Lecția pe scurt · clasa a X-a · Media ponderată

Cum calculez costul mediu al mai multor livrări?

Înmulțești fiecare preț cu cantitatea lui, aduni produsele și împarți la cantitatea totală. Pentru 50 de saci la 22 de lei și 150 de saci la 26 de lei: $\frac{50 \cdot 22 + 150 \cdot 26}{50 + 150} = \frac{5000}{200} = 25$ lei pe sac. Media simplă, 24 de lei, ar subestima costul, fiindcă livrarea mai scumpă este și cea mai mare.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Media ponderată se folosește când valorile nu au aceeași importanță: prețuri la cantități diferite, note cu număr diferit de ore, ture cu durate diferite. Fiecare valoare $x_{i}$ primește o pondere $p_{i}$ pozitivă, iar media este suma produselor $p_{i} x_{i}$ , împărțită la suma ponderilor $p_{i}$ . Cu cât ponderea e mai mare, cu atât media se apropie mai mult de valoarea ei.

Pașii sunt simpli. Scrii valorile și ponderile în aceeași unitate, calculezi câte un produs pentru fiecare pereche și aduni produsele. Aduni apoi ponderile și împarți suma produselor la suma ponderilor. Rotunjești doar rezultatul final și scrii unitatea. Dacă ponderile se împart toate la același număr pozitiv, media rămâne aceeași.

Greșeala frecventă este să împarți la numărul valorilor, nu la suma ponderilor, sau să faci media simplă a prețurilor. O altă greșeală este să actualizezi un cost mediu ca pe media dintre costul vechi și prețul nou. Controlul este rapid: media nu iese din intervalul valorilor date, iar produsul ei cu suma ponderilor dă suma produselor.

Când media este cunoscută și o cantitate lipsește, scrii o ecuație pe costul total. Pentru un amestec de două valori $a < b$ , partea valorii mari este $t = \frac{m - a}{b - a}$ .

De reținut

$m = \frac{\sum p _{i} x _{i}}{\sum p _{i}}$
numitorul este suma ponderilor, nu numărul valorilor
media nu depășește maximul și nu coboară sub minimul valorilor

Greșeala tipică

Se împarte suma produselor la numărul valorilor, nu la suma ponderilor: pentru valorile 10 și 20, cu ponderile 1 și 3, se obține 35, nu $\frac{10 + 60}{1 + 3} = 17, 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un restaurant a vândut într-o zi 30 de porții de ciorbă la 18 lei, 20 de porții de friptură la 33 de lei și 10 porții de desert la 45 de lei. Care este prețul mediu al unei porții vândute?
- a) 32 lei
- b) 24 lei
- c) 27,50 lei
- d) 550 lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 27,50 lei

Încasarea este $30 \cdot 18 + 20 \cdot 33 + 10 \cdot 45 = 1650$ lei, la $30 + 20 + 10 = 60$ de porții, deci prețul mediu este $\frac{1650}{60} = 27, 50$ lei. Varianta 32 lei este media simplă a celor trei prețuri. Varianta 24 lei lasă deoparte desertul. Varianta 550 lei împarte încasarea la 3, numărul prețurilor, nu la numărul porțiilor.
Un salon amestecă 12 litri de șampon de 48 de lei litrul cu 8 litri de șampon de 63 de lei litrul. Cât costă un litru din amestec?
- a) 55,5 lei
- b) 54 lei
- c) 57 lei
- d) 1 080 lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 54 lei

Costul total este $12 \cdot 48 + 8 \cdot 63 = 576 + 504 = 1080$ lei, pentru 20 de litri, deci $\frac{1080}{20} = 54$ lei litrul. Varianta 55,5 lei este media simplă a celor două prețuri. Varianta 57 lei schimbă cantitățile între ele. Varianta 1 080 lei este costul total, nedivizat la cantitate.
Un curier a condus 45 de minute cu 48 km/h, apoi o oră și jumătate cu 60 km/h și, în final, 30 de minute cu 36 km/h. Care este viteza medie ponderată cu timpul?
- a) 52,36 km/h
- b) 48 km/h
- c) 43,53 km/h
- d) 144 km/h
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 52,36 km/h

Timpii în ore sunt 0,75; 1,5 și 0,5, cu suma 2,75. Distanța este $0, 75 \cdot 48 + 1, 5 \cdot 60 + 0, 5 \cdot 36 = 144$ km, deci viteza medie este $\frac{144}{2 , 75} \approx 52, 36$ km/h. Varianta 48 km/h este media simplă a vitezelor. Varianta 43,53 km/h amestecă minutele cu orele la ponderi. Varianta 144 este distanța, nu viteza.

Întrebări conexe

Ce fac dacă ponderile sunt procente?

Folosești procentele ca ponderi, cu suma 100 %. Dacă 60 % din producție este de calitatea I, vândută cu 50 de lei, iar 40 % este de calitatea a II-a, vândută cu 35 de lei, prețul mediu este $0, 6 \cdot 50 + 0, 4 \cdot 35 = 44$ lei.

Care este diferența dintre media simplă și cea ponderată?

Media simplă dă fiecărei valori aceeași importanță, iar cea ponderată ține seama de cantitate sau de importanță. Valorile 10 și 20, cu ponderile 1 și 3, au media simplă 15, dar media ponderată $\frac{10 + 60}{4} = 17, 5$ .

Când este media ponderată egală cu media simplă?

Când toate ponderile sunt egale. Pentru valorile 14, 20 și 26, cu ponderile 2, 2 și 2, avem $\frac{28 + 40 + 52}{6} = 20$ , iar media simplă este tot $\frac{14 + 20 + 26}{3} = 20$ .

Poate media ponderată să iasă din intervalul valorilor?

Nu. Ea rămâne între capetele șirului de valori, mai aproape de valoarea cu pondere mai mare. Un rezultat din afara intervalului arată o eroare la produse sau la suma ponderilor: între 14 și 20 nu poate ieși 21.

Cum calculez o notă finală cu ponderi?

Înmulțești fiecare notă cu ponderea ei și aduni produsele, fără să împarți la 3, fiindcă ponderile adună deja 100 %. Pentru lucrări 40 %, proiect 20 % și lucrarea de final 40 %, cu notele 8, 10 și 7: $0, 4 \cdot 8 + 0, 2 \cdot 10 + 0, 4 \cdot 7 = 3, 2 + 2 + 2, 8 = 8$ .

Ce unități au ponderile?

Orice mărime pozitivă care arată importanța: topuri, kilograme, ore, suprafețe sau procente. Ele trebuie să fie în aceeași unitate pentru toate valorile, de exemplu hectarele nu se amestecă cu arii. Rezultatul are unitatea valorilor, nu a ponderilor.

Oamenii mai întreabă și: cost mediu ponderat din livrări · cum aflu prețul mediu când cantitățile diferă · preț mediu pentru mai multe loturi · de ce nu împart suma prețurilor la numărul livrărilor