Fie $$O$$ mijlocul comun al segmentelor $$EF$$ și $$GH$$, cu $$E$$, $$O$$, $$F$$ coliniare și $$G$$, $$O$$, $$H$$ coliniare. Ce criteriu de congruență se aplică triunghiurilor $$\triangle EOG$$ și $$\triangle FOH$$ pentru a demonstra că $$EG = FH$$?

Niciunul, datele nu sunt suficiente

Se demonstrează că $$\triangle RST \equiv \triangle UVW$$ (în această ordine a vârfurilor). Care dintre următoarele egalități este corectă, conform corespondenței literelor?

$$\widehat{R} \equiv \widehat{V}$$

Fie triunghiul $$ABC$$ isoscel, cu $$AB = AC$$, iar $$M$$ este mijlocul laturii $$BC$$. Ce criteriu de congruență se aplică triunghiurilor $$\triangle ABM$$ și $$\triangle ACM$$ pentru a demonstra că $$AM$$ este bisectoarea unghiului $$\widehat{BAC}$$?

Niciunul, datele nu sunt suficiente

Cum demonstrez că două segmente sunt egale?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Metoda triunghiurilor congruente

Le cauți ca laturi care se corespund în două triunghiuri, apoi arăți că acele triunghiuri sunt congruente printr-unul dintre criterii. Din congruență rezultă egalitatea tuturor elementelor care se corespund, deci și a segmentelor urmărite. De exemplu, pentru un punct $P$ de pe perpendiculara ridicată în mijlocul $M$ al segmentului $[A B]$ , triunghiurile $P M A$ și $P M B$ au două laturi și unghiul dintre ele egale, deci $P A = P B$ .

Metoda triunghiurilor congruente este o tehnică de demonstrație: ca să arăți că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, le prinzi ca elemente corespondente în două triunghiuri, apoi dovedești că acele triunghiuri sunt congruente cu un criteriu ( $LU L$ , $U LU$ sau $LLL$ ). De aici, regula e.c.t.c.c.: „elementele corespondente ale triunghiurilor congruente sunt congruente”.

Pașii: 1) scrii ipoteza și concluzia; 2) identifici cele două triunghiuri; 3) aduni probele (laturi/unghiuri egale, latură comună, unghiuri opuse la vârf); 4) alegi criteriul; 5) închei prin e.c.t.c.c. Capcana tipică: să folosești e.c.t.c.c. înainte de a fi demonstrat congruența — întâi criteriul, abia apoi concluzia.

Exemplu. Fie $M$ mijlocul segmentului $A B$ și $d ⊥ A B$ în $M$ (mediatoarea). Pentru un punct $P \in d$ , în $△ P M A$ și $△ P M B$ avem $M A = M B$ , $P M A \equiv P M B = 90°$ , $P M = P M$ . Prin LUL, $△ P M A \equiv △ P M B$ , deci $P A = P B$ — aceasta este proprietatea mediatoarei.

De reținut

elementele corespondente ale triunghiurilor congruente sunt congruente
întâi demonstrezi congruența, abia apoi tragi concluzia despre laturi sau unghiuri
latura comună și unghiurile opuse la vârf sunt perechi egale gata găsite

Greșeala tipică

Se pornește de la egalitatea care trebuie demonstrată și se folosește ca ipoteză; ordinea corectă cere ca perechile egale să vină din datele problemei, iar egalitatea căutată să apară abia la final.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $O$ mijlocul comun al segmentelor $E F$ și $G H$ , cu $E$ , $O$ , $F$ coliniare și $G$ , $O$ , $H$ coliniare. Ce criteriu de congruență se aplică triunghiurilor $△ E O G$ și $△ F O H$ pentru a demonstra că $E G = F H$ ?
- a) LLL (latura-latura-latura)
- b) LUL (latura-unghi-latura)
- c) ULU (unghi-latura-unghi)
- d) Niciunul, datele nu sunt suficiente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) LUL (latura-unghi-latura)

Avem $O E = O F$ și $O G = O H$ (pentru că $O$ este mijlocul ambelor segmente), iar $E O G \equiv F O H$ ca unghiuri opuse la vârf — „cadoul gratuit” al figurii. Unghiul este cuprins între cele două perechi de laturi egale, deci se aplică LUL: $△ E O G \equiv △ F O H$ , de unde $E G = F H$ ca elemente corespondente.
Se demonstrează că $△ R S T \equiv △ U V W$ (în această ordine a vârfurilor). Care dintre următoarele egalități este corectă, conform corespondenței literelor?
- a) $R S = V W$
- b) $S T = U W$
- c) $R T = U W$
- d) $R \equiv V$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $R T = U W$

Din scrierea $△ R S T \equiv △ U V W$ rezultă corespondența $R \leftrightarrow U$ , $S \leftrightarrow V$ , $T \leftrightarrow W$ . Deci laturile corespondente sunt $R S \leftrightarrow U V$ , $S T \leftrightarrow V W$ și $R T \leftrightarrow U W$ . Singura egalitate care respectă exact această corespondență este $R T = U W$ ; celelalte variante amestecă litere care nu se corespund.
Fie triunghiul $A B C$ isoscel, cu $A B = A C$ , iar $M$ este mijlocul laturii $B C$ . Ce criteriu de congruență se aplică triunghiurilor $△ A B M$ și $△ A C M$ pentru a demonstra că $A M$ este bisectoarea unghiului $B A C$ ?
- a) LUL (latura-unghi-latura)
- b) LLL (latura-latura-latura)
- c) ULU (unghi-latura-unghi)
- d) Niciunul, datele nu sunt suficiente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) LLL (latura-latura-latura)

Avem $A B = A C$ (triunghi isoscel), $B M = C M$ (pentru că $M$ este mijlocul lui $B C$ ) și $A M = A M$ (latură comună). Cele trei perechi de laturi corespunzătoare sunt egale, deci se aplică LLL: $△ A B M \equiv △ A C M$ , de unde $B A M \equiv C A M$ (e.c.t.c.c.), adică $A M$ este bisectoarea unghiului $B A C$ .

Întrebări conexe

Cum aleg cele două triunghiuri potrivite dintr-o figură complicată?

Pornești de la segmentele sau unghiurile care trebuie comparate și cauți figurile care le conțin ca elemente care se corespund. Fiecare trebuie să stea în alt triunghi, iar cele două să aibă suficiente date comune. Redesenarea separată a celor două triunghiuri limpezește imediat situația.

Ce probe gratuite îmi oferă o latură comună într-o demonstrație?

O latură pe care ambele triunghiuri o împart este egală cu ea însăși, deci îți dă o pereche congruentă fără nicio justificare suplimentară. La fel funcționează unghiurile opuse la vârf și egalitățile date de mijlocul unui segment sau de o bisectoare.

Cum demonstrez că două unghiuri sunt congruente prin această metodă?

Le prinzi ca unghiuri care se corespund în două triunghiuri și demonstrezi congruența figurilor. Odată stabilită, toate perechile de unghiuri corespondente devin egale, inclusiv cele căutate. Ordinea contează: întâi criteriul, apoi concluzia despre unghiuri.

Ce scriu în concluzie după ce am aplicat un criteriu de congruență?

Scrii congruența celor două triunghiuri cu vârfurile în corespondență, apoi menționezi că elementele corespondente sunt congruente și extragi egalitatea cerută. Fără corespondența corectă a literelor, concluzia poate indica alte laturi decât cele urmărite.

Cum ajung la proprietatea bisectoarei folosind triunghiuri congruente?

Iei un punct de pe bisectoare și cobori perpendiculare pe cele două laturi ale unghiului. Triunghiurile formate au un unghi drept, unghiurile egale tăiate de bisectoare și ipotenuza comună, deci sunt congruente, iar cele două distanțe ies egale.

Cum arăt că un punct este mijlocul unui segment cu ajutorul congruenței?

Demonstrezi că cele două bucăți în care punctul împarte segmentul sunt laturi corespondente în triunghiuri congruente. Din congruență rezultă că bucățile au aceeași lungime, ceea ce înseamnă chiar definiția mijlocului. Metoda evită orice măsurătoare cu rigla.

Oamenii mai întreabă și: metoda triunghiurilor congruente · cum demonstrez că două segmente sunt congruente · demonstrație cu triunghiuri congruente · elemente corespondente în triunghiuri congruente