Limite laterale la tehnologic: apa la stăvilar

Când tehnicianul ridică un stăvilar, debitul canalului urcă în câteva zeci de secunde, iar în registrul notat din minut în minut citirea sare de la 2,8 la peste 6 metri cubi pe secundă. O asemenea schimbare se citește cu limite laterale, pe grafic, în tabel și din formulă, iar la tehnologic tema e de clasa a XI-a. Tema a apărut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), la Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

La marginea unei zone umede protejate, un canal duce apa unui râu într-un iaz, iar biodiversitatea de acolo depinde de nivelul apei. La intrarea în canal stă un stăvilar, adică o poartă care se ridică sau se coboară și lasă să treacă mai multă ori mai puțină apă. Tehnicianul de mediu urmărește pe un debitmetru debitul $Q$ al canalului, în metri cubi pe secundă. Timpul $t$ se numără în minute după ora 7:00. La minutul 40, adică la 7:40, tehnicianul ridică stăvilarul de la jumătate la deschiderea completă. Înregistratorul notează în minutul manevrei ultima valoare citită înainte de ea, iar aplicația unește punctele din tabel prin segmente, cu o ruptură în minutul 40.

Întrebare: spre ce debit se îndreaptă citirile când minutul se apropie de 40, o dată dinspre minutele dinaintea manevrei și o dată dinspre cele de după, are debitul o limită în minutul 40 și ce notează contorul chiar în acel minut?

De la situație la model

Fiecare citire devine un punct al graficului: timpul $t$ pe axa orizontală, debitul $Q$ pe cea verticală. Graficul are două segmente, unul până la minutul 40 și altul de după el. Contează spre ce înălțime se îndreaptă graficul când ne apropiem de minutul 40, nu ce notează contorul chiar atunci.

Ce este o vecinătate a unui punct?

O vecinătate a lui $a$ este o mulțime care conține un interval deschis cu $a$ în interior, ca în lecția despre intervale. Cel mai des lucrezi chiar cu intervalul $(a-\delta ;a+\delta )$, cu $\delta >0$: numerele aflate la mai puțin de $\delta$ de $a$. Pentru $a=40$ și $\delta =2$ obții $(38;42)$, adică minutele de la 38 la 42, iar $(39;41)$ este o vecinătate mai strânsă. Cu modulul, $|t-40|<2$ spune același lucru, ca la toleranțele scrise cu modul.

Ce este dreapta încheiată și ce înseamnă $+\infty$?

Pe lângă numere, în analiză apar simbolurile $+\infty$ și $-\infty$, capetele dreptei, nu numere. Cu ele, $\mathbb{R}$ devine dreapta încheiată, $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$. Vecinătățile lor conțin intervale fără capăt, $(M;+\infty )$, respectiv $(-\infty ;M)$. A spune că $t$ tinde la $+\infty$ înseamnă că trece peste orice număr dat, adică minutele merg înainte fără oprire. Aici le citești pe grafic, ca în lecția despre citirea graficului; calculele vin în lecțiile următoare.

Cum citești limita într-un punct pe grafic?

Limita lui $f$ în $a$ spune la ce înălțime se îndreaptă graficul când $x$ se apropie de $a$, fără să iei în calcul punctul $a$ însuși; dacă înălțimea este $L$, scrii ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$. Cu vecinătăți: pentru orice bandă $(L-\epsilon ;L+\epsilon )$ pe axa verticală, oricât de îngustă, există o vecinătate a lui $a$ în care graficul rămâne în bandă, poate cu excepția lui $a$. Dacă graficul urcă sau coboară fără oprire spre $a$, limita este $+\infty$ sau $-\infty$.

Ce sunt limitele laterale și când există limita?

Privești separat cele două părți ale lui $a$. Limita la stânga, $l_s$, este înălțimea spre care se îndreaptă graficul când $x$ se apropie de $a$ prin valori mai mici, iar limita la dreapta, $l_d$, cea de la valori mai mari; le scrii ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}f(x)$ și ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}f(x)$. Limita în $a$ există exact când $l_s=l_d$, iar atunci ea este valoarea comună. Dacă diferă, nu există limită, iar graficul are un salt de mărime $l_d-l_s$.

Ce rol are valoarea funcției în punct?

Valoarea $f(a)$ nu intră în limită: în $a$ graficul poate avea un punct plin, unul gol sau nimic. Debitul din minutul 40 este $Q(40)=2,8$, egal cu $l_s$, dar diferit de $l_d$. Când $l_s=l_d=f(a)$, graficul nu se rupe în $a$: funcția este continuă acolo, noțiune pe care o detaliază lecția despre continuitate.

Cum calculezi o limită laterală dintr-o formulă?

Când funcția e dată pe ramuri, fiecare ramură e o expresie obișnuită (polinom, exponențială, logaritm), iar limita laterală este valoarea ramurii în $a$, dacă expresia are sens în $a$. Pentru $l_s$ folosești ramura lui $x<a$, pentru $l_d$ pe cea a lui $x>a$. Cazurile cu $\frac{0}{0}$ vin în lecția despre nedeterminări.

Metoda pas cu pas

1. Găsește punctul $a$ în care se schimbă comportamentul: minutul unei manevre, capătul unei ramuri, pragul unui tarif. Marchează-l pe axa orizontală și scrie care ramură ține de $x<a$ și care de $x>a$, ca să nu le încurci mai târziu.
2. Calculează limita la stânga: pe grafic, urmărește ramura din stânga până lângă $a$ și citește înălțimea spre care se îndreaptă, chiar dacă punctul din capăt este gol; dintr-o formulă, înlocuiește $a$ în ramura valabilă pentru $x<a$; într-un tabel, uită-te la valorile tot mai apropiate de $a$, pe stânga.
3. Calculează limita la dreapta la fel, cu ramura din dreapta.
4. Compară cele două limite laterale între ele. Dacă sunt egale, limita există și este valoarea comună; dacă sunt diferite, limita nu există, iar saltul este $l_d-l_s$, scris cu unitatea de măsură a funcției.
5. Compară limitele și cu $f(a)$, citit sau calculat separat. Dacă $l_s=l_d=f(a)$, graficul nu se rupe în $a$; altfel spune în ce fel diferă. Scrie concluzia în cuvinte, cu unități.
6. Verifică: calculează lângă $a$ două valori ale funcției, câte una pe fiecare parte, și vezi dacă se apropie de limitele găsite; pe un grafic, mută degetul pe fiecare ramură spre $a$ și vezi dacă ajunge la înălțimea citită.

Dacă funcția are mai multe puncte de schimbare, repeți pașii 2–5 pentru fiecare. Ordinea contează: cine sare peste pasul 1 pune formula pe partea greșită, cine sare peste pasul 4 afirmă că limita există pe baza unei singure părți, iar cine sare peste pasul 6 nu prinde o citire alunecată cu o linie de caroiaj.

Fișa de buzunar

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f(x)=L$$

$$\text{salt ıˆn }a=l_d-l_s,l_s=l_d=f(a)⟺\text{graficul nu se rupe ıˆn }a$$

Condiții: limita nu depinde de valoarea din punct, iar ramura din stânga dă $l_s$, cea din dreapta dă $l_d$. Când ramura e o expresie obișnuită definită în $a$, limita laterală este valoarea ei în $a$. Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere. Verificare rapidă: două valori ale funcției, foarte aproape de $a$, una pe fiecare parte, trebuie să fie aproape de $l_s$, respectiv de $l_d$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Debitul la stăvilar

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia stăvilarul din situație. a) Citește limita la stânga și limita la dreapta a debitului în minutul 40 și spune dacă debitul are limită acolo. b) Ce notează contorul chiar în minutul 40? c) Cât este saltul, în m³/s și în litri pe secundă? d) Are debitul limită în minutul 20?

Rezolvare. a) Pe stânga, citirile din minutele 38 și 39 sunt 2,84 și 2,82, iar segmentul se îndreaptă spre 2,8: $l_s=2,8$ m³/s. Pe dreapta, citirile din minutele 42 și 41 sunt 6,06 și 6,08, iar segmentul, parcurs spre minutul 40, se îndreaptă spre 6,1: $l_d=6,1$ m³/s. Cum $2,8\ne 6,1$, debitul nu are limită în minutul 40. b) Contorul notează $Q(40)=2,8$, egal cu $l_s$ și diferit de $l_d$. c) Saltul este $6,1-2,8=3,3$ m³/s, adică $3,3\cdot 1000=3300$ litri pe secundă. d) Lângă minutul 20 graficul este un singur segment: $l_s=l_d=3,2$ m³/s, egale cu $Q(20)$, deci limita există și este 3,2.

Capcană. Cine ia $Q(40)=2,8$ drept limită uită că limita se citește din ambele părți: pe dreapta graficul merge spre 6,1.

Verificare. Pe fiecare segment debitul scade cu 0,02 m³/s pe minut: $Q(t)=3,6-0,02t$ la stânga și $Q(t)=6,9-0,02t$ la dreapta. Pentru $t=40$ obții $3,6-0,8=2,8$ și $6,9-0,8=6,1$.

Exemplul 2 — Sonda cuptorului de pâine

Domeniu: alimentar.

Enunț. Într-o brutărie, sonda unui cuptor de pâine notează temperatura $T$, în °C, la $t$ minute după încărcarea aluatului: crește cu 4 °C pe minut de la 150 °C până la 210 °C, apoi termostatul o ține la 210 °C. La minutul 25, o eroare de transmisie a făcut ca sonda să noteze 0 °C, citire nevalidă. a) Calculează limitele laterale ale lui $T$ în minutul 15 și spune dacă graficul se rupe acolo. b) Calculează-le în minutul 25 și compară-le cu $T(25)$. c) Ce temperatură avea, de fapt, cuptorul în minutul 25 și de ce?

Rezolvare. a) Pe intervalul $[0;15]$ avem $T(t)=150+4t$, deci $l_s=150+4\cdot 15=210$; după minutul 15 temperatura rămâne 210, deci $l_d=210$. Ambele sunt egale cu $T(15)=210$: limita există, este 210, iar graficul nu se rupe, are doar un colț. b) Lângă minutul 25 graficul este orizontala de la 210, din care lipsește un punct: $l_s=210$ și $l_d=210$, deci limita este 210, deși $T(25)=0$; limita nu depinde de valoarea din punct. c) Cuptorul avea 210 °C, înălțimea spre care se îndreaptă citirile vecine; zero este o citire nevalidă, nu o temperatură.

Capcană. Cine spune „în minutul 25 graficul coboară la 0, deci limita este 0” citește punctul izolat, nu vecinii lui.

Verificare. Încălzirea ține $\frac{210-150}{4}=15$ minute, exact până la colț, iar citirile din minutele 24 și 26 sunt tot 210 °C.

Exemplul 3 — Tarif de tractare, cu conversii

Domeniu: auto.

Enunț. Un service auto taxează tractarea unui autoturism după distanța $d$, în kilometri: $C(d)=5,4d+85$ lei pentru $0<d\le 30$ și $C(d)=4,1d+190$ lei pentru $d>30$, al doilea tarif incluzând taxa de ieșire din oraș. GPS-ul camionului dă distanțele în metri. a) Calculează limitele laterale ale lui $C$ în $d=30$, saltul și $C(30)$. b) Calculează, rotunjit la bani, costul pentru 29 940 m și pentru 30 060 m și diferența dintre ele.

Rezolvare. a) $l_s=5,4\cdot 30+85=162+85=247$ lei și $l_d=4,1\cdot 30+190=123+190=313$ lei. Fiindcă $247\ne 313$, limita nu există; saltul este $313-247=66$ lei, iar $C(30)=247$ lei, valoarea primului tarif. b) 29 940 m înseamnă 29,94 km, în primul tarif: $5,4\cdot 29,94+85=161,676+85=246,676$, adică 246,68 lei. 30 060 m înseamnă 30,06 km, în al doilea: $4,1\cdot 30,06+190=123,246+190=313,246$, adică 313,25 lei. Diferența este $313,25-246,68=66,57$ lei, pentru doar 120 m în plus.

Capcană. Cine rotunjește distanța la kilometri înainte de a alege tariful scrie 247 lei în loc de 313,25 lei, cu 66,25 lei mai puțin decât factura.

Verificare. Lângă prag, $C(29,99)=5,4\cdot 29,99+85\approx 246,95$ și $C(30,01)=4,1\cdot 30,01+190\approx 313,04$, aproape de 247 și de 313.

Exemplul 4 — Transportorul de furaj, în stilul Bac M3

Domeniu: zootehnie.

Enunț. (În stilul Bac M3.) Un transportor cu melc umple buncărul de furaj al unei ferme de porci. Masa de furaj din buncăr, în kilograme, la $x$ minute după pornire, este dată de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+6x+1,& x\le 3\\ 18x-17,& x>3\end{array}$, luată pentru $x\ge 0$: în primele 3 minute melcul se umple și debitul crește, apoi rămâne constant. Arătați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Pe $(-\infty ;3)$ și pe $(3;+\infty )$ funcția este polinomială, deci continuă. Rămâne punctul de legătură, $x=3$. Limita la stânga: $l_s=2\cdot 3^2+6\cdot 3+1=18+18+1=37$. Limita la dreapta: $l_d=18\cdot 3-17=54-17=37$. Valoarea în punct: $f(3)=2\cdot 3^2+6\cdot 3+1=37$, din ramura lui $x\le 3$. Cum $l_s=l_d=f(3)=37$, funcția este continuă în 3, deci pe $\mathbb{R}$, iar o funcție continuă pe $\mathbb{R}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, rezultat din clasa a XII-a. Pentru transportor, masa din buncăr nu sare în minutul 3, când debitul devine constant.

Capcană. Cine verifică doar $f(3)=37$ și scrie „deci f este continuă” a găsit un singur număr: lipsesc cele două limite laterale, care sunt miezul demonstrației.

Verificare. Lângă 3, $f(2,99)=2\cdot 8,9401+17,94+1\approx 36,82$ și $f(3,01)=18\cdot 3,01-17=37,18$, ambele aproape de 37.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Care dintre intervalele $(2;8)$, $(4;7)$, $(5;9)$ și $(4,6;5,7)$ sunt vecinătăți ale lui 5? Scrie $(3,1;4,3)$ sub forma $(a-\delta ;a+\delta )$.

2. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}9x+15,& x<4\\ 58-x^2,& x\ge 4\end{array}$. Calculează limitele laterale ale lui $g$ în $x=4$ și $g(4)$, apoi spune dacă $g$ are limită în 4 și cât este saltul.

3. Pentru $u(x)=\frac{12}{x}$ calculează $u(10)$, $u(100)$ și $u(1000)$. Spre ce se îndreaptă $u(x)$ când $x$ crește fără oprire? Este $+\infty$ un număr?

4. Fie $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-7x+5,& x<2\\ e^{x-2}+2,& x\ge 2\end{array}$. Calculează limitele laterale ale lui $h$ în 2 și $h(2)$. Are $h$ limită în 2?

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Contorul unei stații de pompare notează puterea $P$, în kW, la $t$ minute după 8:00. Graficul are un segment de la (0; 22) la (10; 31) și unul de la (10; 47) la (28; 56); punctul (10; 47) este plin, deoarece la minutul 10 pornește a doua pompă. a) Citește limitele laterale ale lui $P$ în minutul 10 și $P(10)$. b) Are $P$ limită în minutul 10? Cât este saltul? c) Ce limită are $P$ în minutul 20?

6. (Problemă aplicată.) La o stație de tratare, clorul se dozează după debitul $q$ al apei brute, în m³/h; tabelul dă doza $D$, în mg pe litru.

a) Citește limitele laterale ale lui $D$ în $q=540$; are $D$ limită acolo? b) Ce doză se aplică la 150,5 litri pe secundă (1 L/s = 3,6 m³/h)?

7. (Problemă aplicată.) Un depozit vinde nisip: $m$ tone costă $C(m)=64,5m$ lei pentru $0<m<12$ și $C(m)=58m+36$ lei pentru $m\ge 12$, al doilea tarif incluzând livrarea. a) Calculează $l_s$, $l_d$, $C(12)$ și saltul în $m=12$. b) Un client are nevoie de 11,8 tone. Îi convine să comande 12 tone? c) Ce taxă de livrare, în locul celor 36 de lei, ar face ca prețul să nu aibă salt la 12 tone?

8. (Problemă aplicată.) Acumulatorul UPS-ului din camera serverelor unei firme poate da 2,4 kWh. La un consum constant de $P$ kilowați, el ține $T$ ore; tabelul arată câteva valori.

a) Spre ce se îndreaptă $T$ când $P$ se apropie de 0 prin valori pozitive? b) Spre ce se îndreaptă $T$ când $P$ crește fără oprire? c) Ce înseamnă a) pentru UPS?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}13x-7,& x<2\\ 4x^2+3x-3,& x\ge 2\end{array}$. Arătați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}8x^2-3x,& x\le 1\\ 4x+5\ln x+1,& x>1\end{array}$. Demonstrați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}4x^2-13x+5,& x\le 0\\ 7e^x-2,& x>0\end{array}$. Arătați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

12. (Sinteză.) Pentru fiecare număr real $a$ se consideră $f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=\{\begin{array}{ll}ax+4,& x<2\\ x^2+a+3,& x\ge 2\end{array}$. a) Calculează limitele laterale ale lui $f_a$ în 2, în funcție de $a$. b) Determină $a$ pentru care $f_a$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. c) Pentru $a=1$, cât este saltul lui $f_a$ în 2?

Răspunsuri și verificări

1. Intervalele $(2;8)$, $(4;7)$ și $(4,6;5,7)$ îl au pe 5 în interior, deci sunt vecinătăți; $(5;9)$ nu, 5 fiind capăt. La $(3,1;4,3)$, $a=\frac{3,1+4,3}{2}=3,7$ și $\delta =0,6$. Verificare: $3,7-0,6=3,1$ și $3,7+0,6=4,3$.

2. $l_s=9\cdot 4+15=51$ și $l_d=58-4^2=42$, iar $g(4)=42$. Cum $51\ne 42$, nu există limită în 4, iar saltul este $42-51=-9$. Verificare: $g(3,99)\approx 50,91$ și $g(4,01)\approx 41,92$.

3. $u(10)=1,2$, $u(100)=0,12$ și $u(1000)=0,012$: valorile se îndreaptă spre 0. Simbolul $+\infty$ nu este un număr, ci capătul din dreapta al dreptei încheiate. Verificare: $12:1000=0,012$.

4. $l_s=3\cdot 2^2-7\cdot 2+5=3$ și $l_d=e^0+2=3$, iar $h(2)=3$. Limitele laterale sunt egale, deci limita este 3, ca $h(2)$. Verificare: $h(1,99)\approx 2,95$ și $h(2,01)\approx 3,01$.

5. a) $l_s=31$ kW, $l_d=47$ kW și $P(10)=47$ kW. b) Cum $31\ne 47$, nu există limită; saltul este $47-31=16$ kW. c) Lângă minutul 20 graficul e pe al doilea segment, deci limita este $P(20)=52$ kW. Verificare: segmentul urcă $\frac{56-47}{28-10}=0,5$ kW pe minut, iar $47+10\cdot 0,5=52$.

6. a) $l_s=0,8$ mg/L și $l_d=1,1$ mg/L, iar $D(540)=0,8$; limita nu există, fiindcă $0,8\ne 1,1$. b) $150,5\cdot 3,6=541,8$ m³/h, peste 540, deci doza este 1,1 mg/L. Verificare: $541,8>540$, deci debitul e în a doua treaptă.

7. a) $l_s=64,5\cdot 12=774$ lei și $l_d=58\cdot 12+36=732$ lei, iar $C(12)=732$; limita nu există, prețul scade cu $774-732=42$ lei. b) $C(11,8)=64,5\cdot 11,8=761,1$ lei, iar 12 tone costă 732 lei: îi convine, plătește cu 29,1 lei mai puțin. c) Fără salt, $58\cdot 12+t=774$, deci $t=78$ lei. Verificare: $696+78=774=l_s$.

8. a) Valorile cresc fără oprire, de la 0,5 la 100 de ore, deci $T$ se îndreaptă spre $+\infty$. b) Pentru $P$ mare, $T$ scade spre 0: 0,4 ore la 6 kW, 0,25 ore la 9,6 kW. c) Cu cât consumul e mai mic, cu atât UPS-ul ține mai mult; în realitate, acumulatorul se descarcă și singur. Verificare: $2,4:0,024=100$ de ore.

9. Ramurile sunt continue pe $(-\infty ;2)$ și pe $(2;+\infty )$. $l_s=13\cdot 2-7=19$ și $l_d=4\cdot 2^2+3\cdot 2-3=19$, iar $f(2)=19$. Cum $l_s=l_d=f(2)$, $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive pe $\mathbb{R}$. Verificare: $f(1,99)\approx 18,87$ și $f(2,01)\approx 19,19$.

10. Ramurile sunt continue pe $(-\infty ;1)$ și pe $(1;+\infty )$. $l_s=8\cdot 1^2-3\cdot 1=5$ și $l_d=4\cdot 1+5\ln 1+1=4+0+1=5$, iar $f(1)=8-3=5$. Cum $l_s=l_d=f(1)$, $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive pe $\mathbb{R}$. Verificare: $f(0,99)\approx 4,87$ și $f(1,01)\approx 5,09$.

11. Ramurile sunt continue pe $(-\infty ;0)$ și pe $(0;+\infty )$. $l_s=4\cdot 0^2-13\cdot 0+5=5$ și $l_d=7e^0-2=7-2=5$, iar $f(0)=5$. Cum $l_s=l_d=f(0)$, $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive pe $\mathbb{R}$. Verificare: $f(-0,01)\approx 5,13$ și $f(0,01)\approx 5,07$.

12. a) Pentru $x<2$, $l_s=2a+4$. Pentru $x>2$, $l_d=4+a+3=a+7$, iar $f_a(2)=a+7$. b) Primitive există când $l_s=l_d=f_a(2)$, adică $2a+4=a+7$, deci $a=3$. c) Pentru $a=1$, $l_s=6$ și $l_d=8$, saltul fiind $8-6=2$. Verificare: pentru $a=3$, $l_s=10$ și $l_d=10$, egale cu $f_3(2)=10$.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, tema a apărut în 2 din cele 83 de probe, ambele la Subiectul al III-lea, problema 2, subpunctul b): pentru o funcție definită pe ramuri trebuia arătat că admite primitive pe $\mathbb{R}$, iar limitele laterale au fost pasul de pornire. Primitivele sunt din clasa a XII-a; aici contează pasul dinaintea lor, limitele laterale în punctul de legătură. Cele două forme:

• August 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția are o ramură polinomială de gradul al doilea pentru $x\le 1$ și, pentru $x>1$, una formată dintr-o constantă plus un cât cu $\ln x$; baremul probei dă 3 puncte pentru cele două limite laterale și pentru valoarea funcției în punctul de legătură, toate egale (pașii 2, 3 și 5 din Metodă), și 2 puncte pentru concluzia că funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive.
• Proba specială din 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția are o ramură polinomială de gradul al doilea pentru $x\le 0$ și o ramură de gradul întâi pentru $x>0$; baremul probei dă aceleași 3 puncte pentru cele două limite laterale și valoarea în punct (pașii 2, 3 și 5 din Metodă) și 2 puncte pentru concluzia că funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive.

În ambele cerințe enunțul dă rezultatul, deci rezolvarea este o demonstrație: calculezi $l_s$, $l_d$ și $f(a)$, scrii că sunt egale și închei cu continuitatea pe $\mathbb{R}$. Exercițiile 9–11 exersează același tip de cerință, cu ramuri polinomiale, cu logaritm și cu exponențială, iar exercițiul 12 caută un parametru. Continuarea: lecția despre continuitatea într-un punct și traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Iei valoarea din punct drept limită: „$Q(40)=2,8$, deci limita este 2,8” → cum o prinzi: calculezi și limita din cealaltă parte; pe dreapta graficul se îndreaptă spre 6,1.
• Calculezi o singură limită laterală → cum o prinzi: demonstrația cere trei numere, $l_s$, $l_d$ și $f(a)$, deci scrie-le pe trei rânduri înainte de concluzie.
• Folosești ramura nepotrivită: pentru limita la stânga în 4 înlocuiești în ramura lui $x\ge 4$ → cum o prinzi: scrie condiția ramurii lângă fiecare limită; la exercițiul 2, ramura $x<4$ dă 51, nu 42.
• Amesteci unitățile și spui că saltul este 3,3 litri pe secundă → cum o prinzi: 3,3 m³/s sunt 3300 litri pe secundă, nu 3,3.
• Rotunjești înainte de a alege ramura → cum o prinzi: 30,06 km rotunjiți la 30 km ar da 247 lei, dar factura este 313,25 lei; alegi tariful cu distanța exactă, abia apoi rotunjești suma.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul limitelor laterale ale unei funcții într-un punct se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cum arată saltul dacă la 7:40 stăvilarul ar fi fost coborât, nu ridicat?

Debitul ar fi scăzut brusc, deci $l_d$ ar fi ieșit mai mic decât $l_s$. Dacă, de pildă, după manevră debitul ar fi pornit de la 1,7 m³/s, saltul ar fi fost $1,7-2,8=-1,1$, adică o scădere de 1,1 m³/s. Semnul minus arată scăderea, iar limita tot nu ar exista, fiindcă limitele laterale diferă.

Cât de aproape de minutul 40 trebuie să fiu ca debitul de după manevră să difere de 6,1 cu cel mult 0,05?

Ramura din dreapta este $6,9-0,02t$, deci diferența față de 6,1 este $0,02\cdot (t-40)$. Ea este cel mult 0,05 când $t-40\le 2,5$, adică pentru minutele din $(40;42,5]$. Pentru o bandă mai îngustă, intervalul se strânge odată cu ea.

De ce nu scriu că limita este media, 4,45?

Limita este înălțimea spre care se îndreaptă graficul, iar aici graficul nu se îndreaptă spre 4,45 din nicio parte: pe stânga se apropie de 2,8, pe dreapta de 6,1. Nicio citire din jurul minutului 40 nu e aproape de 4,45.

Stăvilarul nu se ridică într-o clipă. Saltul din grafic este adevărat?

Manevra durează câteva zeci de secunde, în care debitul urcă rapid. La scara de minute a registrului, modelul cu salt este bun; la scara de secunde ai trasa, între cele două debite, o porțiune foarte înclinată, fără ruptură.

Se cer limitele laterale la Bacalaureatul M3?

Da, în 2 din cele 83 de probe, 2018-august și 2019-speciala, la Subiectul al III-lea, problema 2, subpunctul b): o funcție pe ramuri trebuie să aibă limitele laterale egale cu valoarea din punctul de legătură, ca să admită primitive pe $\mathbb{R}$. Calculul acesta este primul pas al demonstrației.