Media geometrică și armonică pentru tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Furgonul unei firme de instalații electrice merge cu viteze diferite pe porțiuni de aceeași lungime, iar viteza lui medie nu iese din media aritmetică a vitezelor, ci din alta. La clasa a X-a de la tehnologic alegi între media aritmetică, cea geometrică și cea armonică după ce rămâne egal între părți. Media geometrică a apărut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) doar în proba de rezervă din august 2015, iar media armonică în nicio probă din 2013–2026, dar ambele sunt în programa de examen.

Situația de pornire

O firmă de instalații electrice are un furgon cu motor diesel care merge des la același client, pe un traseu de 72 km cu trei porțiuni de câte 24 km: oraș, drum național și autostradă. Din fișele de rulare ale ultimelor deplasări, șeful echipei de intervenție are pentru fiecare porțiune viteza medie la rulare și consumul de motorină, citite pe calculatorul de bord. Mâine echipa pleacă din nou, iar el vrea să anunțe clientul ora de sosire și să planifice alimentarea, deci are nevoie de trei lucruri: cât durează traseul, cât consumă vehiculul la 100 km și câți kilometri face cu un litru.

Porțiunea	Lungime (km)	Viteza medie (km/h)	Consum (L/100 km)
oraș	24	36	9,6
drum național	24	48	7,2
autostradă	24	72	8,4

Întrebare: care sunt viteza medie pe tot traseul, consumul mediu la 100 km și numărul de kilometri făcuți cu un litru, și ce medie folosești pentru fiecare?

De la situație la model

Fiecare mărime din fișă se repetă pe trei porțiuni, iar tema lecției este cum o rezumi printr-un singur număr. Tabelul traduce cuvintele din fișă în cuvinte din matematică.

În situație	În matematică
cele trei porțiuni, de lungimi egale	trei părți egale ale distanței, câte 24 km
viteza medie pe tot traseul	distanța totală împărțită la timpul total, adică media armonică a vitezelor
consumul pe porțiune, în L/100 km	o mărime care se adună pe distanțe egale, deci se mediază aritmetic
kilometri pe litru	inversul consumului, deci se mediază armonic
„aceeași schimbare de la o treaptă la următoarea”	progresie geometrică, iar valoarea din mijloc este media geometrică

Media aritmetică a numerelor pozitive $a$ și $b$ este $m_{a} = \frac{a + b}{2}$ . Media geometrică este $m_{g} = ab$ , iar media armonică este $m_{h} = \frac{2 ab}{a + b}$ , adică inversul mediei aritmetice a inverselor $\frac{1}{a}$ și $\frac{1}{b}$ . Ele sunt egale numai când $a = b$ ; altfel $m_{h} < m_{g} < m_{a}$ . Dacă părțile nu sunt egale, intră în joc ponderile, ca în media ponderată.

De ce trage orașul viteza medie în jos?

Furgonul face câte 24 km pe fiecare porțiune, dar nu stă la fel de mult pe ele: în oraș merge 40 de minute, iar pe autostradă doar 20. Media aritmetică a celor trei viteze le-ar socoti pe fiecare o singură dată, ca și cum furgonul ar fi mers câte o jumătate de oră cu fiecare. Viteza din oraș ține însă de două ori mai mult decât cea de pe autostradă, așa că viteza medie iese sub media aritmetică și se calculează cu inversele vitezelor, adică armonic.

Cum găsești media armonică fără să ții minte formula?

Calculezi timpul fiecărei porțiuni, $t = \frac{d}{v}$ , aduni timpii și împarți distanța totală la timpul total. Pentru două viteze $a$ și $b$ pe distanțe egale $d$ , timpul total este $\frac{d}{a} + \frac{d}{b}$ , iar viteza medie este $\frac{2 d}{\frac{d}{a} + \frac{d}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}$ . Aceeași idee merge la orice raport „mărime pe unitate” calculat pe cantități egale: kilometri pe litru, lei pe litru, metri pe minut.

Când folosești media geometrică?

Când valorile se succed cu același factor. Ochiurile sitelor dintr-o coloană de laborator sunt, de pildă, în progresie geometrică: fiecare se obține din cea dinainte înmulțind cu aceeași rație. Atunci valoarea din mijloc este $ab$ , iar calculul cu radicali îl faci ca în lecția despre radicali.

Metoda pas cu pas

Scrie ce mărime mediezi și părțile ei, cu unitate: viteze, consumuri, prețuri, ochiuri de sită. Notează câte părți sunt și dacă sunt numere pozitive, fiindcă mediile geometrică și armonică nu se definesc pentru numere negative.
Întreabă-te ce rămâne egal între părți: distanța, durata, suma cheltuită sau factorul de schimbare. De răspuns depinde media.
Alege media după tabelul de mai jos. De pildă, pe porțiuni de aceeași lungime rămâne egală distanța, la două alimentări cu aceeași sumă rămâne egală suma, iar la două trepte cu același raport rămâne egal factorul.
Calculează cu formula sau, la armonică, cu totalul împărțit la total: distanța totală la timpul total, suma totală la cantitatea totală, fiecare pe un rând separat.
Păstrează toate zecimalele până la ultimul pas, apoi rotunjește la precizia cerută și scrie unitatea. O medie armonică sau geometrică rotunjită prea devreme își pierde proprietatea de a verifica $m_{g}^{2} = m_{a} \cdot m_{h}$ .
Verifică pe alt drum: la armonică și aritmetică, recalculează prin total pe total; la două numere, verifică $m_{g}^{2} = m_{a} \cdot m_{h}$ și ordinea $m_{h} < m_{g} < m_{a}$ .

Dacă…	atunci…
mărimea se adună pe părți egale (consum în L/100 km pe porțiuni de aceeași lungime, temperatură măsurată din oră în oră)	media aritmetică
un raport „mărime pe unitate” se calculează pe porțiuni de aceeași distanță sau cu aceeași sumă cheltuită (viteze, km/L, lei/L)	media armonică
valorile se succed cu același factor (ochiuri de sită, trepte de turație, etape de aceeași creștere)	media geometrică
părțile nu sunt egale	media ponderată, cu ponderile cantităților

Fișa de buzunar

$m_{a} = \frac{a + b}{2}, m_{g} = ab, m_{h} = \frac{2 ab}{a + b}$

$m_{h} \leq m_{g} \leq m_{a}, m_{g}^{2} = m_{a} \cdot m_{h}$

Cele trei medii sunt valabile numai pentru $a > 0$ și $b > 0$ , iar egalitatea din a doua linie, $m_{h} = m_{g} = m_{a}$ , apare numai la $a = b$ . Pentru trei viteze pe porțiuni egale, $m_{h} = \frac{3}{\frac{1}{v _{1}} + \frac{1}{v _{2}} + \frac{1}{v _{3}}}$ . Numitorul $a + b$ nu se anulează, fiindcă numerele sunt pozitive. Verificare rapidă: la două numere, produsul $m_{a} \cdot m_{h}$ trebuie să dea $ab$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Furgonul pe traseul de 72 km

Domeniu: auto.

Enunț. Reia fișa din situația de pornire: trei porțiuni de câte 24 km, cu vitezele 36, 48 și 72 km/h și consumurile 9,6, 7,2 și 8,4 L/100 km. Află durata traseului, viteza medie pe tot traseul, consumul mediu la 100 km și numărul de kilometri făcuți cu un litru.

Rezolvare. Pe fiecare porțiune, timpul este distanța împărțită la viteză: $\frac{24}{36} + \frac{24}{48} + \frac{24}{72} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1, 5$ ore, adică 90 de minute. Porțiunea de oraș ține 40 de minute din cele 90, iar autostrada doar 20. Viteza medie este $\frac{72}{1 , 5} = 48$ km/h, adică media armonică a celor trei viteze. Consumul se adună pe distanțe egale, deci se mediază aritmetic: $\frac{9 , 6 + 7 , 2 + 8 , 4}{3} = \frac{25 , 2}{3} = 8, 4$ L/100 km. Kilometrii pe litru sunt inversul consumului, deci se mediază armonic: $\frac{3}{\frac{1}{10 , 417} + \frac{1}{13 , 889} + \frac{1}{11 , 905}} \approx 11, 905$ km/L, adică $\frac{100}{8 , 4} \approx 11, 905$ .

Capcană. Media aritmetică a vitezelor este $\frac{36 + 48 + 72}{3} = 52$ km/h. Cu ea, traseul ar dura $\frac{72}{52} \approx 1, 385$ ore, adică 83 de minute, față de cele 90 reale. Șeful de echipă ar anunța sosirea cu 7 minute prea devreme, iar clientul, care deschide hala special pentru echipă, ar aștepta degeaba.

Verificare. Pe alt drum, consumul total este $24 \cdot \frac{9 , 6 + 7 , 2 + 8 , 4}{100} = 6, 048$ L, iar $\frac{72}{6 , 048} \approx 11, 905$ km/L și $\frac{100 \cdot 6 , 048}{72} = 8, 4$ L/100 km, aceleași valori. Viteza medie 48 km/h stă între 36 și 72 și sub media aritmetică, 52.

Exemplul 2 — Sita din mijloc a unei coloane de laborator

Domeniu: constructii.

Enunț. Laboratorul unei stații de betoane verifică granulometria agregatelor cu o coloană de cinci site, cu ochiurile în progresie geometrică, de la 2,8 mm la 11,2 mm. Cuvintele „în progresie geometrică” înseamnă că fiecare ochi se obține din cel dinainte prin înmulțire cu același număr. Sita din mijloc, a treia, s-a rupt. Ce ochi trebuie să aibă sita nouă?

Rezolvare. Într-o progresie geometrică, termenul din mijloc este media geometrică a extremelor: $d_{3} = 2, 8 \cdot 11, 2 = 31, 36 = 5, 6$ mm, fiindcă $5, 6^{2} = 31, 36$ . Sita a doua este tot media geometrică, între 2,8 și 5,6 mm: $2, 8 \cdot 5, 6 = 15, 68 \approx 3, 96$ mm, adică sita de 4 mm din catalog. Raportul dintre două site vecine este $2$ , iar de la prima la a treia sită este $\frac{5 , 6}{2 , 8} = 2$ .

Capcană. Media aritmetică, $\frac{2 , 8 + 11 , 2}{2} = 7$ mm, pare firească, dar strică progresia: $\frac{7}{2 , 8} = 2, 5$ , iar $\frac{11 , 2}{7} = 1, 6$ . Cele două salturi nu mai sunt egale, deci ochiurile nu mai cresc cu același factor.

Verificare. Ambele salturi, de la prima la a treia sită și de la a treia la a cincea, sunt egale: $\frac{5 , 6}{2 , 8} = \frac{11 , 2}{5 , 6} = 2$ . Pe alt drum, $5, 6^{2} = 2, 8 \cdot 11, 2$ . Cu raportul $2$ între site, cele cinci ochiuri sunt aproximativ 2,8, 3,96, 5,6, 7,92 și 11,2 mm, adică sitele de 2,8, 4, 5,6, 8 și 11,2 mm din cataloagele de site, seria cu rația $2$ .

Exemplul 3 — Prețul mediu al motorinei cumpărate cu aceeași sumă

Domeniu: economic.

Enunț. O firmă de instalații electrice are trei furgoane, fiecare cu un card de combustibil cu limita lunară de 1 800 de lei. Luna trecută, fiecare și-a folosit toată limita, dar a alimentat pe traseul lui: primul la stația cu care firma are contract, cu 7,20 lei/L, al doilea la o stație din oraș, cu 7,50 lei/L, iar al treilea la o stație de pe autostradă, cu 9,00 lei/L. Care este prețul mediu plătit pe litru, rotunjit la bani, și cu cât ar greși contabila dacă ar face media aritmetică a celor trei prețuri?

Rezolvare. Suma fiind aceeași pe fiecare card, litrii cumpărați diferă de la un furgon la altul. Cu 1 800 de lei se cumpără câte $\frac{1800}{7 , 20} = 250$ L, $\frac{1800}{7 , 50} = 240$ L și $\frac{1800}{9 , 00} = 200$ L. În total, firma a plătit $3 \cdot 1800 = 5400$ lei pentru $250 + 240 + 200 = 690$ L, deci prețul mediu este $\frac{5400}{690} \approx 7, 83$ lei/L. Același rezultat dă media armonică, $\frac{3}{\frac{1}{7 , 2} + \frac{1}{7 , 5} + \frac{1}{9}} = \frac{180}{23} \approx 7, 83$ . Prețul mediu iese mai aproape de prețul mic, fiindcă la el s-au cumpărat mai mulți litri.

Capcană. Media aritmetică este $\frac{7 , 20 + 7 , 50 + 9 , 00}{3} = 7, 90$ lei/L. Pentru 690 L ar da $690 \cdot 7, 90 = 5451$ lei, adică 51 de lei peste suma plătită de fapt. Suma egală face ca litrii să fie mai mulți la prețul mic, de aceea media reală e mai mică.

Verificare. Din prețul mediu rotunjit, $690 \cdot 7, 83 = 5402, 70$ lei, aproape de 5 400; diferența de 2,70 lei vine din rotunjire. Prețul mediu stă între 7,20 și 9,00, mai aproape de prețul mic, pentru că acolo s-au cumpărat cei mai mulți litri.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: media geometrică a două numere

Domeniu: lemn.

Enunț. O cerință-tip din Subiectul I, cu numere proprii, sună așa: „Arătați că media geometrică a numerelor $a = 18$ și $b = 98$ este egală cu 42.” Numerele pot fi, de pildă, lungimile în centimetri a două șipci dintr-un atelier de tâmplărie.

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare, în trei rânduri: formula, înlocuirea, rădăcina. Aplici formula: $m_{g} = 18 \cdot 98 = 1764$ . Cum $4 2^{2} = 1764$ , rezultă $m_{g} = 42$ . Dacă nu recunoști pătratul, scoți factorii de sub radical: $18 = 9 \cdot 2$ și $98 = 49 \cdot 2$ , deci $18 \cdot 98 = 9 \cdot 49 \cdot 4 = 3 \cdot 7 \cdot 2 = 42$ .

Capcană. Cine face media aritmetică obține $\frac{18 + 98}{2} = 58$ , nu 42. Media geometrică nu adună numerele, ci le înmulțește și scoate rădăcina pătrată din produs.

Verificare. $m_{g}^{2} = 1764 = 18 \cdot 98$ . În plus, $42$ stă între $18$ și $98$ și sub media aritmetică, 58, cum cere ordinea $m_{g} < m_{a}$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru fiecare pereche, calculează media aritmetică, media geometrică și media armonică și verifică $m_{g}^{2} = m_{a} \cdot m_{h}$ : a) 52 și 117; b) 45 și 80.

2. Află numărul pozitiv $x$ pentru care: a) media geometrică a numerelor 12 și $x$ este 30; b) media armonică a numerelor 6 și $x$ este 8.

3. Calculează media geometrică a numerelor $23$ și $83$ , scrisă în forma cea mai simplă.

4. Spune ce medie folosești și de ce: a) viteza medie a unei autoutilitare care face două porțiuni de aceeași lungime cu viteze diferite; b) consumul mediu, în L/100 km, pe două porțiuni de aceeași lungime; c) turația de mijloc dintr-o serie în progresie geometrică.

Nivelul 2 — situații

5. Un atomizor lucrează câte 3 ore în fiecare dintre două livezi: în livada tânără, cu pomi mici, tratează 2,7 ha pe oră, iar în livada bătrână, cu coroane mari, 1,5 ha pe oră. Ce suprafață tratează în total, care este ritmul mediu de lucru și ce medie a celor două ritmuri dă același rezultat?

6. Aluatul de la o brutărie crește în două ore, în fiecare oră cu același factor, de la 1,2 L la 4,8 L. Ce volum are după prima oră?

7. Un magazin de bricolaj cumpără vopsea lavabilă de la distribuitor de două ori pe an, de fiecare dată cu 5 400 de lei: primăvara la 30 lei/L, iar toamna, după o scumpire, la 36 lei/L. Calculează prețul mediu de achiziție pe litru, rotunjit la bani, și arată că nu este media aritmetică a celor două prețuri.

8. Într-un atelier de tâmplărie, un fierăstrău de spintecat taie pe lungime trei scânduri de câte 6 m, din esențe diferite, cu vitezele de avans 2,4, 3 și 4 m/min. Calculează timpul total de tăiere și viteza medie de avans pe cei 18 m.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că media geometrică a numerelor $a = 32$ și $b = 50$ este egală cu 40.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că media geometrică a numerelor $a = 55$ și $b = 95$ este egală cu 15.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că numerele $a = 27$ și $b = 75$ au media geometrică egală cu media aritmetică a numerelor 17 și 73.

12. (Sinteză.) Arătați că, pentru orice numere pozitive $a$ și $b$ , produsul dintre media aritmetică și media armonică este pătratul mediei geometrice.

Răspunsuri și verificări

1. a) $m_{a} = 84, 5$ , $m_{g} = 52 \cdot 117 = 6084 = 78$ , $m_{h} = \frac{2 \cdot 52 \cdot 117}{169} = 72$ . b) $m_{a} = 62, 5$ , $m_{g} = 3600 = 60$ , $m_{h} = \frac{2 \cdot 3600}{125} = 57, 6$ . Verificare: $84, 5 \cdot 72 = 6084 = 7 8^{2}$ și $62, 5 \cdot 57, 6 = 3600 = 6 0^{2}$ .

2. a) $12 x = 30$ dă $12 x = 900$ , deci $x = 75$ . b) $\frac{12 x}{6 + x} = 8$ dă $12 x = 48 + 8 x$ , deci $x = 12$ . Verificare: $12 \cdot 75 = 30$ și $\frac{2 \cdot 6 \cdot 12}{18} = 8$ .

3. $23 \cdot 83 = 16 \cdot 3 = 48$ , apoi $48 = 43$ . Verificare: $(43)^{2} = 48 = 23 \cdot 83$ .

4. a) Media armonică: distanțele sunt egale, iar viteza este un raport. b) Media aritmetică: consumul în L/100 km se adună pe distanțe egale. c) Media geometrică: valorile cresc cu același factor. Verificare: fiecare alegere urmează tabelul din Metodă, după ce rămâne egal.

5. În livada tânără tratează $3 \cdot 2, 7 = 8, 1$ ha, iar în cea bătrână $3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ ha, deci 12,6 ha în 6 ore: ritmul mediu este $\frac{12 , 6}{6} = 2, 1$ ha/h. Timpii sunt egali, deci rezultatul este chiar media aritmetică, $\frac{2 , 7 + 1 , 5}{2} = 2, 1$ ha/h. Verificare: media armonică ar da $\frac{2 \cdot 2 , 7 \cdot 1 , 5}{4 , 2} \approx 1, 93$ ha/h, adică doar 11,57 ha în 6 ore, mai puțin decât s-a tratat.

6. Volumul după prima oră este media geometrică $1, 2 \cdot 4, 8 = 5, 76 = 2, 4$ L. Verificare: factorul este 2 în ambele ore, $2, 4 : 1, 2 = 4, 8 : 2, 4 = 2$ .

7. Primăvara magazinul cumpără $\frac{5400}{30} = 180$ L, iar toamna $\frac{5400}{36} = 150$ L, deci 330 L pentru 10 800 de lei: prețul mediu este $\frac{10 800}{330} \approx 32, 73$ lei/L, nu media aritmetică, 33 de lei/L. Verificare: media armonică a prețurilor, $\frac{2 \cdot 30 \cdot 36}{66} = \frac{360}{11} \approx 32, 73$ lei/L.

8. Fiecare scândură are 6 m, deci timpul este $\frac{6}{2 , 4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{4} = 2, 5 + 2 + 1, 5 = 6$ minute, iar viteza medie este $\frac{18}{6} = 3$ m/min. Verificare: formula armonică dă $\frac{3}{\frac{1}{2 , 4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1} = 3$ m/min, sub media aritmetică, aproximativ $3, 13$ .

9. Aplici formula: $m_{g} = 32 \cdot 50$ . Produsul este $1600$ , iar $4 0^{2} = 1600$ , deci $m_{g} = 40$ . Egalitatea cerută e adevărată. Verificare: $32 < 40 < 50$ și $\frac{32 + 50}{2} = 41 > 40$ .

10. Aplici formula: $m_{g} = 55 \cdot 95$ . Produsul este $45 \cdot 5 = 225$ , deci $m_{g} = 225 = 15$ . Egalitatea cerută e adevărată. Verificare: $55 \approx 11, 18$ , $95 \approx 20, 12$ și $11, 18 < 15 < 20, 12$ .

11. Aplici formula: $m_{g} = 27 \cdot 75$ . Produsul este $2025$ , iar $4 5^{2} = 2025$ , deci $m_{g} = 45$ . Media aritmetică a numerelor 17 și 73 este $\frac{17 + 73}{2} = 45$ , deci egalitatea cerută e adevărată. Verificare: $27 = 9 \cdot 3$ și $75 = 25 \cdot 3$ , deci $27 \cdot 75 = 3 \cdot 5 \cdot 3 = 45$ .

12. Scrii produsul: $m_{a} \cdot m_{h} = \frac{a + b}{2} \cdot \frac{2 ab}{a + b}$ . Simplifici $a + b$ de la numărător cu cel de la numitor, apoi $2$ cu $2$ , și rămâne $ab$ . Cum $m_{g}^{2} = (ab)^{2} = ab$ , produsul este pătratul mediei geometrice. Verificare: pentru $a = 6$ și $b = 24$ , $15 \cdot 9, 6 = 144 = 1 2^{2}$ .

Așa vine la Bac M3

Media geometrică a fost cerută doar în proba din august 2015 (sesiunea de rezervă), iar media armonică n-a fost cerută în nicio probă din 2013–2026. Indexul celor 83 de probe păstrează două cerințe despre medii, ambele prima cerință din Subiectul I: o medie aritmetică, în modelul din 2015, și media geometrică de mai jos.

August 2015, rezervă, Subiectul I, exercițiul 1: se cere să arăți că media geometrică a numerelor 16 și 9 este egală cu 12; baremul acordă 3 puncte pentru $m_{g} = 16 \cdot 9$ și 2 puncte pentru $4 \cdot 3 = 12$ . Aplici pasul 4 din Metodă, pe formula $ab$ .

Numerele din cerința oficială au produsul 144, un pătrat perfect, de aceea rezultatul iese întreg și rădăcina se scoate direct. Enunțul nu îți dă formula, deci o scrii tu din fișa de buzunar. Pe foaia de examen scrii formula, înlocuiești numerele, scoți rădăcina și compari rezultatul cu cel cerut, pe un rând separat, ca să se vadă fiecare pas al calculului. Dacă produsul nu e pătrat perfect la prima vedere, descompui factorii și scoți de sub radical, ca la exemplul 4. Exercițiile 9–11 repetă acest format: cu numere întregi, cu radicali și, la exercițiul 11, alături de o medie aritmetică, cerută în modelul din 2015. Cum media armonică n-a apărut în probe, exercițiul 12 și restul lecției o exersează fără o cerință-model. Alte lecții ale clasei găsești în lista lecțiilor din clasa a X-a de la tehnologic, dacă vrei să mergi mai departe.

Greșeli care costă puncte

Citești 1,5 ore ca 1 h 50 min, adică 1,83 ore → viteza medie iese $\frac{72}{1 , 83} \approx 39, 3$ km/h în loc de 48; cum o prinzi: 0,5 ore înseamnă 30 de minute, nu 50, deci 1,5 ore sunt 90 de minute.
Faci media aritmetică a prețurilor la sume egale: 7,90 lei/L în loc de 7,83 → suma pare cu 51 de lei prea mare; cum o prinzi: împarți banii cheltuiți la litrii cumpărați, 5 400 la 690.
Iei mijlocul aritmetic între două site din serie: 7 mm în loc de 5,6 mm → salturile devin 2,5 și 1,6, nu egale; cum o prinzi: verifici că sita din mijloc are același raport față de cea mică și față de cea mare.
Aplici media armonică la consumul în L/100 km pe porțiuni egale → obții 8,28 în loc de 8,4 L/100 km; cum o prinzi: L/100 km se adună pe distanțe egale, iar rezultatul trebuie să dea 6,048 L pe 72 km.
Uiți rădăcina pătrată și scrii produsul $18 \cdot 98 = 1764$ drept medie → obții un număr mult peste ambele, nu 42; cum o prinzi: media stă între cele două numere, deci între 18 și 98.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calcularea mediei geometrice și a celei armonice face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la unele profiluri (MAT_P3 și MAT_P6).

Întrebări frecvente

Ce viteză medie ar ieși dacă porțiunile ar fi de 24, 30 și 18 km, cu aceleași viteze? Porțiunile nu mai sunt egale, deci nu mai merge media armonică simplă, ci distanța totală împărțită la timpul total. Timpii sunt $\frac{24}{36}$ , $\frac{30}{48}$ și $\frac{18}{72}$ ore, adică aproximativ $1, 542$ ore, iar viteza medie este $\frac{72}{1 , 542} \approx 46, 7$ km/h, mai mică decât cei 48 km/h de la porțiuni egale.

Cum se schimbă prețul mediu dacă al doilea furgon are limita de 3 600 de lei, nu de 1 800? Litrii sunt 250, 480 și 200, în total 930 L, iar firma a plătit $1800 + 3600 + 1800 = 7200$ lei, deci suma nu mai e aceeași pe toate cardurile. Prețul mediu este $\frac{7200}{930} \approx 7, 74$ lei/L, mai mic decât 7,83, pentru că la stația cu 7,50 lei/L s-au cheltuit mai mulți bani.

De ce nu poți face media aritmetică a celor trei valori în kilometri pe litru? Consumul și kilometrii pe litru descriu aceeași mărime în două feluri. Media aritmetică a celor trei valori, 10,417, 13,889 și 11,905, este $12, 07$ km/L, deci $\frac{100}{12 , 07} \approx 8, 285$ L/100 km, dar traseul consumă 8,4. Media armonică a kilometrilor pe litru dă valoarea corectă.

Ce viteză medie ar ieși dacă pe autostradă furgonul ar merge cu 90 km/h, nu cu 72? Timpii devin $\frac{24}{36} + \frac{24}{48} + \frac{24}{90} = \frac{43}{30}$ ore, adică 86 de minute, iar viteza medie este $\frac{72}{43/30} = \frac{2160}{43} \approx 50, 2$ km/h. Viteza de pe autostradă a crescut cu un sfert, dar traseul se scurtează doar cu 4 minute, fiindcă porțiunile lente rămân la fel.

Cum arată cerința cu media geometrică la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Proba de rezervă din august 2015 a pus la prima cerință a Subiectului I media geometrică a două numere întregi. Trebuia arătat că ea este un număr dat, iar rezolvarea a fost formula $ab$ urmată de un produs care este pătrat perfect.

Ce viteză ar trebui să aibă furgonul pe autostradă ca să facă tot traseul în 80 de minute? Pe cele două porțiuni lente furgonul petrece $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$ ore, adică 70 de minute, deci pe autostradă ar rămâne 10 minute, adică $\frac{1}{6}$ ore. Ar trebui $\frac{24}{1/6} = 144$ km/h, o viteză nerealistă pentru un furgon: timpul nu se poate câștiga doar pe porțiunea rapidă.