Media ponderată la tehnologic: note, prețuri

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un magazin cumpără aceeași marfă în mai multe livrări, în cantități și la prețuri diferite, iar prețul de raft pornește de la costul mediu al întregului stoc. Acel cost nu se obține adunând prețurile și împărțind la numărul lor, fiindcă o livrare mare contează mai mult decât una mică. Calculul cu ponderi rezolvă exact această problemă, iar în clasa a X-a de la tehnologic îl exersezi pe stocuri, note și prețuri. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) așază media ponderată lângă cea aritmetică, cea geometrică și cea armonică.

Situația de pornire

Un magazin de papetărie dintr-un oraș mic vinde hârtie pentru copiator, la topuri de 500 de coli. În primele trei luni ale anului a primit hârtia în trei livrări, de la furnizori diferiți, la prețuri diferite. Magazinul nu este plătitor de TVA, așa că prețurile de pe facturi, cu TVA inclus, sunt chiar costul lui (valori din exemplu). Patroana vrea să pună pe raft un singur preț, care să acopere costul mediu al celor trei livrări și un adaos de 35 %. Pe factura fiecărei livrări sunt trecute cantitatea și prețul unui top. Prețul de raft se rotunjește la 10 bani, iar contabilitatea ține stocul la cost mediu ponderat, recalculat la fiecare livrare nouă. Patroana a încercat un calcul scurt, adună cele trei prețuri și împarte la 3, dar nu are încredere în rezultat, pentru că livrările nu sunt egale.

Livrarea	Cantitatea (topuri)	Prețul unui top (lei)
ianuarie	180	16,40
februarie	420	15,90
martie	90	17,35

Întrebare: care este costul mediu al unui top din cele 690, ce preț de raft rezultă cu adaosul de 35 % și cât ar greși patroana dacă ar împărți suma prețurilor la 3?

De la situație la model

Fiecare livrare are două numere, cantitatea și prețul. Costul ei total este produsul lor: $180 \cdot 16, 40 = 2952$ lei pentru ianuarie, $420 \cdot 15, 90 = 6678$ lei pentru februarie și $90 \cdot 17, 35 = 1561, 50$ lei pentru martie. Cele trei livrări costă împreună $11191, 50$ lei și aduc 690 de topuri. Costul mediu al unui top este acea valoare care, înmulțită cu 690, dă tot 11 191,50 lei. În contabilitate, el se numește cost mediu ponderat.

În situație	În matematică
prețul unui top la o livrare	valoarea $x_{i}$
cantitatea livrată, în topuri	ponderea $p_{i}$ , un număr pozitiv
costul total al unei livrări	produsul $p_{i} \cdot x_{i}$
toate livrările la un loc	suma ponderilor $p_{1} + p_{2} + p_{3}$ și suma produselor $p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + p_{3} x_{3}$
costul mediu al unui top	media ponderată $m = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + p _{3} x _{3}}{p _{1} + p _{2} + p _{3}}$
livrări egale ca mărime	ponderi egale, deci media aritmetică

Media ponderată este numărul $m = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + \dots + p _{n} x _{n}}{p _{1} + p _{2} + \dots + p _{n}}$ , calculat din valorile $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ și din ponderile lor $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ , numere pozitive. Ponderea arată cât de mult contează o valoare: cu cât e mai mare, cu atât media e trasă mai aproape de ea. Oricare ar fi ponderile, media ponderată rămâne în intervalul valorilor date. Dacă toate ponderile sunt egale, ea coincide cu media aritmetică, pe care o știi din medie, mediană, mod; cantitățile care servesc drept ponderi vin adesea dintr-un tabel de frecvențe.

De ce nu merge media aritmetică a prețurilor?

Media aritmetică $(16, 40 + 15, 90 + 17, 35) : 3 = 16, 55$ lei dă fiecărei livrări aceeași importanță, ca și cum ar fi venit câte 230 de topuri. Livrarea din februarie are însă 420 din cele 690 de topuri, peste jumătate din stoc, deci prețul ei trebuie să tragă media în jos. Media ponderată iese 16,22 lei, mai aproape de 15,90 decât de 17,35.

Ce se întâmplă dacă ponderile se împart la același număr?

Dacă împarți toate ponderile la același număr pozitiv, media rămâne aceeași, fiindcă și numărătorul, și numitorul se împart la el. Cu 180, 420 și 90 împărțite la 30 obții ponderile 6, 14 și 3, mai ușor de calculat. Ponderile pot fi și procente din total, dacă sunt toate în aceeași unitate și au suma 100 %.

Cum afli o pondere necunoscută?

Când media e dată, dar ponderile nu, problema se întoarce. Pentru două valori $a < b$ și media $m$ , partea din total a valorii $b$ este $t = \frac{m - a}{b - a}$ , iar a valorii $a$ este $1 - t$ . Formula vine din ecuația $a (1 - t) + b t = m$ , care se desface în $a + t (b - a) = m$ .

Metoda pas cu pas

Scrie valorile și ponderile, câte una pentru fiecare, în aceeași unitate. Ponderile trebuie să fie pozitive. Dacă ele sunt date în unități diferite, de exemplu ari și hectare, le treci mai întâi în aceeași unitate. Ponderea e în enunț sub forma unei cantități, a unui număr de ore, a unei suprafețe sau a unui procent.
Înmulțește fiecare valoare cu ponderea ei și adună produsele; obții numărătorul. Fiecare produs are un sens în problemă, de pildă costul unei livrări, în lei, sau producția unei parcele, în kg. Scrie-le pe rânduri separate, ca să le poți verifica pe fiecare.
Adună ponderile; obții numitorul. Împarți la suma ponderilor, nu la numărul valorilor, iar aici se greșește cel mai des. Dacă ponderile sunt procente, suma lor trebuie să fie 100 %.
Împarte numărătorul la numitor, rotunjește abia la sfârșit, la precizia cerută, și scrie unitatea. Dacă enunțul cere un preț rotunjit la 10 bani, rotunjești prețul final, nu costul mediu din calcul; rotunjirile se învață în aproximări prin lipsă și adaos pe factură.
Verifică pe alt drum: media trebuie să cadă în intervalul valorilor, mai aproape de valoarea cu ponderea cea mai mare, iar produsul $m \cdot (p_{1} + \dots + p_{n})$ trebuie să dea suma produselor de la pasul 2. Dacă simplifici ponderile prin același număr, media iese aceeași. Dacă rezultatul iese în afara acestui interval, cauți greșeala în produse sau în suma ponderilor.

Programa de examen numește pe același rând și media geometrică și pe cea armonică; ele sunt în lecția de la filiera tehnologică media geometrică și media armonică.

Fișa de buzunar

$m = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + \dots + p _{n} x _{n}}{p _{1} + p _{2} + \dots + p _{n}}$

$t = \frac{m - a}{b - a}$

Prima formulă dă media ponderată. A doua dă, pentru două valori $a < b$ și media lor ponderată $m$ , partea din total a valorii $b$ . Condiții: ponderile $p_{i}$ sunt pozitive și în aceeași unitate, iar la procente suma lor este 100 %. Verificare rapidă: $m$ stă între cea mai mică și cea mai mare valoare, iar $m \cdot (p_{1} + \dots + p_{n})$ dă suma produselor.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Costul mediu al hârtiei din magazin

Domeniu: comert.

Enunț. Reia livrările din situația de pornire: 180 de topuri la 16,40 lei, 420 la 15,90 lei și 90 la 17,35 lei. Care este costul mediu al unui top, ce preț de raft rezultă cu adaosul de 35 %, rotunjit la 10 bani, și cu cât ar greși patroana dacă ar folosi media aritmetică a celor trei prețuri?

Rezolvare. Valorile sunt prețurile, iar ponderile sunt cantitățile. Produsele sunt $180 \cdot 16, 40 = 2952$ , $420 \cdot 15, 90 = 6678$ și $90 \cdot 17, 35 = 1561, 50$ lei, cu suma $11191, 50$ lei. Suma ponderilor este $180 + 420 + 90 = 690$ topuri. Costul mediu este $m = \frac{11 191 , 50}{690} \approx 16, 2196$ lei, adică 16,22 lei pe top. Adaosul de 35 % înseamnă înmulțirea cu $1, 35$ : $16, 2196 \cdot 1, 35 \approx 21, 8965$ , deci prețul de raft este 21,90 lei.

Capcană. Cine împarte suma prețurilor la 3 obține $(16, 40 + 15, 90 + 17, 35) : 3 = 16, 55$ lei și $16, 55 \cdot 1, 35 \approx 22, 3425$ , adică un preț de raft de 22,30 lei. Prețul ar fi cu 40 de bani prea mare, adică 276 de lei la cele 690 de topuri, fiindcă livrarea cea mai ieftină are și cea mai mare cantitate.

Verificare. Pe alt drum, cu ponderile împărțite la 30, adică 6, 14 și 3: $\frac{6 \cdot 16 , 40 + 14 \cdot 15 , 90 + 3 \cdot 17 , 35}{6 + 14 + 3} = \frac{373 , 05}{23} \approx 16, 2196$ , aceeași valoare. Apoi $690 \cdot 16, 2196 \approx 11191, 5$ lei, costul total al celor trei livrări. În plus, $15, 90 < 16, 22 < 17, 35$ , iar media e mai aproape de 15,90, prețul cu ponderea cea mai mare.

Exemplul 2 — Două oferte pentru un cuptor

Domeniu: economic.

Enunț. O școală cu profil tehnic cumpără un cuptor pentru atelierul de panificație și primește două oferte. Comisia de achiziții le notează cu puncte de la 0 la 100 după trei criterii, cu ponderile din caietul de sarcini: prețul 55 %, termenul de livrare 30 % și garanția 15 % (ponderi din exemplu). Oferta A are 92 de puncte la preț, 64 la termen și 70 la garanție, iar oferta B are 80 la preț, 88 la termen și 100 la garanție. Care ofertă câștigă și cu câte puncte?

Rezolvare. Ponderile sunt $0, 55$ , $0, 30$ și $0, 15$ , cu suma 1. Scorul ofertei A este $0, 55 \cdot 92 + 0, 30 \cdot 64 + 0, 15 \cdot 70 = 50, 6 + 19, 2 + 10, 5 = 80, 3$ . Scorul ofertei B este $0, 55 \cdot 80 + 0, 30 \cdot 88 + 0, 15 \cdot 100 = 44 + 26, 4 + 15 = 85, 4$ . Câștigă oferta B, cu $85, 4 - 80, 3 = 5, 1$ puncte mai mult.

Capcană. Cine se uită numai la criteriul cu cea mai mare pondere, prețul, o alege pe A, cu 92 de puncte la preț, deși scorul ei total, 80,3, e sub cel al ofertei B. Cine face media aritmetică a celor trei scoruri parțiale obține $(92 + 64 + 70) : 3 \approx 75, 33$ pentru A și $(80 + 88 + 100) : 3 \approx 89, 33$ pentru B, adică o diferență de 14 puncte, în loc de 5,1.

Verificare. Pe alt drum, cu ponderile în procente, 55, 30 și 15, cu suma 100: $\frac{55 \cdot 92 + 30 \cdot 64 + 15 \cdot 70}{100} = \frac{8030}{100} = 80, 3$ și $\frac{55 \cdot 80 + 30 \cdot 88 + 15 \cdot 100}{100} = \frac{8540}{100} = 85, 4$ . Fiecare scor total stă între cel mai mic și cel mai mare dintre scorurile parțiale ale ofertei: $64 < 80, 3 < 92$ și $80 < 85, 4 < 100$ .

Exemplul 3 — Recolta medie la hectar

Domeniu: agricol.

Enunț. Un fermier a semănat porumb pe trei parcele: 650 de ari cu un randament de 6800 kg/ha, 400 de ari cu 7450 kg/ha și 1150 de ari cu 6120 kg/ha (valori din exemplu). Care este randamentul mediu pe întreaga suprafață, în kg/ha, rotunjit la kilogram, și ce recoltă totală înseamnă?

Rezolvare. Ponderile sunt suprafețele, iar valorile sunt randamentele. Suprafețele trebuie să fie în aceeași unitate: 650 ari $= 6, 5$ ha, 400 ari $= 4$ ha și 1150 ari $= 11, 5$ ha, fiindcă 1 ha are 100 de ari. Suma ponderilor este $6, 5 + 4 + 11, 5 = 22$ ha. Produsele sunt $6, 5 \cdot 6800 = 44200$ , $4 \cdot 7450 = 29800$ și $11, 5 \cdot 6120 = 70380$ kg, cu suma $144380$ kg. Randamentul mediu este $m = \frac{144 380}{22} \approx 6562, 73$ , adică aproximativ 6563 kg/ha. Recolta totală este 144 380 kg.

Capcană. Cine face media aritmetică a randamentelor scrie $(6800 + 7450 + 6120) : 3 = 6790$ kg/ha. Ar prevedea pentru cele 22 ha o recoltă de $22 \cdot 6790 = 149380$ kg, cu 5000 de kg mai mult decât cea reală, fiindcă parcela cea mai mare are cel mai mic randament.

Verificare. Pe alt drum, $22 \cdot 6562, 73 \approx 144380$ kg, adică exact recolta totală. Randamentul mediu stă între 6120 și 7450, mai aproape de 6120, randamentul parcelei cu ponderea cea mai mare, de 11,5 ha. Rotunjit, $22 \cdot 6563 = 144386$ kg, doar cu 6 kg peste, o diferență de rotunjire.

Exemplul 4 — Problema inversă: câte spălări au fost cu promoție

Domeniu: auto.

Enunț. O spălătorie auto face spălarea completă a unui autoturism cu 90 de lei la tarif întreg și cu 65 de lei la tarif de promoție. Casa de marcat nu desparte spălările pe tarife: într-o lună, spălătoria a făcut 200 de spălări complete și a încasat în medie 78,50 lei pe spălare (valori din exemplu). Câte spălări au fost la tariful de promoție?

Rezolvare. Ponderile sunt necunoscute, dar media e dată. Fie $t$ partea spălărilor cu promoție, deci $1 - t$ partea celor la tarif întreg. Media ponderată cu aceste ponderi este $90 (1 - t) + 65 t = 78, 5$ . Desfaci: $90 - 25 t = 78, 5$ , deci $t = \frac{90 - 78 , 5}{25} = \frac{11 , 5}{25} = 0, 46$ . Așadar 46 % din cele 200 de spălări au fost cu promoție: $0, 46 \cdot 200 = 92$ de spălări, iar restul de 108 la tarif întreg.

Capcană. Cine așază diferențele invers, adică ia $\frac{78 , 5 - 65}{25} = 0, 54$ ca parte a promoției, obține 108 spălări cu promoție și 92 la tarif întreg. Atunci media ar fi $\frac{92 \cdot 90 + 108 \cdot 65}{200} = 76, 5$ lei, nu 78,50 lei. Media greșită e sub cea dată, fiindcă are prea multe spălări cu tariful mic.

Verificare. Pe alt drum, încasarea totală este $108 \cdot 90 + 92 \cdot 65 = 9720 + 5980 = 15700$ lei, iar $15700 : 200 = 78, 5$ lei, media dată. Valoarea 78,5 stă între 65 și 90, mai aproape de 90, fiindcă spălările la tarif întreg sunt majoritare.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează media ponderată: a) valorile 7, 12 și 15, cu ponderile 1, 2 și 3; b) valorile 12, 15 și 9, cu ponderile 40 %, 35 % și 25 %.

2. Un elev de la o școală profesională are notele 9, 7 și 8 la trei module, cu 120, 60 și 90 de ore. Calculează media ponderată cu orele și compar-o cu media aritmetică a notelor.

3. Arată că ponderile 40, 100 și 60 dau aceeași medie ca ponderile 2, 5 și 3, pentru valorile 18, 22 și 30.

4. Pentru valorile 14, 20 și 29, cu ponderile egale 5, 5 și 5, arată că media ponderată este egală cu media aritmetică.

Nivelul 2 — situații

5. Un electrician are, într-o lună, 168 de ore normale plătite cu 30 de lei pe oră, 14 ore suplimentare plătite cu un spor de 75 % și 8 ore lucrate într-o zi de sărbătoare legală, plătite cu un spor de 100 % (valori din exemplu). Care este câștigul mediu pe oră lucrată, rotunjit la bani?

6. Un abonat plătește energia electrică cu 1,05 lei/kWh ziua și cu 0,62 lei/kWh noaptea, iar 70 % din consum este ziua (valori din exemplu). Care este prețul mediu pe kWh?

7. Cheltuielile unei familii se împart astfel: alimente 38 %, utilități 27 %, transport 15 % și restul 20 %. În cursul anului, prețurile au crescut cu 7,2 % la alimente, cu 4,5 % la utilități, cu 9,8 % la transport și cu 3,1 % la restul. Cu cât a crescut, în medie, costul vieții familiei, rotunjit la sutimi de procent?

8. La o fermă, 14 vaci dau câte 18 L de lapte pe zi, 9 vaci dau câte 24 L și 5 vaci dau câte 11 L. Câți litri dă în medie o vacă pe zi, rotunjit la sutimi?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un depozit de materiale are 400 de saci de adeziv pentru gresie, în evidență la costul mediu ponderat de 32,50 lei pe sac. Intră 100 de saci cumpărați cu 35 de lei sacul, apoi ies 200 de saci, evaluați la costul mediu, apoi intră 300 de saci cumpărați cu 31 de lei sacul. Calculați costul mediu după fiecare mișcare și arătați că ieșirea nu îl schimbă.

10. (Sinteză.) Valorile 18 și 42, cu ponderile $p$ și $q$ , au media ponderată 33. Aflați raportul $p : q$ și ce procent din suma ponderilor este $q$ .

11. (Sinteză.) Într-o echipă lucrează 3 zidari, plătiți cu 56 de lei pe oră, și 2 ajutori, plătiți cu 38 de lei pe oră, toți același număr de ore. Firma vrea ca tariful mediu pe om-oră să nu depășească 45 de lei și adaugă ucenici, plătiți cu 29 de lei pe oră. Câți ucenici trebuie adăugați, cel puțin?

12. (Sinteză.) Fie $a < b$ și $p, q > 0$ . Arătați că media ponderată $m = \frac{p a + q b}{p + q}$ verifică $a < m < b$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $m = \frac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 15}{1 + 2 + 3} = \frac{76}{6} \approx 12, 67$ . b) Ponderile au suma 100 %, deci $m = 0, 40 \cdot 12 + 0, 35 \cdot 15 + 0, 25 \cdot 9 = 4, 8 + 5, 25 + 2, 25 = 12, 3$ . Verificare: 12,67 este între 7 și 15, iar 12,3 este între 9 și 15, aproape de 12, valoarea cu ponderea cea mai mare.

2. $m = \frac{9 \cdot 120 + 7 \cdot 60 + 8 \cdot 90}{120 + 60 + 90} = \frac{2220}{270} \approx 8, 22$ , iar media aritmetică este $\frac{9 + 7 + 8}{3} = 8$ . Media ponderată este mai mare. Verificare: 8,22 este între 7 și 9, mai aproape de 9, nota cu cele mai multe ore.

3. Cu ponderile 2, 5 și 3: $m = \frac{2 \cdot 18 + 5 \cdot 22 + 3 \cdot 30}{10} = \frac{236}{10} = 23, 6$ . Cu 40, 100 și 60: $m = \frac{40 \cdot 18 + 100 \cdot 22 + 60 \cdot 30}{200} = \frac{4720}{200} = 23, 6$ . Ponderile 40, 100 și 60 sunt 2, 5 și 3 înmulțite cu 20. Verificare: 23,6 este între 18 și 30.

4. $m = \frac{5 \cdot 14 + 5 \cdot 20 + 5 \cdot 29}{5 + 5 + 5} = \frac{315}{15} = 21$ , iar $\frac{14 + 20 + 29}{3} = 21$ . Ponderile egale se simplifică, deci cele două medii coincid. Verificare: $5 \cdot 63 = 315$ .

5. Tarifele sunt 30, $30 \cdot 1, 75 = 52, 50$ și $30 \cdot 2 = 60$ de lei pe oră, cu ponderile 168, 14 și 8 ore, în total 190. Câștigul este $168 \cdot 30 + 14 \cdot 52, 50 + 8 \cdot 60 = 5040 + 735 + 480 = 6255$ lei, deci media este $6255 : 190 \approx 32, 92$ lei pe oră. Verificare: 32,92 este între 30 și 60, aproape de 30, tariful celor mai multe ore.

6. Ponderile sunt 0,70 și 0,30, cu suma 1: $m = 0, 70 \cdot 1, 05 + 0, 30 \cdot 0, 62 = 0, 735 + 0, 186 = 0, 921$ , adică aproximativ 0,92 lei/kWh. Verificare: 0,92 este între 0,62 și 1,05, mai aproape de 1,05.

7. Ponderile sunt părțile din buget, cu suma 100 %. $m = 0, 38 \cdot 7, 2 + 0, 27 \cdot 4, 5 + 0, 15 \cdot 9, 8 + 0, 20 \cdot 3, 1 = 2, 736 + 1, 215 + 1, 47 + 0, 62 = 6, 041$ , adică aproximativ 6,04 %. Verificare: 6,04 % este între 3,1 % și 9,8 %.

8. Producția este $14 \cdot 18 + 9 \cdot 24 + 5 \cdot 11 = 252 + 216 + 55 = 523$ L pe zi, la $14 + 9 + 5 = 28$ vaci. Media este $m = \frac{523}{28} \approx 18, 68$ L. Verificare: $28 \cdot 18, 68 \approx 523$ .

9. După prima intrare: $\frac{400 \cdot 32 , 50 + 100 \cdot 35}{500} = \frac{16 500}{500} = 33$ de lei pe sac. Ies 200 de saci a câte 33 de lei: rămân 300 de saci în valoare de $16500 - 6600 = 9900$ lei, deci tot 33 de lei pe sac. După a doua intrare: $\frac{9900 + 300 \cdot 31}{600} = \frac{19 200}{600} = 32$ de lei pe sac. Verificare: 33 este între 32,50 și 35, iar 32 este între 31 și 33.

10. Din $\frac{18 p + 42 q}{p + q} = 33$ rezultă $18 p + 42 q = 33 p + 33 q$ . Deci $9 q = 15 p$ și $\frac{p}{q} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ . Ponderea valorii 42 este $\frac{q}{p + q} = \frac{5}{8} = 62, 5$ %. Verificare: pentru $p = 3$ și $q = 5$ , $\frac{54 + 210}{8} = 33$ .

11. Cu $k$ ucenici, tariful mediu pe om-oră este $\frac{3 \cdot 56 + 2 \cdot 38 + 29 k}{3 + 2 + k} \leq 45$ , adică $244 + 29 k \leq 225 + 45 k$ . Deci $19 \leq 16 k$ și $k \geq 1, 1875$ . Cel mai mic număr întreg este 2, adică 2 ucenici. Verificare: cu 1 ucenic, $\frac{273}{6} = 45, 5 > 45$ , iar cu 2 ucenici, $\frac{302}{7} \approx 43, 14 \leq 45$ lei pe oră.

12. Avem $m - a = \frac{p a + q b - p a - q a}{p + q} = \frac{q ( b - a )}{p + q}$ , pozitiv, fiindcă $q > 0$ și $b - a > 0$ . La fel, $b - m = \frac{p ( b - a )}{p + q} > 0$ , deci $a < m < b$ . Verificare: pentru $a = 2$ , $b = 8$ , $p = 1$ și $q = 2$ , $m = \frac{2 + 16}{3} = 6$ , iar $2 < 6 < 8$ .

Așa vine la Bac M3

Media ponderată, una dintre cele patru medii ale programei de examen, nu a apărut în probele 2013–2026. Toate patru stau, în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), la clasa a X-a, în blocul „Mulțimi de numere”, pe același rând: aritmetică, ponderată, geometrică și armonică. Printre cele 1 494 de cerințe ale indexului, alcătuit din cele 83 de probe oficiale, niciuna nu are media ponderată ca temă. Din familia mediilor, indexul păstrează doar două cerințe, ambele la cerința 1 din Subiectul I: una cu media aritmetică a două numere cu radicali și una cu media geometrică a numerelor 16 și 9.

Nu există deci nicio cerință reală de citat, iar secțiunea nu inventează cerințe-model. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), te antrenează pe lângă temă: o evidență de stoc la cost mediu, un raport de ponderi, o inecuație cu un număr întreg de ucenici și o demonstrație despre locul mediei în interval. Celelalte teme ale clasei sunt în hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Actualizezi costul mediu făcând media dintre costul vechi și prețul noii livrări: pentru 300 de topuri la 15,50 lei scrii $(16, 22 + 15, 50) : 2 = 15, 86$ lei, în loc de 16,00 → cum o prinzi: stocul nou costă $15841, 50$ lei pentru 990 de topuri, iar $990 \cdot 15, 86 = 15701, 40$ lei, nu 15 841,50.
Împarți la numărul tarifelor, nu la orele lucrate: la exercițiul 5 scrii $6255 : 3 = 2085$ de lei pe oră → cum o prinzi: câștigul mediu pe oră trebuie să stea între 30 și 60 de lei; împarți la cele 190 de ore și obții 32,92 lei.
Amesteci unitățile ponderilor: aduni 650 de ari cu 4 ha și cu 11,5 ha → cum o prinzi: treci toate suprafețele în hectare înainte de adunare, fiindcă 1 ha are 100 de ari.
Alegi oferta după un singur criteriu: la Exemplul 2 o alegi pe A pentru că are 92 de puncte la preț → cum o prinzi: calculezi scorul pe toate criteriile, cu ponderile lor, și obții 80,3 pentru A și 85,4 pentru B.
Așezi diferențele invers la problema inversă: la spălătorie scrii 0,54 în loc de 0,46 ca parte a promoției → cum o prinzi: înlocuiești în medie și obții 76,5 lei, nu 78,5 lei.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calcularea mediei ponderate face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la unele profiluri (MAT_P3, MAT_P5 și MAT_P6).

Întrebări frecvente

Ce preț de raft ar fi ieșit dacă patroana ar fi luat în calcul doar ultima livrare? Cu prețul ultimei livrări, 17,35 lei, adaosul de 35 % dă $17, 35 \cdot 1, 35 \approx 23, 42$ , adică 23,40 lei. Prețul ar fi cu 1,50 lei peste cel corect, de 21,90 lei, iar clienții l-ar plăti fără motiv, fiindcă cele mai multe topuri au costat mai puțin.

Cum se schimbă costul mediu dacă mai vine o livrare de 300 de topuri la 15,50 lei? Suma produselor crește cu $300 \cdot 15, 50 = 4650$ lei și devine $11191, 50 + 4650 = 15841, 50$ lei, iar suma ponderilor devine $690 + 300 = 990$ topuri. Noul cost mediu este $15841, 50 : 990 \approx 16, 00$ lei, mai mic decât 16,22, fiindcă noua livrare e mare și mai ieftină decât media veche, deci trage media în jos.

Cât din cele 690 de topuri vine din livrarea din februarie și cum se vede asta în medie? Livrarea din februarie are 420 din 690 de topuri, adică $\frac{420}{690} \approx 0, 609$ , aproape 61 %. De aceea media, 16,22 lei, e la $16, 22 - 15, 90 = 0, 32$ lei de prețul din februarie și la $17, 35 - 16, 22 = 1, 13$ lei de cel din martie: ponderea mare trage media aproape de ea.

Câte topuri la 15,90 lei ar trebui să mai cumpere patroana ca media să coboare sub 16,10 lei? Cu $x$ topuri în plus, costul mediu este $\frac{11 191 , 50 + 15 , 90 x}{690 + x}$ , iar condiția cere ca el să fie sub 16,10 lei. Desfaci inegalitatea: $11191, 50 + 15, 90 x < 11109 + 16, 10 x$ , deci $82, 50 < 0, 20 x$ și $x > 412, 5$ . Îi trebuie cel puțin 413 topuri; cu 412, media rămâne puțin peste 16,10 lei, iar cu 413 coboară sub această valoare.

Când ar fi fost corectă media aritmetică a celor trei prețuri ale hârtiei? Când livrările ar fi avut aceeași mărime, de pildă câte 230 de topuri în fiecare lună, la prețurile 16,40, 15,90 și 17,35 lei. Atunci ponderile ar fi fost egale, iar costul mediu ar fi chiar media aritmetică, 16,55 lei. La livrări neegale, ca în situația de pornire, e nevoie de ponderi.

Ce medii au apărut în probele de Bacalaureat M3 din 2013–2026? Indexul cerințelor păstrează două medii, ambele la cerința 1 din Subiectul I: media aritmetică a două numere cu radicali, în modelul din 2015, și media geometrică a numerelor 16 și 9, în sesiunea de rezervă din august 2015. Media ponderată nu a apărut în cele 83 de probe, dar e în programa Bacalaureatului M3, deci poate fi cerută.