Cât face logaritm în baza 2 din 8?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Logaritmul: exponentul căutat

Este $3$ , fiindcă $2^{3} = 8$ : logaritmul caută exponentul la care trebuie ridicată baza ca să obții numărul dat. Scrierea $lo g_{a} b = c$ înseamnă exact $a^{c} = b$ , cu baza pozitivă și diferită de unu, iar numărul de sub logaritm strict pozitiv. Tot așa, $lo g_{5} 125 = 3$ , fiindcă $5^{3} = 125$ . Rezultatul poate fi și negativ, ca la $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ .

Logaritmul răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin numărul dat?". Definiție: fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ ; logaritmul în baza $a$ al lui $b$ este numărul $c$ pentru care $a^{c} = b$ , notat $c = lo g_{a} b$ . Cele două forme sunt echivalente: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ .

Cele trei condiții nu sunt capricii: baza trebuie strict pozitivă (altfel puterile nu au sens pentru orice exponent real), diferită de $1$ (căci $1^{c} = 1$ pentru orice $c$ , iar logaritmul nu ar fi unic determinat), iar argumentul $b$ trebuie strict pozitiv, pentru că o putere cu bază pozitivă este mereu strict pozitivă — nu există $lo g_{2} (- 8)$ și nici $lo g_{2} 0$ .

Patru egalități se obțin direct din definiție: $lo g_{a} 1 = 0$ (din $a^{0} = 1$ ), $lo g_{a} a = 1$ (din $a^{1} = a$ ), $lo g_{a} a^{n} = n$ și $a^{l o g_{a} b} = b$ — ultimele două arată că ridicarea la putere și logaritmarea se anulează reciproc.

Rezultatul logaritmului poate fi negativ (când argumentul e subunitar și baza supraunitară, ca la $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ) sau fracționar (când argumentul e un radical al bazei, ca la $lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ ). Când numărul nu e o putere exactă a bazei, îl încadrăm între două puteri vecine: din $2^{3} = 8 < 10 < 16 = 2^{4}$ rezultă $3 < lo g_{2} 10 < 4$ .

De reținut

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$
condiții: $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$
$lo g_{a} 1 = 0$ și $lo g_{a} a = 1$

Greșeala tipică

Se schimbă rolurile la trecerea în formă de putere și numărul este scris ca bază; baza logaritmului rămâne bază, iar rezultatul logaritmului devine exponent.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele expresii nu există?
- a) $lo g_{2} \frac{1}{8}$
- b) $lo g_{5} (- 25)$
- c) $lo g_{10} 0, 001$
- d) $lo g_{3} 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $lo g_{5} (- 25)$

Argumentul unui logaritm trebuie strict pozitiv. Nu există niciun exponent $c$ cu $5^{c} = - 25$ , fiindcă orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă. Celelalte există: $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , $lo g_{10} 0, 001 = - 3$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
Scrierea $lo g_{6} 216 = 3$ este echivalentă cu:
- a) $3^{6} = 216$
- b) $6^{3} = 216$
- c) $21 6^{3} = 6$
- d) $6^{216} = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6^{3} = 216$

La trecerea din formă logaritmică în formă exponențială, baza logaritmului rămâne bază, iar valoarea logaritmului devine exponent: $6^{3} = 216$ (verificare: $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ ).
Cât face $lo g_{16} 2$ ?
- a) $2$
- b) $4$
- c) $\frac{1}{4}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{4}$

Căutăm $c$ cu $1 6^{c} = 2$ . Cum $16 = 2^{4}$ , avem $1 6^{1/4} = 416 = 2$ , deci $lo g_{16} 2 = \frac{1}{4}$ .

Întrebări conexe

Cât este logaritmul bazei în baza ei?

Este $1$ , fiindcă orice număr ridicat la puterea întâi se dă pe sine. Astfel $lo g_{5} 5 = 1$ și $lo g_{10} 10 = 1$ . Împreună cu faptul că logaritmul din unu este zero, aceste două egalități se folosesc la aproape orice calcul rapid.

Cum scriu o egalitate cu logaritm sub formă de putere?

Baza logaritmului rămâne bază, valoarea logaritmului devine exponent, iar numărul de sub logaritm devine rezultat. Din $lo g_{6} 216 = 3$ obții $6^{3} = 216$ . Trecerea în celălalt sens funcționează la fel și este cel mai sigur mod de a verifica un rezultat.

Cum aflu x din ecuația logaritm în baza 3 din x egal 4?

Treci în formă de putere: $x = 3^{4}$ , deci $x = 81$ . Verifici că rezultatul este strict pozitiv, altfel logaritmul nu ar exista. Valoarea găsită este singura posibilă, fiindcă funcția logaritmică nu repetă aceeași imagine pentru două numere diferite.

De ce logaritmul din zero nu există?

Pentru că nicio putere cu bază pozitivă nu poate da zero: rezultatul rămâne mereu strict pozitiv, oricât de mic ar fi exponentul. Valorile se apropie de zero fără să ajungă la el. Din același motiv nu există nici logaritm dintr-un număr negativ.

Cum calculez logaritm în baza 2 din o optime?

Scrii numărul ca putere a bazei: o optime este $2^{- 3}$ , deci rezultatul este $- 3$ . Un număr subunitar cu bază supraunitară dă întotdeauna un logaritm negativ. Verificarea e imediată: doi la puterea minus trei chiar dă o optime.

Oamenii mai întreabă și: logaritm în baza 2 din 8 · ce este logaritmul unui număr · cum se calculează un logaritm · log de 8 în baza 2