Care este inversa matricei $$\begin{pmatrix} 13 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$?

$$\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -3 & 13 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 13 & -4 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 13 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -13 \end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Matricea A(a): cele șase cerințe

Când este inversabilă o matrice cu parametru?

Scrii determinantul matricei ca polinom în $a$ și ceri ca el să fie diferit de 0. Pentru $A (a) = (a + 3 5 2 a)$ ai $det (A (a)) = (a + 3) a - 10 = a^{2} + 3 a - 10 = (a + 5) (a - 2)$ , care se anulează pentru $a = - 5$ și $a = 2$ . Deci $A (a)$ este inversabilă pentru $a \in R ∖ {- 5, 2}$ . Proba: $A (2) = (5522)$ are două linii egale, deci determinantul 0. Răspunsul este o mulțime de valori excluse, nu o singură valoare.

Subiectul al III-lea pornește de la o matrice de ordin 2, de obicei cu un parametru: $A (a)$ este o matrice obișnuită pentru fiecare valoare a lui $a$ . Întâi scrii determinantul ca polinom în $a$ , de pildă $det (A (a)) = a^{2} + 3 a - 10 = (a + 5) (a - 2)$ , și îl verifici pe o valoare calculată direct. Din el ies trei cerințe: ecuația cu determinantul, valorile pentru care matricea este inversabilă (determinantul nenul) și inegalitățile.

La egalitățile de matrice calculezi separat cei doi membri și îi compari element cu element; produsul se face linie pe coloană, nu element cu element. Inversa lui $(p r q s)$ este $\frac{1}{p s - q r} (s - r - q p)$ , iar proba este produsul egal cu $I_{2}$ .

La ecuația matriceală, inversa vine pe partea pe care stă matricea dată: $M \cdot X = B$ dă $X = M^{- 1} \cdot B$ , iar $X \cdot M = B$ dă $X = B \cdot M^{- 1}$ . La o inegalitate cu numere naturale, după intervalul dintre rădăcini păstrezi doar numerele cerute.

Capcanele: $3 A (1)$ confundat cu $A (3)$ , diagonalele adunate în loc de scăzute, pătratul făcut element cu element și inversa pusă pe partea greșită.

De reținut

determinantul ca polinom în $a$ se scrie o dată și servește la mai multe cerințe
matricea este inversabilă exact când determinantul ei este nenul
inversa se pune pe partea pe care stă matricea cunoscută, apoi se face proba

Greșeala tipică

Se adună produsele diagonalelor la determinant. Pentru $(3520)$ ar ieși $0 + 10 = 10$ în loc de $0 - 10 = - 10$ ; verifici polinomul pe o valoare la care matricea are două linii egale, unde determinantul trebuie să fie 0.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră matricea $A (a) = (a + 1 3 4 a)$ , unde $a$ este număr real. Cât este $det (A (2))$ ?
- a) $18$
- b) $- 6$
- c) $6$
- d) $- 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 6$

$A (2) = (3342)$ , deci $det (A (2)) = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 6 - 12 = - 6$ . Varianta $18$ vine din adunarea produselor, $6 + 12$ ; varianta $6$ vine din scăderea făcută invers, $12 - 6$ ; varianta $- 8$ vine din $A (2)$ calculat greșit, cu elementul $a + 1$ lăsat $a$ , adică $2$ : $2 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = - 8$ .
Care este inversa matricei $(13341)$ ?
- a) $(13 - 3 - 4 1)$
- b) $(13413)$
- c) $(1 - 3 - 4 13)$
- d) $(- 1 3 4 - 13)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(1 - 3 - 4 13)$

Determinantul este $13 \cdot 1 - 4 \cdot 3 = 1$ , deci inversa este $(1 - 3 - 4 13)$ : schimbi între ele $13$ și $1$ de pe diagonala principală și schimbi semnul lui $4$ și $3$ . Varianta a) nu schimbă diagonala, b) nu schimbă semnele, iar d) are toate semnele inversate. Proba: $(13341) \cdot (1 - 3 - 4 13) = I_{2}$ .
Se consideră matricea $M (x) = (x 2 6 x + 1)$ , unde $x$ este număr real. Pentru ce valori ale lui $x$ matricea $M (x)$ nu este inversabilă?
- a) $x \in {4, - 3}$
- b) $x \in {- 4, 3}$
- c) $x = 3$
- d) $x = 12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x \in {- 4, 3}$

$det (M (x)) = x (x + 1) - 12 = x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ , care se anulează pentru $x = - 4$ și $x = 3$ . Varianta a) are semnele rădăcinilor inversate, c) uită o rădăcină, iar d) ia termenul liber drept soluție. Proba: $M (3) = (3264)$ are linii proporționale.

Întrebări conexe

De ce 3A(1) nu este același lucru cu A(3)?

$3 A (1)$ înseamnă matricea $A (1)$ cu toate elementele înmulțite cu 3, iar $A (3)$ înseamnă că pui $a = 3$ în formulele elementelor. Pentru $H (a) = (a 4 1 a + 2)$ ai $3 H (1) = (31239)$ , dar $H (3) = (3415)$ : coincid doar pe prima poziție.

Cum calculez inversa unei matrice de ordin 2?

Calculezi determinantul și verifici că e nenul. Apoi schimbi între ele elementele diagonalei principale, schimbi semnul celorlalte două și împarți totul la determinant. Pentru $(7321)$ , determinantul este $7 - 6 = 1$ , iar inversa este $(1 - 3 - 2 7)$ . Proba: produsul cu matricea inițială dă $I_{2}$ .

Când pun inversa la stânga și când la dreapta, la o ecuație matriceală?

Inversa vine pe aceeași parte pe care stă matricea cunoscută față de $X$ . Din $M \cdot X = B$ rezultă $X = M^{- 1} \cdot B$ , iar din $X \cdot M = B$ rezultă $X = B \cdot M^{- 1}$ . Produsul matricelor nu se poate întoarce, așa că o inversă pusă pe partea greșită dă altă matrice; proba prin înmulțire arată imediat greșeala.

Cum rezolv o inegalitate cu determinantul pe numere naturale?

Aduci inegalitatea la forma unui polinom de gradul al doilea comparat cu 0 și afli rădăcinile. Pentru $n^{2} + n - 6 \leq 6$ obții $n^{2} + n - 12 \leq 0$ , adică $(n + 4) (n - 3) \leq 0$ și $n \in [- 4, 3]$ . Abia la sfârșit păstrezi numerele naturale: $0, 1, 2, 3$ .

Cum arăt că A(1) + A(5) = 2A(3)?

Calculezi separat cele două părți și le compari element cu element. Pentru $A (a) = (a + 3 5 2 a)$ , $A (1) + A (5) = (4521) + (8525) = (121046)$ , cât $2 A (3)$ . Egalitatea ține fiindcă elementele sunt de gradul întâi în $a$ , iar 3 stă exact la mijloc între 1 și 5.

Ce înseamnă „pentru orice număr real a” într-o cerință?

Că egalitatea sau inegalitatea trebuie demonstrată cu litera $a$ , nu verificată pe câteva valori. Calculezi expresia ca polinom în $a$ și arăți că cele două părți coincid sau că polinomul are semnul cerut. De pildă, $a^{2} + a + 2 > 0$ pentru orice $a$ , fiindcă discriminantul $1 - 8$ este negativ, iar coeficientul lui $a^{2}$ este pozitiv.

Oamenii mai întreabă și: valorile lui a pentru care matricea este inversabila · cand o matrice cu parametru nu are inversa · determinantul diferit de zero la matricea A(a) · subiectul al treilea matrice inversabila pedagogic