Cum transform gradele în radiani?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Grade și radiani: conversia arcelor

Înmulțești măsura în grade cu $\frac{π}{180}$ și simplifici. Astfel $13 5^{\circ}$ devine $\frac{135 π}{180} = \frac{3 π}{4}$ . Drumul invers se face înlocuind $π$ cu $18 0^{\circ}$ , deci $\frac{7 π}{6}$ înseamnă $21 0^{\circ}$ . Totul pornește de la egalitatea dintre $18 0^{\circ}$ și $π$ radiani, iar un radian are aproximativ $57, 3^{\circ}$ , puțin sub $6 0^{\circ}$ .

Măsura unui arc este măsura unghiului la centru care îl subîntinde; ea nu depinde de raza cercului, spre deosebire de lungimea arcului. În gimnaziu ai folosit gradul (cercul are $36 0^{\circ}$ , o convenție babiloniană), iar acum introducem radianul — unitatea care se naște din cerc.

Definiție. Un radian este măsura arcului a cărui lungime este egală cu raza cercului pe care se află.

Relația de bază leagă cele două unități: $18 0^{\circ} = π rad$ , de unde rezultă că $1$ rad $\approx 57, 3^{\circ}$ — puțin sub $6 0^{\circ}$ . Din ea obținem cele două rețete de conversie: din grade în radiani înmulțim cu $\frac{π}{180}$ (exemplu: $13 5^{\circ} = \frac{135 π}{180} = \frac{3 π}{4}$ ), iar din radiani în grade înlocuim $π$ cu $18 0^{\circ}$ (exemplu: $\frac{7 π}{6} = \frac{7 \cdot 18 0 ^{\circ}}{6} = 21 0^{\circ}$ ).

Tabelul unghiurilor uzuale se reconstruiește ușor: $3 0^{\circ} = \frac{π}{6}$ , $4 5^{\circ} = \frac{π}{4}$ , $6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ , $9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ , $18 0^{\circ} = π$ , $27 0^{\circ} = \frac{3 π}{2}$ , $36 0^{\circ} = 2 π$ .

Cea mai importantă recompensă a radianilor este formula lungimii arcului: pentru un cerc de rază $R$ și un arc de măsură $t$ în radiani, $ℓ = R \cdot t$ — fără nicio constantă. Dacă măsura e dată în grade, formula devine $ℓ = \frac{π R n}{180}$ . Radianul este considerat măsura naturală a arcului: simplifică formulele, transformă argumentul într-un număr real obișnuit și este singura unitate compatibilă cu analiza matematică.

De reținut

$18 0^{\circ} = π$ radiani
grade în radiani: înmulțești cu $\frac{π}{180}$
lungimea arcului: $ℓ = R \cdot t$ , cu $t$ în radiani

Greșeala tipică

Se folosește formula lungimii arcului cu măsura scrisă în grade și rezultatul iese de zeci de ori mai mare; înmulțirea razei cu măsura cere neapărat radiani.

Exerciții din această mini-lecție

Transformați în radiani măsura de $13 5^{\circ}$ .
- a) $\frac{2 π}{3}$
- b) $\frac{3 π}{4}$
- c) $\frac{5 π}{6}$
- d) $\frac{4 π}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{3 π}{4}$

Înmulțim cu $\frac{π}{180}$ : $13 5^{\circ} = \frac{135 π}{180}$ . Simplificăm fracția $\frac{135}{180}$ prin $45$ : $\frac{135}{180} = \frac{3}{4}$ , deci rezultatul este $\frac{3 π}{4}$ . Varianta a) ar corespunde lui $12 0^{\circ}$ , c) lui $15 0^{\circ}$ , iar d) nu e o valoare din tabelul uzual — niciuna nu se obține din calculul cerut.
Transformați în grade măsura $\frac{7 π}{6}$ .
- a) $15 0^{\circ}$
- b) $18 0^{\circ}$
- c) $21 0^{\circ}$
- d) $24 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $21 0^{\circ}$

Înlocuim $π$ cu $18 0^{\circ}$ : $\frac{7 π}{6} = \frac{7 \cdot 18 0 ^{\circ}}{6} = \frac{126 0 ^{\circ}}{6} = 21 0^{\circ}$ . Varianta a) ar fi $\frac{5 π}{6}$ , b) ar fi $π$ , iar d) ar fi $\frac{4 π}{3}$ — niciuna nu corespunde numărătorului $7$ cu numitorul $6$ .
Un radian este, prin definiție, măsura arcului a cărui lungime este egală cu:
- a) diametrul cercului
- b) raza cercului
- c) jumătate din rază
- d) circumferința cercului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) raza cercului

Definiția radianului cere ca lungimea arcului să fie exact egală cu raza $R$ a cercului. Dacă lungimea ar fi diametrul (varianta a, adică $2 R$ ), unghiul ar fi de aproximativ $114, 6^{\circ}$ ; dacă ar fi circumferința (varianta d, $2 π R$ ), unghiul ar fi întregul cerc, adică $2 π$ radiani, nu $1$ .

Întrebări conexe

Câți radiani are un unghi de 30 de grade?

Are $\frac{π}{6}$ radiani, fiindcă înmulțind $30$ cu $\frac{π}{180}$ rămâne o șesime din $π$ . La fel se obțin $4 5^{\circ} = \frac{π}{4}$ și $6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ . Aceste trei valori merită ținute minte, fiindcă apar în aproape orice exercițiu.

Cât este pi supra 3 exprimat în grade?

Este $6 0^{\circ}$ , fiindcă înlocuind $π$ cu $18 0^{\circ}$ rămâne o treime din $180$ . Metoda funcționează la orice fracție cu $π$ : din $\frac{2 π}{5}$ rezultă $7 2^{\circ}$ . Nu ai nevoie de valoarea zecimală a lui $π$ .

De ce nu se scrie unitatea de măsură la radiani?

Pentru că radianul este raportul dintre lungimea arcului și rază, deci un raport între două lungimi, fără unitate proprie. Din acest motiv măsura în radiani se comportă ca un număr obișnuit și poate fi înlocuită direct în funcții trigonometrice.

Cum aflu măsura unui arc dintr-un unghi la centru?

Sunt egale: măsura arcului este chiar măsura unghiului la centru care îl cuprinde. Raza nu intră în calcul aici, pe când lungimea arcului se schimbă odată cu ea și se obține înmulțind raza cu măsura în radiani. Pentru rază $12$ și măsură $\frac{5 π}{6}$ lungimea este $10 π$ .

Câți radiani are cercul întreg?

Are $2 π$ radiani, adică aproximativ $6, 28$ . Rezultatul vine din faptul că lungimea cercului este de $2 π$ ori raza, iar un radian corespunde unui arc cât raza. Jumătatea de cerc are $π$ radiani, iar sfertul $\frac{π}{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: transformare grade în radiani · formula de conversie grade radiani · câți radiani are un unghi în grade · grade și radiani conversie