Care dintre situațiile de mai jos se rezolvă cu media armonică?

viteza medie a unui tractor care ară două parcele de aceeași suprafață, cu viteze diferite

temperatura medie dintr-un cuptor, citită din oră în oră

ochiul sitei din mijloc, când ochiurile a cinci site cresc de fiecare dată cu același factor

nota finală, când testele au ponderi diferite

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Media aritmetică, geometrică, armonică

Cum calculez viteza medie pe trasee egale?

Împarți lungimea întregului drum la durata lui totală; rezultatul este media armonică a vitezelor, nu cea aritmetică. Exemplu: două tronsoane de câte $90$ km, cu $60$ km/h și $90$ km/h, durează $1, 5 + 1 = 2, 5$ h, deci viteza medie este $\frac{180}{2 , 5} = 72$ km/h, nu $75$ . Proba: $72 \cdot 2, 5 = 180$ km.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Pentru două numere pozitive $a$ și $b$ există trei medii: cea aritmetică $\frac{a + b}{2}$ , cea geometrică $ab$ și cea armonică $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ . Ele coincid numai dacă $a = b$ ; altfel armonica este cea mai mică, aritmetica cea mai mare, iar geometrica stă între ele.

Alegerea depinde de ce rămâne la fel de la o parte la alta. Când mărimea se adună pe părți egale, folosești media aritmetică. Când un raport, ca viteza sau prețul pe litru, se calculează pe distanțe egale sau cu aceeași sumă cheltuită, folosești media armonică, adică totalul împărțit la total. Când valorile cresc mereu cu același factor, termenul din mijloc este media geometrică.

În practică scrii mărimea și părțile ei cu unități, hotărăști ce rămâne egal, alegi media, calculezi păstrând zecimalele și rotunjești abia la sfârșit. Controlul se face cu egalitatea $m_{g}^{2} = m_{a} \cdot m_{h}$ și cu ordinea celor trei valori.

Capcana obișnuită este media aritmetică luată din reflex. Pe trasee egale ea face drumul să pară mai scurt decât este, iar la sume egale face prețul mediu să pară prea mare. Media geometrică și cea armonică se definesc numai pentru numere pozitive.

De reținut

$m_{a} = \frac{a + b}{2}$ și $m_{g} = ab$ ; media armonică este dublul produsului împărțit la sumă
pe trasee egale se împarte distanța totală la timpul total
$m_{g}^{2} = m_{a} \cdot m_{h}$

Greșeala tipică

Se face media aritmetică a vitezelor pe trasee egale, deci $60$ și $90$ km/h ar da $75$ km/h. Corect, se împarte distanța totală la timpul total, iar rezultatul este $72$ km/h.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre situațiile de mai jos se rezolvă cu media armonică?
- a) temperatura medie dintr-un cuptor, citită din oră în oră
- b) viteza medie a unui tractor care ară două parcele de aceeași suprafață, cu viteze diferite
- c) ochiul sitei din mijloc, când ochiurile a cinci site cresc de fiecare dată cu același factor
- d) nota finală, când testele au ponderi diferite
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) viteza medie a unui tractor care ară două parcele de aceeași suprafață, cu viteze diferite

Pe parcele de aceeași suprafață rămâne egală distanța, iar viteza medie este distanța totală împărțită la timpul total, adică media armonică. Temperaturile din oră în oră se mediază aritmetic, ochiurile care cresc cu același factor cer media geometrică, iar testele cu ponderi diferite cer media ponderată.
Un electrician trage un cablu pe două tronsoane de aceeași lungime, de câte $84$ m. Pe primul avansează cu $30$ m/min, pe al doilea cu $70$ m/min. Care este viteza medie de avans pe tot cablul?
- a) $50$ m/min
- b) $21$ m/min
- c) $42$ m/min
- d) $45, 8$ m/min
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $42$ m/min

Tronsoanele durează $\frac{84}{30} = 2, 8$ min și $\frac{84}{70} = 1, 2$ min, în total $4$ min, deci viteza medie este $\frac{168}{4} = 42$ m/min. Varianta $50$ este media aritmetică. Varianta $21$ uită factorul $2$ de la numărătorul mediei armonice. Varianta $45, 8$ este media geometrică $30 \cdot 70$ , care nu se potrivește la viteze pe trasee egale.
Media geometrică a două numere pozitive este $24$ , iar unul dintre numere este de $4$ ori mai mare decât celălalt. Care sunt cele două numere?
- a) $12$ și $48$
- b) $9, 6$ și $38, 4$
- c) $6$ și $24$
- d) $144$ și $576$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $12$ și $48$

Notezi numerele cu $x$ și $4 x$ . Din $x \cdot 4 x = 24$ rezultă $4 x^{2} = 576$ , deci $x^{2} = 144$ și $x = 12$ , iar numerele sunt $12$ și $48$ . Perechea $9, 6$ și $38, 4$ are media aritmetică $24$ , nu pe cea geometrică. Perechea $6$ și $24$ tratează pe $24$ drept unul dintre numere. Perechea $144$ și $576$ se oprește la $x^{2} = 144$ fără rădăcina pătrată.

Întrebări conexe

Cum aflu prețul mediu când cheltui aceeași sumă?

Împarți totalul cheltuit la totalul cantităților, ceea ce este media armonică a prețurilor. Două alimentări cu câte $400$ lei, la $8$ și la $10$ lei/L, dau $50$ L și $40$ L; cele $800$ lei pe $90$ L înseamnă $8, 89$ lei/L, sub media aritmetică, $9$ lei/L.

Când sunt egale cele trei medii?

Numai când cele două numere sunt egale. Pentru $a = b = 15$ , media aritmetică este $\frac{15 + 15}{2} = 15$ , cea geometrică $15 \cdot 15 = 15$ , iar cea armonică $\frac{2 \cdot 15 \cdot 15}{30} = 15$ . Dacă numerele diferă, chiar și puțin, armonica rămâne cea mai mică, iar aritmetica cea mai mare.

De ce iese media armonică mai mică decât cea aritmetică?

Valoarea mică ține mai mult timp, deci trage media în jos. Pentru $20$ și $80$ media aritmetică este $50$ , iar cea armonică $\frac{2 \cdot 20 \cdot 80}{100} = 32$ . Cele două medii respectă $50 \cdot 32 = 1600 = 20 \cdot 80$ , iar ordinea $32 < 50$ se vede mereu, afară de cazul $a = b$ .

Cum verific mediile a două numere pozitive?

Verifici că pătratul mediei geometrice este produsul mediei aritmetice cu cea armonică și că ele stau în ordinea armonică, geometrică, aritmetică. Pentru $2$ și $18$ : $m_{a} = 10$ , $m_{g} = 6$ , $m_{h} = 3, 6$ ; $10 \cdot 3, 6 = 36 = 6^{2}$ și $3, 6 < 6 < 10$ .

Cum aflu al doilea număr când cunosc media armonică?

Din definiția mediei armonice, dublul produsului împărțit la sumă, îl scoți pe $b$ când cunoști pe $a$ și media. Pentru $a = 5$ și media armonică $7, 5$ obții $\frac{7 , 5 \cdot 5}{10 - 7 , 5} = 15$ . Proba: $\frac{2 \cdot 5 \cdot 15}{5 + 15} = 7, 5$ , deci cele două numere sunt $5$ și $15$ .

Merg mediile geometrică și armonică cu numere negative?

Nu, ele se definesc numai pentru numere pozitive. Pentru $- 4$ și $9$ produsul este $- 36$ , iar rădăcina pătrată reală a unui număr negativ nu există. Pentru $- 4$ și $4$ suma este $0$ , deci media armonică ar cere o împărțire la zero. Media aritmetică merge cu orice numere reale.

Oamenii mai întreabă și: viteza medie pe porțiuni de aceeași lungime · media armonică a vitezelor · de ce nu fac media aritmetică la viteze · viteza medie a unui furgon pe trei porțiuni