Cum aleg între X = M⁻¹ · B și X = B · M⁻¹?

Te uiți unde stă matricea cunoscută față de X. În A(0) · X = B ea e la stânga, deci inversa vine tot la stânga: X = A(0)⁻¹ · B. În X · G(2) = B, de la exercițiul 11, ea e la dreapta, deci X = B · G(2)⁻¹. Proba prin înmulțire arată imediat dacă ai ales bine.

Matricea A(a) la Subiectul al III-lea, pedagogic

Subiectul al III-lea al probei de matematică se sprijină, din 2015, pe o matrice pătratică de ordin 2, care în 44 de probe depinde de unul sau doi parametri. Lecția, pentru clasa a XII-a, profilul pedagogic, ia pe rând cele șase cerințe ale problemei și arată pentru fiecare pașii de lucru și proba. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) subiectul are aceeași formă în toate cele 53 de probe din 2015–2026.

Situația de pornire

Ioana este în clasa a XII-a, la specializarea învățător-educatoare, și are la matematică o oră pe săptămână. Până la examen mai sunt 30 de săptămâni, așa că vrea să știe ce fel de cerințe vin la Subiectul al III-lea, ca să le exerseze în ordine. Profesorul îi dă un tabel făcut pe cele 53 de probe oficiale din 2015–2026: fiecare probă are șase cerințe la Subiectul al III-lea, deci tabelul numără 318 cerințe.

Ce cere cerința	Cerințe (din 318)	Probe în care apare (din 53)
un determinant cu numere, de pildă $det (A (0))$	53	50
o egalitate de matrice de demonstrat	70	47
un parametru aflat dintr-o egalitate de matrice	45	33
un parametru aflat dintr-o ecuație cu determinantul	40	36
o inegalitate cu determinantul	23	20
inversa unei matrice sau valorile pentru care există	33	30
o ecuație matriceală, cu necunoscuta $X$	21	20
alte cerințe: comutarea, suma elementelor, un determinant ca expresie	33	25

Tabelul mai arată un lucru: prima cerință a fost un determinant cu numere în 49 dintre cele 53 de probe, iar ultima a fost o ecuație matriceală în 16 probe și o inegalitate cu determinantul în 12.

Întrebare: ce pași are fiecare tip de cerință și cum se poate face proba fiecărui rezultat, înainte de a trece la cerința următoare?

De la situație la model

Toate cerințele pornesc de la cadrul problemei, scris o singură dată, înaintea primei cerințe. Ca model pentru toată lecția, ia matricea

$A (a) = (a + 3 5 2 a), a \in R,$

și matricea unitate $I_{2} = (1001)$ . Matricea cu parametru este o familie de matrice, câte una pentru fiecare valoare a numărului $a$ : $A (0)$ , $A (1)$ , $A (- 5)$ sunt matrice obișnuite, cu numere.

În enunț	În matematică
„ $A (3)$ ”	înlocuiești $a = 3$ în fiecare element: $(6523)$
„ $det (A (a))$ ”	numărul $(a + 3) \cdot a - 2 \cdot 5$ , un polinom în $a$
„pentru orice număr real $a$ ”	calculul se face cu litera $a$ , nu pe câteva valori
„matricea este inversabilă”	determinantul ei este diferit de 0
„rezolvați în $M_{2} (R)$ ”	necunoscuta $X$ este o matrice cu 2 linii și 2 coloane

Ce înseamnă $A (3)$ și ce înseamnă $3 A (1)$ ?

$A (3)$ se obține punând $a = 3$ în fiecare element. $3 A (1)$ este matricea $A (1)$ cu toate elementele înmulțite cu 3: $3 A (1) = (121563)$ , pe când $A (3) = (6523)$ . Cele două matrice diferă, iar confuzia dintre ele strică orice cerință care urmează.

Cum se leagă cele șase cerințe între ele?

Ele merg de la simplu la greu și se folosesc unele pe altele. Determinantul ca polinom, $det (A (a)) = a^{2} + 3 a - 10$ , servește la ecuația cu determinant, la inversabilitate și la inegalitate. Inversa unei matrice servește la ecuația matriceală. De aceea merită să scrii determinantul cu litera $a$ o singură dată, la începutul lucrării, și să-l reiei de acolo.

Metoda pas cu pas

Copiezi cadrul și calculezi ce se cere cu numere. Pentru $A (0)$ pui $a = 0$ în fiecare element; pentru $2 A (1)$ calculezi întâi $A (1)$ , apoi înmulțești fiecare element cu 2. Determinantul de ordin 2 este produsul diagonalei principale minus produsul celeilalte diagonale.
Scrii determinantul ca polinom în $a$ . $det (A (a)) = (a + 3) a - 10 = a^{2} + 3 a - 10$ și, dacă se poate, îl descompui: $(a + 5) (a - 2)$ . Verifici polinomul pe o valoare: la $a = 0$ trebuie să iasă $det (A (0))$ .
La o egalitate de matrice calculezi separat membrul stâng și membrul drept și le compari element cu element. La „pentru orice $a$ ” lucrezi cu litera; la o ecuație cu parametrul, egalezi elementele de pe aceleași poziții și reții valorile care verifică toate cele patru egalități.
La inversă verifici întâi că determinantul este nenul. Pentru $M = (p r q s)$ cu $det M = d \neq = 0$ , inversa este $M^{- 1} = \frac{1}{d} (s - r - q p)$ : schimbi între ele elementele diagonalei principale și schimbi semnul celorlalte două.
La ecuația matriceală înmulțești cu inversa pe partea pe care stă matricea dată: din $M \cdot X = B$ rezultă $X = M^{- 1} \cdot B$ , iar din $X \cdot M = B$ rezultă $X = B \cdot M^{- 1}$ . Faci proba înmulțind înapoi.
La o inegalitate cu determinantul o aduci la forma „polinom de gradul al doilea $\leq 0$ ” sau „ $< 0$ ”, afli rădăcinile, iei intervalul dintre ele și abia apoi păstrezi numerele cerute: naturale, întregi sau reale.

Ordinea contează. Cine sare peste pasul 2 calculează determinantul de trei ori, la trei cerințe, și poate greși de trei ori. Cine nu verifică determinantul la pasul 4 poate împărți la 0, iar cine uită proba de la pasul 5 nu observă o înmulțire făcută pe partea greșită.

Fișa de buzunar

$det (p r q s) = p s - q r, (p r q s)^{- 1} = \frac{1}{p s - q r} (s - r - q p)$

$M \cdot X = B \Rightarrow X = M^{- 1} \cdot B, X \cdot M = B \Rightarrow X = B \cdot M^{- 1}$

Produsul a două matrice se face „linie pe coloană”: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ este linia $i$ a primei matrice înmulțită cu coloana $j$ a celei de-a doua. Produsul nu se face element cu element și, în general, $M \cdot N \neq = N \cdot M$ . Matricea este inversabilă exact când determinantul ei e nenul. Verificare rapidă a inversei: $M \cdot M^{- 1} = I_{2}$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cerințele cu determinant

Tipul cerinței: determinant cu numere, determinant ca polinom, ecuație și inversabilitate.

Enunț. Pentru matricea $A (a)$ din model: a) Arătați că $det (A (0)) = - 10$ . b) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (A (a)) = 8$ . c) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $A (a)$ este inversabilă.

Rezolvare. a) $A (0) = (3520)$ , deci $det (A (0)) = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 5 = - 10$ . b) Cu litera $a$ : $det (A (a)) = (a + 3) a - 2 \cdot 5 = a^{2} + 3 a - 10$ . Ecuația $a^{2} + 3 a - 10 = 8$ devine $a^{2} + 3 a - 18 = 0$ , adică $(a + 6) (a - 3) = 0$ , deci $a = - 6$ sau $a = 3$ . c) $A (a)$ este inversabilă exact când $a^{2} + 3 a - 10 \neq = 0$ . Descompunerea $a^{2} + 3 a - 10 = (a + 5) (a - 2)$ arată rădăcinile $- 5$ și $2$ , deci $A (a)$ este inversabilă pentru $a \in R ∖ {- 5, 2}$ .

Capcană. Cine adună produsele diagonalelor, în loc să le scadă, obține la a) $0 + 10 = 10$ și, la b), polinomul $a^{2} + 3 a + 10$ . Atunci ecuația $a^{2} + 3 a + 10 = 8$ devine $a^{2} + 3 a + 2 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $- 2$ , iar matricea ar ieși inversabilă pentru orice $a$ , fiindcă $a^{2} + 3 a + 10$ nu are rădăcini reale.

Verificare. Pe alt drum, direct cu numere: $A (3) = (6523)$ are determinantul $18 - 10 = 8$ , iar $A (- 6) = (- 3 5 2 - 6)$ are $18 - 10 = 8$ . Pentru $a = 2$ , $A (2) = (5522)$ are două linii egale, deci determinantul $10 - 10 = 0$ .

Exemplul 2 — Două egalități de demonstrat

Tipul cerinței: egalitate de matrice, cu numere și cu produs.

Enunț. a) Arătați că $A (1) + A (5) = 2 A (3)$ . b) Arătați că $A (0) \cdot A (0) - 3 A (0) = 10 I_{2}$ .

Rezolvare. a) $A (1) = (4521)$ și $A (5) = (8525)$ , deci $A (1) + A (5) = (121046)$ . În dreapta, $2 A (3) = 2 (6523) = (121046)$ , aceeași matrice. b) Linie pe coloană, $A (0) \cdot A (0) = (3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 5 \cdot 3 + 0 \cdot 5 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 5 \cdot 2 + 0 \cdot 0) = (1915610)$ . Scazi $3 A (0) = (91560)$ și obții $(100010) = 10 I_{2}$ .

Capcană. Cine ridică la pătrat fiecare element obține $A (0) \cdot A (0) = (92540)$ , iar după scădere $(010 - 2 0)$ , care nu este $10 I_{2}$ . Concluzia falsă ar fi că egalitatea din enunț nu are loc, deși are.

Verificare. La a), fiecare element al lui $A (a)$ este de forma „număr ori $a$ plus număr”, iar 3 este media lui 1 și 5. Elementul din colțul stâng sus confirmă: $(1 + 3) + (5 + 3) = 12 = 2 (3 + 3)$ . La b), un singur element calculat pe altă cale: pe linia 2, coloana 1, $5 \cdot 3 + 0 \cdot 5 - 3 \cdot 5 = 0$ , cum cere $10 I_{2}$ .

Exemplul 3 — Inversa unei matrice din familie

Tipul cerinței: inversă, cu proba prin produs.

Enunț. Determinați inversa matricei $A (3)$ .

Rezolvare. $A (3) = (6523)$ și, din Exemplul 1, $det (A (3)) = 8 \neq = 0$ , deci matricea este inversabilă. Schimbi între ele 6 și 3, schimbi semnul lui 2 și 5 și împarți la 8: $A (3)^{- 1} = \frac{1}{8} (3 - 5 - 2 6) = (\frac{3}{8} - \frac{5}{8} - \frac{1}{4} \frac{3}{4})$ .

Capcană. Cine schimbă între ele elementele diagonalei a doua, nu ale primei, scrie $\frac{1}{8} (6 - 2 - 5 3)$ . Produsul $A (3) \cdot \frac{1}{8} (6 - 2 - 5 3)$ are în colțul din stânga sus $\frac{6 \cdot 6 + 2 \cdot ( - 2 )}{8} = 4$ , nu 1, deci rezultatul nu este inversa.

Verificare. $A (3) \cdot (3 - 5 - 2 6) = (18 - 10 15 - 15 - 12 + 12 - 10 + 18) = (8008)$ , iar împărțit la 8 dă $I_{2}$ .

Exemplul 4 — Ecuația matriceală și o inegalitate cu numere naturale

Tipul cerinței: ultima cerință a problemei.

Enunț. a) Rezolvați în $M_{2} (R)$ ecuația $A (0) \cdot X = (151210)$ . b) Determinați numerele naturale $m$ pentru care $det (A (m)) \leq 8$ .

Rezolvare. a) $det (A (0)) = - 10 \neq = 0$ , deci $A (0)^{- 1} = \frac{1}{- 10} (0 - 5 - 2 3)$ . Matricea dată stă la stânga lui $X$ , deci $X = A (0)^{- 1} \cdot (151210) = \frac{1}{- 10} (- 10 10 - 20 - 30) = (1 - 1 23)$ . b) $m^{2} + 3 m - 10 \leq 8$ devine $m^{2} + 3 m - 18 \leq 0$ , adică $(m + 6) (m - 3) \leq 0$ . Polinomul este negativ sau nul între rădăcini, deci $m \in [- 6, 3]$ . Numerele naturale din interval sunt 0, 1, 2 și 3.

Capcană. La a), cine înmulțește inversa la dreapta, $(151210) \cdot A (0)^{- 1}$ , obține $(65 - \frac{17}{5} - 2)$ , iar proba nu mai iese. La b), cine se oprește la intervalul $[- 6, 3]$ dă un răspuns cu zece numere întregi, deși cerința are doar patru numere naturale.

Verificare. a) $A (0) \cdot X = (3 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) 5 \cdot 1 + 0 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 5 \cdot 2 + 0) = (151210)$ . b) $det (A (3)) = 8 \leq 8$ , iar $det (A (4)) = 16 + 12 - 10 = 18 > 8$ , deci 3 este cel mai mare număr natural bun.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Se consideră matricea $B (x) = (x - 2 1 4 x + 1)$ , unde $x$ este număr real. Calculează $det (B (0))$ și $det (B (3))$ .

2. Calculează $C \cdot D$ și $D \cdot C$ pentru $C = (23 - 1 4)$ și $D = (1 - 2 50)$ . Sunt egale?

3. Determină inversa matricei $E = (13885)$ și fă proba.

4. Pentru matricea $B (x)$ de la exercițiul 1, determină numerele reale $x$ pentru care matricea $B (x)$ nu este inversabilă.

Nivelul 2 — situații

5. (Tabel de tip matriceal.) O învățătoare a cumpărat pentru clasa a II-a A 25 de caiete și 12 culegeri, plătind 378 de lei, iar pentru clasa a II-a B 18 caiete și 9 culegeri, plătind 279 de lei, la aceleași prețuri. Scrie forma matriceală $Q \cdot (p c) = T$ și află prețul unui caiet și al unei culegeri cu inversa lui $Q$ .

6. Se consideră matricea $A (x) = (x 3 2 x - 1 x + 2)$ , unde $x$ este număr real. Arată că $3 A (2) - A (0) = 2 A (3)$ .

7. Se consideră matricea $P (t) = (t 0 12)$ , unde $t$ este număr real. Determină numărul real $t$ pentru care $P (t) \cdot P (t) = (9054)$ .

8. Pentru matricea $B (x)$ de la exercițiul 1, rezolvă inecuația $det (B (x)) < 0$ și spune câte numere întregi o verifică.

Nivelul 3 — pe model de examen

Exercițiile 9–12 folosesc același cadru: se consideră matricea $G (a) = (a + 1 2 a a)$ , unde $a$ este număr real.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (G (a)) = 6$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Determinați inversa matricei $G (2)$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Rezolvați în $M_{2} (R)$ ecuația $X \cdot G (2) = (5444)$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Demonstrați că $det (G (a) + I_{2}) > 0$ , pentru orice număr real $a$ .

Răspunsuri și verificări

1. $B (0) = (- 2 1 41)$ , deci $det (B (0)) = - 2 - 4 = - 6$ . $B (3) = (1144)$ , deci $det (B (3)) = 4 - 4 = 0$ . Verificare: în general $det (B (x)) = (x - 2) (x + 1) - 4 = x^{2} - x - 6$ , care dă $- 6$ la $x = 0$ și $0$ la $x = 3$ .

2. $C \cdot D = (2 + 2 3 - 8 10 + 0 15 + 0) = (4 - 5 1015)$ și $D \cdot C = (2 + 15 - 4 + 0 - 1 + 20 2 + 0) = (17 - 4 192)$ , deci nu sunt egale. Verificare: determinanții celor două produse sunt egali, $60 + 50 = 110$ și $34 + 76 = 110$ , adică $det C \cdot det D = 11 \cdot 10$ .

3. $det E = 65 - 64 = 1$ , deci $E^{- 1} = (5 - 8 - 8 13)$ . Verificare: $E \cdot E^{- 1} = (65 - 64 40 - 40 - 104 + 104 - 64 + 65) = I_{2}$ .

4. $det (B (x)) = x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ , care se anulează pentru $x = 3$ și $x = - 2$ . Matricea $B (x)$ nu este inversabilă pentru $x \in {- 2, 3}$ . Verificare: $B (- 2) = (- 4 1 4 - 1)$ are coloanele opuse, deci determinantul $4 - 4 = 0$ .

5. $Q = (2518129)$ și $T = (378279)$ . $det Q = 225 - 216 = 9$ , deci $Q^{- 1} = \frac{1}{9} (9 - 18 - 12 25)$ . Atunci $(p c) = \frac{1}{9} (9 \cdot 378 - 12 \cdot 279 - 18 \cdot 378 + 25 \cdot 279) = \frac{1}{9} (54171) = (619)$ . Un caiet costă 6 lei, iar o culegere 19 lei. Verificare: $25 \cdot 6 + 12 \cdot 19 = 150 + 228 = 378$ de lei și $18 \cdot 6 + 9 \cdot 19 = 108 + 171 = 279$ de lei.

6. $A (2) = (2334)$ și $A (0) = (03 - 1 2)$ , deci $3 A (2) - A (0) = (661010)$ . $A (3) = (3355)$ , deci $2 A (3) = (661010)$ , aceeași matrice. Verificare: elementele sunt de gradul întâi în $x$ , iar $\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 0}{3 - 1} = 3$ .

7. $P (t) \cdot P (t) = (t^{2} 0 t + 2 4)$ . Egalitatea cere $t^{2} = 9$ și $t + 2 = 5$ . A doua condiție dă $t = 3$ , care verifică și prima; valoarea $t = - 3$ cade, fiindcă $- 3 + 2 = - 1 \neq = 5$ . Răspuns: $t = 3$ . Verificare: $P (3) \cdot P (3) = (9 + 0 0 3 + 2 4)$ .

8. $x^{2} - x - 6 < 0$ are rădăcinile $- 2$ și $3$ , deci $x \in (- 2, 3)$ . Numerele întregi din interval sunt $- 1$ , $0$ , $1$ și $2$ , adică patru numere. Verificare: $det (B (2)) = 4 - 2 - 6 = - 4 < 0$ , dar $det (B (3)) = 0$ , care nu este strict negativ.

9. $det (G (a)) = (a + 1) a - 2 a = a^{2} - a$ . Ecuația $a^{2} - a = 6$ devine $a^{2} - a - 6 = 0$ , adică $(a - 3) (a + 2) = 0$ . Deci $a = 3$ sau $a = - 2$ . Verificare: $G (3) = (4233)$ , cu $12 - 6 = 6$ , și $G (- 2) = (- 1 2 - 2 - 2)$ , cu $2 + 4 = 6$ .

10. $G (2) = (3222)$ , iar $det (G (2)) = 6 - 4 = 2 \neq = 0$ . $G (2)^{- 1} = \frac{1}{2} (2 - 2 - 2 3) = (1 - 1 - 1 \frac{3}{2})$ . Verificare: $G (2) \cdot G (2)^{- 1} = (3 - 2 2 - 2 - 3 + 3 - 2 + 3) = I_{2}$ .

11. Matricea $G (2)$ stă la dreapta lui $X$ , deci $X = (5444) \cdot G (2)^{- 1}$ . $X = (5 - 4 4 - 4 - 5 + 6 - 4 + 6) = (1012)$ . Verificare: $X \cdot G (2) = (3 + 2 0 + 4 2 + 2 0 + 4) = (5444)$ .

12. $G (a) + I_{2} = (a + 2 2 a a + 1)$ , deci $det (G (a) + I_{2}) = (a + 2) (a + 1) - 2 a = a^{2} + a + 2$ . Discriminantul este $1 - 8 = - 7 < 0$ , iar coeficientul lui $a^{2}$ este pozitiv, deci $a^{2} + a + 2 > 0$ pentru orice $a$ real. Verificare: la $a = 0$ , valoarea este 2, iar la $a = - 1$ este tot 2, ambele pozitive.

Așa vine la Bac M4

În toate cele 53 de probe ale Bacalaureatului M4 (M_pedagogic) din 2015–2026, Subiectul al III-lea a avut o singură problemă, cu șase cerințe, despre matrice de ordin 2. În 44 dintre aceste probe, cadrul conține o matrice care depinde de un parametru sau de doi; în celelalte 9, matricele sunt cu numere. Câteva cerințe reale, fiecare din altă probă:

În proba din iunie 2015, matricea $A (a)$ avea elementele $a$ , 2, 1 și $a + 1$ ; prima cerință a fost $det (A (0)) = - 2$ , iar a cincea, inversa matricei $A (2)$ (pașii 1 și 4 din Metodă).
În proba din august 2016, după determinantul unei matrice numerice $B$ , s-au cerut valorile lui $a$ pentru care $A (a)$ este inversabilă și apoi ecuația $X \cdot A (1) = B$ , cu necunoscuta la stânga (pașii 2, 4 și 5).
În proba din iunie 2024, ultima cerință a fost o ecuație matriceală cu o coloană necunoscută, $A (- 1) \cdot (x y) = (- 1 9)$ , adică un sistem de două ecuații scris în formă matriceală (pasul 5).
În modelul din 2018, ultima cerință a fost o inegalitate: numărul natural $m$ pentru care $det (A (m)) < 4$ (pasul 6).

Exercițiile 9–12 iau, pe o matrice nouă, patru forme de cerință întâlnite în probe: ecuația cu determinantul, inversa, ecuația matriceală și inegalitatea adevărată pentru orice $a$ . Sistemele cu trei necunoscute și determinanții de ordin 3 au apărut la Subiectul al III-lea numai în probele din 2013 și în modelul din 2014; despre ele sunt lecțiile despre determinanți și despre metoda Cramer. Restul lecțiilor anului le găsești în traseul clasei a XII-a, profilul pedagogic.

Greșeli care costă puncte

Confunzi $3 A (1)$ cu $A (3)$ → cum o prinzi: $3 A (1)$ are elementele $12, 6, 15, 3$ , iar $A (3)$ are $6, 2, 5, 3$ ; înainte de calcul scrii care dintre ele se cere.
Aduni produsele diagonalelor la determinant → cum o prinzi: verifici polinomul pe $a = 2$ , unde $A (2)$ are două linii egale și determinantul trebuie să fie 0.
Ridici la pătrat element cu element → cum o prinzi: refaci un singur element linie pe coloană; la Exemplul 2, colțul din dreapta jos este $5 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 10$ , nu $0^{2} = 0$ .
Înmulțești cu inversa pe partea greșită → cum o prinzi: faci proba; la Exemplul 4, rezultatul greșit nu dă înapoi matricea $(151210)$ .
Păstrezi tot intervalul la o inegalitate cu numere naturale → cum o prinzi: recitești mulțimea din cerință; la Exemplul 4 răspunsul este ${0, 1, 2, 3}$ , nu $[- 6, 3]$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006), la „Matrice”, „Determinanți” și „Matrice inversabile din $M_{n} (R)$ , $n = 2, 3$ . Ecuații matriceale”. Toate cele 53 de probe oficiale din 2015–2026 au avut la Subiectul al III-lea o problemă cu matrice de ordin 2. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, matematica nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026), iar la Bacalaureatul din 2030 ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Lecțiile de sprijin: inversa unei matrice de ordin 2, determinantul de ordin 2, înmulțirea matricelor și ecuațiile matriceale.

Întrebări frecvente

Cum verific repede că $det (A (a)) = (a + 5) (a - 2)$ înainte de a-l folosi?

Pui în polinom două valori pe care le calculezi și direct. La $a = 0$ , $(0 + 5) (0 - 2) = - 10$ , cât dă $3 \cdot 0 - 2 \cdot 5$ . La $a = 1$ , $6 \cdot (- 1) = - 6$ , cât dă $4 \cdot 1 - 2 \cdot 5$ . Două potriviri la un polinom de gradul al doilea scris corect din formulă îți dau încredere să mergi mai departe.

De ce inversa lui $A (3)$ are 8 la numitor, iar inversa lui $A (0)$ are $- 10$ ?

Numitorul este chiar determinantul matricei: $det (A (3)) = 18 - 10 = 8$ , iar $det (A (0)) = 0 - 10 = - 10$ . Fiecare matrice din familie are alt determinant, deci altă fracție în fața matricei. Pentru $a = - 5$ și $a = 2$ numitorul ar fi 0, așa că acolo inversa nu există.

Ce se schimbă dacă în $A (a)$ elementul 5 devine 6?

Determinantul devine $(a + 3) a - 2 \cdot 6 = a^{2} + 3 a - 12$ , care nu se mai descompune cu numere întregi. Matricea nu e inversabilă pentru $a = \frac{- 3 \pm 57}{2}$ , adică aproximativ $2, 27$ și $- 5, 27$ . Pașii rămân aceiași, doar rădăcinile se scriu cu radical.

Cum aleg între $X = M^{- 1} \cdot B$ și $X = B \cdot M^{- 1}$ ?

Te uiți unde stă matricea cunoscută față de $X$ . În $A (0) \cdot X = B$ ea e la stânga, deci inversa vine tot la stânga: $X = A (0)^{- 1} \cdot B$ . În $X \cdot G (2) = B$ , de la exercițiul 11, ea e la dreapta, deci $X = B \cdot G (2)^{- 1}$ . Proba prin înmulțire arată imediat dacă ai ales bine.

Pot rezolva exercițiul 5 fără inversă, ca pe un sistem?

Da: $25 p + 12 c = 378$ și $18 p + 9 c = 279$ formează un sistem de două ecuații, iar prin reducere sau prin Cramer ies tot 6 lei și 19 lei. Forma matriceală și inversa sunt alt drum spre același rezultat; la Bacalaureatul M4, în proba din iunie 2024, o astfel de ecuație a fost scrisă tocmai în formă matriceală.

Ce matrice a avut Subiectul al III-lea la Bacalaureatul M4 din 2015 încoace?

În toate cele 53 de probe din 2015–2026, matrice de ordin 2: în 44 de probe cu un parametru sau doi, în 9 numai cu numere. Determinanții de ordin 3 și sistemele cu trei necunoscute au apărut la acest subiect doar în 2013 și în modelul din 2014, dar sunt în programă și pot fi cerute.