea notată în minutul manevrei în loc de limita la stânga. Dacă în minutul 30 contorul notează $6, 4$ , rezultatul $10, 8 - 6, 4 = 4, 4$ este greșit; corect este $10, 8 - 5, 7 = 5, 1$ m³/s.

Exerciții din această mini-lecție

O firmă vinde cherestea cu prețul unitar $P (q) = 380 - 20 q$ lei/m³ pentru comenzi de $0 < q < 6$ m³ și $P (q) = 230 - 5 q$ lei/m³ pentru $6 \leq q \leq 30$ m³, cu un tarif redus la comenzile mari. Care afirmație despre limita lui $P$ în $q = 6$ este adevărată?
- a) $l_{s} = 200$ și $l_{d} = 260$ , deci limita nu există
- b) $l_{s} = 260$ și $l_{d} = 200$ , deci limita nu există
- c) limita există și este $200$ , valoarea din punct
- d) limita există și este $260$ , valoarea ramurii din stânga
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $l_{s} = 260$ și $l_{d} = 200$ , deci limita nu există

Pe stânga, $l_{s} = 380 - 20 \cdot 6 = 260$ ; pe dreapta, $l_{d} = 230 - 5 \cdot 6 = 200$ , iar $P (6) = 200$ . Cum $260 \neq = 200$ , limita nu există. Varianta cu $200$ ia valoarea din punct drept limită, cea cu $260$ se oprește la o singură parte, iar prima variantă inversează cele două limite.
O presă hidraulică comută la cursa de $1$ cm de pe un cilindru pe altul; forța ei, în kN, la cursa $x$ (în cm), este $F (x) = 4 x^{2} + 3$ pentru $x \leq 1$ și $F (x) = 9 e^{x - 1} - 4$ pentru $x > 1$ . Cât este limita la dreapta a lui $F$ în $x = 1$ ?
- a) $5$
- b) $9$
- c) $- 4$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Pentru $x > 1$ folosești a doua ramură: $l_{d} = 9 e^{0} - 4 = 9 - 4 = 5$ . Varianta $9$ uită termenul $- 4$ , varianta $- 4$ ia $e^{0} = 0$ , iar $7$ este valoarea primei ramuri, $4 \cdot 1 + 3$ , nepotrivită pentru limita la dreapta.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {3 x^{2} + a x, 4 x + ln (x - 1) + 18, x \leq 2 x > 2$ , unde $a$ este număr real. Pentru ce valoare a lui $a$ admite $f$ primitive pe $R$ ?
- a) $7, 5$
- b) $- 7$
- c) $13$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $7$

Primitive există dacă $f$ este continuă în $2$ : $l_{s} = 12 + 2 a$ și $l_{d} = 8 + ln 1 + 18 = 26$ , deci $2 a = 26 - 12$ și $a = 7$ . Varianta $7, 5$ ia $ln 1 = 1$ , varianta $- 7$ scade $2 a$ în loc să-l adune la $12$ , iar $13$ uită cei $12$ din prima ramură.

Întrebări conexe

Cum transform saltul din m³/s în litri pe secundă?

Înmulțești cu $1000$ , fiindcă un metru cub are o mie de litri. Pentru un salt de $5, 1$ m³/s obții $5, 1 \cdot 1000 = 5100$ litri pe secundă. Convertești o singură dată, la sfârșit, pe saltul calculat; dacă ramurile ar avea unități diferite, le aduci întâi la aceeași unitate.

Ce semn are saltul când debitul scade brusc?

Semnul minus: $l_{d}$ iese mai mic decât $l_{s}$ . Dacă o manevră coboară debitul de la $9, 4$ la $5, 8$ m³/s, saltul este $5, 8 - 9, 4 = - 3, 6$ m³/s. Semnul arată sensul, iar mărimea saltului este valoarea absolută, $3, 6$ m³/s.

Se schimbă saltul dacă măsor timpul în secunde?

Nu: saltul este o diferență de debite, deci depinde doar de unitatea debitului. Cu timpul $s$ în secunde, $s = 60 t$ , ramurile devin $7, 2 - \frac{0 , 05 s}{60}$ și $11, 7 - \frac{0 , 03 s}{60}$ , iar manevra are loc la $s = 1800$ . Limitele laterale rămân $5, 7$ și $10, 8$ m³/s, deci saltul rămâne $5, 1$ m³/s.

După cât timp revine debitul la valoarea dinainte de manevră?

Egalezi ramura de după manevră cu limita la stânga. Un canal are debitul $6, 8$ m³/s chiar înainte de o manevră din minutul 20, iar după ea $Q (t) = 9, 6 - 0, 04 t$ m³/s. Saltul este $8, 8 - 6, 8 = 2$ m³/s, iar ecuația $9, 6 - 0, 04 t = 6, 8$ dă $t = 70$ : debitul revine în minutul 70, la 50 de minute după manevră.

Dispare saltul dacă stăvilarul se deschide treptat?

Da, dacă debitul trece uniform de la o valoare la alta. Dacă până în minutul 20 debitul este constant, $4, 5$ m³/s, între minutele 20 și 25 urcă după $Q (t) = 4, 5 + 0, 5 (t - 20)$ , iar apoi rămâne $7$ m³/s, atunci în 20 ambele limite laterale sunt $4, 5$ , iar în 25 ambele sunt $7$ . Graficul nu mai sare; are doar două colțuri.

Oamenii mai întreabă și: saltul unui grafic la o manevră · saltul debitului la deschiderea stăvilarului · diferența dintre limita la dreapta și limita la stânga · salt de debit în m³/s · mărimea saltului unui grafic